LIVRE

(1ère S côté de

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La compo

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en l'égalant à l'expression précédi

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Lac

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3 déterminera par la condition tjue

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que, de plus, la vitesse initiale soit nulle, la formule précédente se simplifie beaucoup, et devient

d'où

• arc cos -• a

Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que Ton doit avoir à la fois t = o, 0 = a.

La vitesse devient nulle lorsque 9 = — a. Il en résulte

=*Vr

Telle est la durée de l'oscillation. Le mouvement recommence ensuite en sens contraire d'une manière identique; le point revient en A avec une vitesse nulle, après le même

intervalle de temps rc \f -• il se trouve alors dans les mêmes

circonstances qu'au commencement, et cette double oscillation se reproduit indéfiniment, si Ton fait abstraction de toutes les résistances extérieures.

262. Dans tout ce qui précède, nous avons pu faire abstraction de la résistance de l'air. Cette action modifie très-peu les résultais et n'exige que de très-petites corrections dans les formules. Nous n'entrerons ici dans aucun détail sur ce sujet, et nous nous contenterons de montrer comment une résistance quelconque modifierait les équations générales du mouvement d'un point sur une courbe.

Soit F (f) une fonction donnée quelconque de la vitesse du mobile, qui exprime la résistance produite par un milieu ou un frottement. Les équations du mouvement du

IIM1B II,

point malt'iH

pilant seront

g:=Nco,?-FW;;:.

w^f-ï-ïuti-r.

d'où l'i

d tin

i/.»' = -ipfa-îF(«)A.

Or, a

umo;

en des équations de la courbe, ou peut expri-

met (h

au moyen de z el dz\ v s'exprimera de

même en

lïmctio

ides

dz et ill : de sorte que l'on aura uni

équation

différa

tiellc-

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'intégrer,

ou com

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-. r, y en fonction de t, et le mouvement sera

romplé L'éq

déterminé, précédante doDne, en l'intégrant.

-< = = .,l»-.)-iJ"F(.)*i

DYNAMIQUE. 43l

plan de celle courbe soit vertical et que l'arec des z soit dans la direction contraire à celle de la pesanteur. On aura 1 équation, trouvée précédemment dans le cas d'une courbe quelconque,

ou

ils1

— = /-'+?.£* — 2gZ.

On peut supposer h nul, en élevant convenablement le point de départ sur la cycloïde, pourvu que Ton n'ait pas k* -+- 2 gh^> 4ga] et c'est ce que nous supposerons. On a donc l'équation aussi générale

Or, d'après l'équation de la cycloïde, on a

ds1 2 a dz1

7ïP~~ 7 5?'

donc

V S Jhz — z>

on prendra le signe — quand le mobile descendra, et le signe + quand il montera.

On trouve en intégrant, dans le cas du mouvement descendant,

-tf

• arc cos

La constante est nulle, parce qu'on doit avoir à la fois t =± o, z = h \ si Ton fait z = o, on trouve

-yfr

uvirt: ii.

de quelque point que le mobile parle, il

au point le plus bas de la cycloïde dans le même temps; c'est ce qui a fait donner à celte courbe le nom de tnutochrone. Si l'on intègre la valeur de rit à partir du point le plus bas, dans un sens ou dans l'autre, on aura des éléments égaux; ce qui montre qu'à des intervalle de temps égaux, à partir de eet instant, la position du mobile correspond à des valeurs égales de z. Il remontera donc A Ja hauteur A, où sa vitesse sera nulle, dans le même temps

qu il

nies

mire.

h du

e de l'oscillation sera

<vi "- •*/?•

Or, 4a est '« rayon de courbure de la cycloïde au poini le plus bas. La durée de l'oscillation sur la cycloïde, quelle que soil sou amplitude, est donc la même qu elle serait sur le cercle osculateur au point le plus bas, mais pour c]«s amplitudes infiniment petites.

2lil. Si main tenant on considère une courbe quelconque dont le plan osculateur au point le plus bas soit vertical, ou

même que sur une courbe dont le pian serait vertical et dont le rayon de courbure serait » ou aurait pour pro-

J COSût r r

jection sur celui de la courbe donnée, celui de cette courbe même. Elle sera donc enfin la même que sur la courbe située dans un plan vertical passant par la tangente au point le plus bas de la courbe donnée, et qui serait la projection de cette courbe sur ce plan vertical.

265. Cherchons maintenant si la cycloïde est la seule courbe tautochrone, quand on fait abstraction de toute résistance.

Prenons pour origine le point où le mobile doit parvenir dans un temps constant, quel que soit le point de la courbe d'où il parte sans vitesse. Nous considérerons l'équation de la courbe entre s et z seulement; car l'équation

ne renfermant que 5, z et /, il s'ensuit que, pourvu qu'on ait la même relation entre 5 et z, on en tirera toujours la même valeur de / en fonction de z. De sorte que, si Ton conçoit le cylindre qui projette une courbe sur un plan horizontal, un point matériel pesant mettra le même temps à parvenir d'un point à un autre de celte courbe, soit qu'on développe ce cylindre, soit qu'on l'enroule sur tout autre cylindre ayant ses arêtes verticales.

Il ne s'agit donc ici que de déterminer s en fonction de z, et nous ne considérerons que les courbes qui peuvent donner pour s un développement procédant suivant les puissances de z. Comme on doit avoir à la fois z = o et s = o, il ne saurait y avoir d'exposant négatif, ni de terme indépendant de z. Soit donc

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Or, cette relation entre s et z ne convient qu'à une cycloïde, dont le sommet est pris pour origine, et la perpendiculaire à la tangente en ce point, pour axe des z. Donc il n'y a d'autre tautochrone dans le vide que la cycloïde dans la position où nous l'avions considérée, du moins parmi toutes les courbes pour lesquelles s est développable suivant les puissances de z.

266. Cette propriété de Yisochronisme des oscillations d'un point qui se mouvrait sur une cycloïde avait fait penser à mesurer le temps au moyen d'un pendule simple dont l'extrémité décrirait des arcs de cycloïde. Il suffirait, pour obtenir un pareil mouvement, dé suspendre un poids au moyen d'un fil flexible et inextensible, à un point qui serait l'origine de deux branches de cycloïde dont le cercle générateur aurait pour diamètre la moitié de la longueur du fil. On voit, d'après la propriété de la développée de la cycloïde, que lorsque le fil s'enroulerait sur ces courbes, ou se déroulerait, son extrémité décrirait une cycloïde dont le sommet serait le point le plus bas ; les oscillations seraient donc isochrones. Mais un pareil pendule serait loin d'offrir dans la pratique les mêmes avantages que le pendule circulaire, et Ton n'en fait aucun usage.

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