MA
exprime la force qui agit sur le point donné suivant h •droite (jui le joint au centre que Ton considère. Les composantes de cette force seront
si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe ri la force était répulsive*, ce que Ton pourrait effectuer a changeant seulement R de signe. Les termes qui proviendront de cette force dans l'expression Xrfar-f- Yftjr-i-Zdt seront donc, dans le premier cas ,
["(« — x)d.r.-^ (/)—y)dY-h(c — z)riz~\
Or on a
(«*)« + (*-.r)--h(c-;)' = r>, d'où /
( a — x) dx -f- ( b — y) dy -f- (c — i)dz = — rdry
ce qui réduit l'expression précédente à — Rrfr. Elle devrait être changée en -f-Rr/r dans le cas d'une force répulsive.
Si Ton fait le même calcul pour les forces R', R77, etc., relatives aux autres centres fixes, on trouvera
X dx -h Y dy + Z dz - qr Kdr if. R' dr' :+: R" dr
ce qui est une différentielle exacte relativement aux variables indépendantes x,y<, z, puisque R est une fonction de r, R'de /', etc.
On aura donc
tcq, /'0, etc., étant les valeurs de r, r', etc., correspondantes a la première position. D'où Ion voit que l'accrois-
sèment du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile, pendant qu'il passe de Tune des positions à l'autre.
254. Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plau fixe, et dépendant uniquement de la distance à ce plan, les mêmes conséquences auraient lieu parce que ce n'est, à proprement parler., que le cas particulier où l'un des centres se serait transporté à l'infini y dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s'y rapporte.
L'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la
forme
xcosa H-/cos6 -+- ZCOS7 — p = o,
oc, 6, y étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, et/; la longueur de celte perpendiculaire. Soitu la perpendiculaire abaissée sur ce plan, au point dont les coordonnées sont x, y, z> on aura
// = xcos a 4- jcosê -+- z COS7 — p. Les composantes de la force TJ qui agit sur ce point seront
Ucosa, Ucos6, UCOS7, ou — Ucosa, — Ucosê, — UCOS7.
Les termes que cette force introduira dans l'expression TLtlx -+-Ydy-hZ*clz seront, dans le premier-cas,
U ( dx cos a H- dy cos 6 -+- dz cos 7 ) , ou Udu;
et, dans le second, — U du : ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de .r, y, z, puisque U n'est fonction que de u seulement.
Si la force était toujours dirigée vers le plan, elle chan-
^i4 i.iviit ii.
exprime la force niri agit sur le point llaBlwf iWUBt Ij droite qui le joint ;iu centre que l'on considère. I.e*c posantes de cette force seront
si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si U force était répulsive; ce que l'on pourrait cH'iiiurr eu changeant seulement R de signe. Les ternies qui proviindronide cette force dans l'expression \ttx-\~\ ily -i-7.t!r seront donc, dans le premier cas ,
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pulsivi
û réduit l'expression, précédente a — RrVr. Elle i: être changée en -+- R r/r dans le ras d'une ïwve i
sèment du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile, pendant qu'il passe de Tune des positions à l'autre.
251. Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plan fixe, et dépendant uniquement de la distance à ce plan, les mêmes conséquences auraient lieu parce que ce n'est, à proprement parler», que le cas particulier où l'un des centres se serait transporté à l'infini, dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s'y rapporte.
L'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la forme
x COS a H- / COS 6-4-3 COS 7 — p =r O ,
a. y c, y étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, et/; la longueur de cette perpendiculaire. Soit u la perpendiculaire abaissée sur ce plan, du point dont les coordonnées sont x, y, z, on aura
tt = xcosa 4-vcos€ -j- scosy — /;.
Les composantes de la force U qui agit sur ce point seront Ucosa, UcosS, Ucosy, on — Ucosa, — Ucosê, — Ucosy.
