CHAPITRE VU

UiiLVI MKM [l'IIS POINT SUR USE SUHFACE FIXE

F {r,y, z) =0 l'équation rie la surfaee silé rie la foin' qu'elle produit, el que nous maie; X, fx, v les angles que sa direction faii ■I X, 1 , Z les composantes totales des forces *s; on aura le système d'équations.

en i'onctiou de l; et toutes les circonstances du mouvement en résulteront.

Ces calculs, eu général impraticables, se simplilicni quand on a

Xdx -hYfir +Zf/ï = </?(x, 7, -), et, par suite,

C désignant une constante arbitraire, déterminée par létal initial.

En effet, les équations (i) donnent immédiatement les deux suivantes :

\dx~- — — dr-r7=Ydx — Xdr + RV — rfr — — «/r ] , ) r/f» " df J \dr dx J )

**'j dlz d'x ld? d? \

! ///' r//' \r/s dan J

Or, en différentianl, par rapport à une variable quelconque, l'identité

in

dy dt

dx dx dt

un trouve

dx ~ dr — -

dy dr ' dt'

dx I dx\

rloû

Ë dly t dx idry- d> Jdx\"-dy

dx -r- — dy —— = — ) d. -~ = ♦»> ( -- ) d. —

dt7 J dr \dt J dx \ds I dx

et de même

, d z d:x 1 dx\* dz

dr - -- dz -r-„- i ( • - ] d — •

r//: *// \ds ' dr

43H Livns ii.

En substituant ces valeurs dans les équation» (a), et remplaçant e* par if(x, yt z) ■+■ C, puis éliminant entre telles NV, un auia une équation diflcrcmiellc entre .r, j-, j, où le temps n'entrera pas, et qui, conjointement avec F(x, j. z) = n, déterminera la trajectoire. Cotnmissantj-

et s en font- lion (]e x, et y en fonction «Je r,^, r, on parviendra facilement à une équation de In forme dt=ty{x)ilx, d'où l'un déduira x en fonction de l, cl, par suite, toutes les circonstances du mouvement.

2(>8. Pression exerct-c sur la siujucv. — La composa nie normale de la résultante de toutes les forces appliquées au mobile, eu y comprenant l'action de la surface, est dans

le plan osculaleur de la trajectoire, et égale à — - Celte dernière forée est donc la résultante de la force produite par l.i surface, qui est normale à la surface et, par suite, à la trajectoire; ci de la composante normale à la trajectoire, de la force extérieure qui agit sur le mobile. Si donc, on désigne celle composante parQ, par 9 l'angle du [dan oscillateur avec la normale à la surface, et nar il celui àtt lit

DYNAMIQUE. 43j

à la surface, cette ligne est la plus courte que Ton puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses points. On peut reconnaître directement que lorsque la force extérieure est nulle ou dirigée suivant la tangente à la trajectoire, le plan oscillateur de cette courbe est normal à la surface. En effet, ce plan doit renfermer la tangente à la trajectoire et la résultante totale, c'est-à-dire une des composantes et la résultante : il renferme donc l'autre composante, qui est la normale à la surface, et, par conséquent, il est lui-même normal à la surface.

Application au mouvement d'un point pesant sur

une spltèrv.