V^'+"atig'0J

erons y dans

mais, pour plus de s les formules.

Cette équalion l'ait connaître .< quand/; esi donné; mais elle est peu commode pour la eoiislrueiiim de h courbe, H nous allons introduire x et y au lieu île ,t. Or on a

et l'équation (j) donne, par suite,

yen de l'équation (

ou, en remettant la valeur de ds tirée de l'équation (4), et observant que dt et ci a sont de signes contraires,

, a cos0 — lî dx acosO — Jî

af = e = — c dp.

S cos'a g

Donc enfin, en éliminant l'exponentielle au moyen de l'é-% quation (6),

* [-W' -*-/>•- !•(/> + V^ + fO +7?

Ainsi le problème est ramené à intégrer par approximation des fonctions données d'une seule variable.

La vitesse du mobile peut s'exprimer exactement en fonction de />. Si Ton ajoute les valeurs de di* et dy*9 puis qu'on les divise par celle de dt*, on aura

(io) i'*.— r

Le sommet de la courbe s'obtiendra en faisant p == o; mais la courbe ne sera plus symétrique par rapport* à la verticale menée par ce point. On aura l'amplitude du jet en faisant y = o ; elle sera moindre que dans le cas précédent, et son maximum, relativement à 0, correspondra à un angle plus petit que 45 degrés.

248. La branche descendante delà trajectoire est indéfinie, et a une asymptote verticale, comme nous allons le démontrer.

On peut d'abord conclure de l'équation (9) que p augmente indéfiniment. Car le dénominateur du second membre est composé de termes positifs, puisque p est négatif; il ne devient donc nul pour aucune valeur de py et l'intégrale ne pourrait croître indéfiniment si p était limité;

ù il résulterai i que le temps aurait une limite, te qui absurde. Ainsi, la tangente à la trajectoire tend indélilu'iii à devenir' verticale.

ii maintenant un pose;» = — çpour expliciter le signe, qu'on suppose que q soîl déjà devenu très-grand, on irra remplacer y'i -i- q' par q, et négliger*/ eil./J par iport à q. ce i[ui donnera •

l'un point ayant poi

ordonnées x, ,

aleur de r/, au point dont les coordonnées

sont lui,.

La seconde de ces équations montre que la valeur négative de » augmente sans limite, et que, par conséquent, le point descend indéltniment. La première appretv* que x a

tion 0 est très-petit. Le point ne s'élève alors qu a une trèspetite hauteur au-dessus de Taxe des x, et la tangente étant très-peu inclinée sur cet axe, on pourra négliger />% et

Ton aura ainsi

ds — dx , et s z=z .r.

L'équation (5) se réduit à

dje tf'cos2© '

d'où Ton tire

/; = ek 4-C,

' 2fl2COS*8

et comme on doit avoir en même temps X ~ o, p = laugd, il en résulte

C = tango

2ascos70 et, par suite,

<*y , *' ( ny )

p= -f- = tango \c h — i /•

Intégrant et observant qu'on doit avoir à la fois x — o, y = o, il vient

\ b 2 0'COS'â/ 4»« cos °

L'équation

— = acosQ. t' dt

donne, en remplaçant s par x.

r// = 5 d où

a cos 0

if/icosO

Si Ion connaît des points par lesquels passe le mobile, par

où il rencontre lu sol, il en résultera, entre , des équations qui pourront servir à les dé-

fhi mouvement produit par une force dont tes composantes parallèles aux axes, sont les dérivées partielles d'une même fonction de x,j, z.

250. Si l'on désigne par X, Y, Z les composantes de la forci; motrice nui sollicite un point matériel dont la masse est l'unité, les équations générales de son mouvement

is, après avoir multiplié la prede par a — » et la troisième par

/ ,U,Px 'Jy^z. rfBrf'-\

fonction F (x9 y, s), on aura

„ dx ^dr „dz <fF(x,r,z) dt . de dt dt

et r équation précédente, intégrée entre deux limites quelconques, donnera

(2) e' — X' = 2F (x,x, z)-2F(fl,i,c),

«, &, c, k désignant les coordonnées du point et sa vitesse, à la première limite.

On voit donc que, dans le cas où Xdx-hYdy -+-Zidz est la différentielle d'une certaine fonction de x,yy z considérées comme variables indépendantes, si un point matériel est soumis à Faction de forces dont les composantes totales parallèles aux axes soient X, Y, Z, l'accroissement du carré de sa vitesse, en passant d'un point à un autre quelconque, pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour parvenir au second, et quelque ligne qu'il décrive entre les deux.