Les termes que cette force introduira dans l'expression TLtlx 4- Y dy -h Z dz seront, dans le premiei-cas,
U ( dx. cos % -h dy cos6 -+- dz COS7 ) , ou U du ;
et, dans le second, — U du : ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de .r, y, z. puisque L n'est fonction que de u seulement.
Si la force était toujours dirigée vers le plan, elle chan-
A'4 expri
la lu m- qui agit sur le point donne auivjmt I. i li: joint au centre que I on considère. I.vscomdf celle force seront
iraciive : il suffirait de les changer de signe si 1 répulsive; ce que Tou pourrait ell'ectuer en ulentent Rde signe. Les termes qui provîente force dans l'expression \tix +\ tty -\-7>dz . daits le p
, E),/> + (A— j-Ur-t-fc
UJ.
-ib-xi:-*-{t-^ = '1.
<i*+{h-j)df^
luit 1 expression précédente à —tidr. Elle de- < iiingré en -f- rWr dans le cas d'une force rc-
»eroent du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait icule sur le mobile, pendant qu'il passe de Tune des positions à l'autre.
254. Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plan fixe, et dépendant uniquement le la distance h ce plan, les mêmes conséquences auraient lieu parce que ce n'est, à proprement parler., que le cas particulier où l'un des centres se serait transporté à l'infini,, dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s'y rapporte.
L'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la
forme
x cos a -h y cos 6-4-s cos 7 — p = o ,
a, 6, y étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, et/; la longueur de cette perpendiculaire. Soit a la perpendiculaire abaissée sur ce plan, du point dont les coordonnées sont x, y, z, on aura
tt -— xcos a -f- y cos 6 -f- z cos 7 — p. Les composantes de la force TJ qui agit sur ce point seront
Ucosa, Ucosë, UCOS7, ou — Ucosa, — Ucosê, — UCOS7.
Les ternies que cette force introduira dans l'expression X<Yx 4- Y dy -h Z dz seront, dans le premiei-cas,
U ( dx cos a -h dy cos6 -f- dz cos 7 ) , ou Udu;
et, dans le second, — U du : ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de .r, y, z, puisque U n'est fonction que de u seulement.
Si la force était toujours dirigée vers le plan, elle chan-
4 ao
de ta pesante
seront
Les équations du mouvement du poin d\r
dt<
= Nc
dt>
Si loti multiplie la première par %dx, la seconde par ad la troisième par 2(/z, et qu'on les ajoute, il vient
d. <>' = — i gd*\ d'où «> = — i gt + C.
La constante C se déterminera d'après la valeur A de la vitesse, pour s= h, et l'on aura
Si l'on i
emplace v* par sa valeur
pu
du ," -i- rfr' -1- rf«*
DYNAMIQUE. 4a*
tante de la force centrifuge et de la composante normal^He la pesanteur.
On remarquera que si 5 reste la même fonction de 2, quoique la courbe change, ds* , et par suite \>% , est exprimé par la même fonction de £, et le mouvement sur la courbe est le même. Ainsi, en enveloppant sur un cylindre vertical quelconque le cylindre projetant d'une courbe, le point pesant passera, aux mêmes époques, par les points correspondants.
258. Efïectuons ces calculs dans le cas où la courbe donnée est un cercle vertical. Prenons l'axe des x dans ce plan et tangent au point le plus bas du cercle, il en résultera, pour les équations de cette courbe,
y = o , •r24-*î — 2.az=z or a étant son rayon. On en tirera
ds1 __ dx2 -+- dz2 __ a3 dz2
de2 ~~ dt2 "~~ 2flz — ^2*5?»,
et l'équation
devient
a2 dz2 ., .
. • -7-: = k* -f- 2 gh — 2 gz ,
2fl3 — Z2 dt2 * * '
d'où Ton tire
zhadz
dt=i
^1 az — z1 ^k2 4-2gA — 2 gz
on prendra le signe — quand le point descendra, et le signe 4- quand il montera.
Le carré de la vitesse ayant pour expression
*34- igh — 7.gz
m pour « = o. c'esl-â-dirc au point le |
ili-nrwn
La *i«-w ;dt*î*ndn nolle quand on anr*
• ai s nr («ut surpasser le diamètre du cercle. Dans celle liTpoiliise, le peint parvenu a celte hauteur redescendra ■ '.. rilesse deviendra nulle de l'autre côté pour la même râleur de ". et ce mouvement d'oscillation se continuera indéfiniment. Si, au contraire, on a
If h-\ > = <*,
I. vin-.-!' -lia m in imam au point le plus élevé du cercle, mai» elle n'y sera pas nulle, et 1c mouvement aura lien t dans le même sens.
celle par les méthodes ordinaires-, mais on peut y parvenir
plus simplement en observant que — ■=. est la différentielle
2 yz
de ^2, et que la fraction peut être décomposée de
2 Cl —~" Z
la manière suivante :
2tf — Z 2^2rt\V/2rt-+-^i \^2 0 ^Z/
On aura ainsi, pour le mouvement descendant,
dz tlz
2 V gr
d'où Ton tire
i la . sfïlz '•+■ yfz
2 V g \/ia — sJz
La constante se déterminera par la condition que l'on ait en même temps t = o, z = A, et il en résultera
j=-ii/ii.^+v/; + i/Jii. y5-±^ .
Lorsque le mobile arrive au point le plus bas, on a
=Wî
yjia — \h
riz
A partir de cet instant, — étant positif, on doit changer de signe la première partie de la valeur de Z, ce qui donne
2\e s'ia — \z ■'■ V {•' sjïa — yjh
ii vue i
À mesure que
/ augmenta, s a
iiRincnte nécessairement.
mais il
est ton
ours plus petit i
ue i(j; et l'on trouverait
t = GC
si l'on
faisait z = sa.
Le mobile n'arrive donc
jamais
au poin
le plus élevé di
cercle, mais il s'en ap-
proche
indéfini
nom.
Consid
rons mainlenaiil
e cas où le mobile oseille
do par
pi d'at
ne du point le
jIus bas du cercle. Nous
pouvons supposer nulle la vitesse initiale; car cela revient
à prendre pou eerclc. On aura
point de dépar alors, pendant q
un point plus élevé du e le mobile descend.
dz
&ïtfi
"C Ta *"
■.i plus pelil crue)
unité, ou peut développer
]<■ dern
erfa.le
ji de la manière
ni.anlc :
-iiï
'=*+z(àh${àh-
l'oscillation, puisque ces intervalles sont exprimés par la même intégrale prise entre les mêmes limites o et h.
La formule de réduction que nous venons de rappeler devient
JÇh z*dz {*n — i)h rh z*-*dz
JC** Zndz ■ par Art,
— —————— Aa|.
Celte formule conduit à la suivante, en observant que
Cela posé, pour la demi -oscillation descendante, les limites des intégrales sont dans Tordre inverse de celui que nous venons de prendre; il faudra donc changer le signe dit second membre de l'équation qui donne dt, si Ton veut faire usage de la formule que nous venons de trouver pour les intégrales qui composent la valeur de t. Si donc on désigne par T la durée de l'oscillation entière, on aura d'abord
OU
T â A) I + w â^ "*" \aT4y ^y"4"*" Vi +r».3. .(,— o-|»/±y
4a6 Lt*HB ii.
Celle série srra tres-convcrgeute si — est ties-pein,
l'on calculera facilement l'erreur commise en s'arr^iaut à un terme quelconque. Si l'angle au centre aar, qui mesure l'amplitude tics oscillations, ne se compose que d'un petit nombre de degrés, on peut le plus ordiuaîrement se borner au premier terme; et l'on a
celte durée est indépendante de la hauteur h. Si 1 on prend* les deux premiers, la durée dépendra de A, ei Ton aura