On peut dire plus généralement, d'après l'équation (2), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont l'équation serait F(r, 7, z) = C, avec une vitesse connue k dans une direction arbitraire; lorsqu'il arrivera en un point de la surface ayant pour équation F (#, y, z) = C, sa vitesse v peut être déterminée de grandeur d'après ces seules données, et indépendamment du temps employé, de la ligne décrite, et du nombre de fois que ce point traverse successivement la seconde surface.

L'équation générale de ces surfaces remarquables étant F (Xij', z)=Cj C désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle

4l() LITRE II.

i'\riiij k < 'lui OU il rencontre le sol, il en résulrcr.i, Un 1rs «instantes, îles équations qui pourront servir à les ilrleiiniucr.

/)» mouvement produit par une force dont tes composantes parallèles aux axes, sont les dérivées jxiiUtlkd'une même Jonction de X,Jf, :.

330. Si l'on désigne par \, ^, Z les composantes de U force molricequi sollicite un point matériel dont la masst est l'unité, les équations générales de son

S l'on ajoute ces équations, après avoir multiplié mière par 2 — -la seconde par a — - cl la trot si

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indépendantes.

.|i a livre 11.

Celle équation exprime que les deux directions dont les angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respeclivenient à X, Y, /., eldx, dy, rte, sont perpendiculaires l'une sur l'autre. D'où l'on conclut que la force dont les composantes sont X, Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que l'on considère.

Ainsi les s urfae.es qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée, sont perpendiculaires à la force qui solli (.itérait le mobile placé en un quelconque de leurs points; de sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait en équilibre, eu quelque point de ces surfaces qu'il fût posé.

On leur donne le nom de surfaces de niveau.

Si la fonction F (x, y, z) ne peut se réduire à } pour des valeurs réelles et finies de x, y, z, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun poiut commun. Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M. rierlrand, le point matériel n'aura pas toujours la même vitesse en revenant à une même surface de niveau; il faudra, pour cela, qu'il ail traversé un nombre pair de fois ebaeunc des surfaces de niveau par lesquelles il ar celle d'où il était parti.

sur une courbe ou une surface fixe, et qui n'est sollicité par aucune force extérieure, conserve constamment la même vitesse.

Si la résultante est normale à la trajectoire, en quelques points seulement, on a, en ces points,

Xrfi + Y«//4-Zrf2 = o, ou d.v% = o.

Donc, en général, la vitesse du mobile y sera maximum ou minimum.

252. Si, outre les forces normales à la trajectoire, il en existe d'autres dans des directions quelconques, les premières disparaîtront toujours du second membre de l'équation (1) ; et si les autres sont telles, que leurs composantes totales X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction des variables #,js s, considérées comme indépendantes, on parviendra de même à l'équation (a).

Ainsi, la proposition précédente a lieu pour un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe, et sollicité en outre par des forces telles, que

Xrlx + Ydy-hZdz

soit une différentielle exacte par rapport à x,y, 3, ce qui n'aurait pas lieu s'il y avait un frottement ou la résistance d'un milieu; car ces forces ne seraient même pas des fonctions données de jr, y, z.

253. L'expression Xdx -h Ydy H- Tjdz est une différentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes, et que leurs intensités ne dépendent que de la distance du point à ces divers centres.

En effet, soient a, ft, c les coordonnées constantes de l'un quelconque de ces centres; .r, ) , z les coordonnées variables du mobile, r leur distance, et R une fonction de r qui

4ia LIVRE II.

Cette équation exprime que les deux directions dont les angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respectivement à X, Y, Z, et dx, dy, dz, sont perpendiculaires Tune sur l'autre. D'où l'on conclut que la force dont les composantes sont X, Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que Ton considéré.

Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée, sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile placé en un quelconque de leurs points*, de sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait et équilibre, en quelque point de ces surfaces qu'il fût pose.

On leur donne le nom de surfaces do niveau.

Si la fonction F (x, y,z) ne peut se réduire à £ pour des valeurs réelles et finies de x, y, z, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun. Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M. Bertrand, le point matériel n'aura pas ton* jours la même vitesse en revenant à une même surface de niveau; il faudra, pour cela, qu'il ait traversé un nombre pair de fois chacune des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur colle d'où il était parti.

251. Si la résultante des forces qui sollicitent le point était constamment normale à la ligne qu'il décrit, on aurait

X dx f X<h ^-Tudz—Q',

la fonction F se réduirait donc à une cous la nie, et lu second membre de l1 équation (i) serait nul; d'où il résulte que Ion aurait

Ainsi, comme nous l'avions déjà vu, la vitesse d'un point est constante lorsque la force qui agit sur lui est, à chaque instant, normale à la direction de son mouvement.

D'où il résulte qu'un point qui se meut, sans frottement,

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agissait

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