Soit l'équation de la sphère
(l) x*+y* + ?=za\
les équations du mouvement seront
d*x , N.r d'y , Nr d z , .\:
dt1 ri de1 a dt
l'axe des z étant supposé dans le sens de la pesanteur. La vitesse sera donnée par l'équation
la constante c étant déterminée par la hauteur et la vitesse initiale du mobile.
L'équation des aires n'a plus lieu pour tous les plans : mais, comme la résultante des forces qui agissent sur le point coupe toujours Taxe des z, elle aura lieu pour le plan des x et j, comme nous lavons dit précédemment. On
iura di 14)
désignant par f' uns t
m- un i
arbitraire .
l'A|uat
on (3
pi-iil se mettre sous la forrm-
Les équ en fonc
(i),(4),(5) suffisent pot 1 t.
i déterminer.!",^, t
Diirérenti a
H d'abord l'équation il
aurons
xda -hy/lf— — ni:
ajoutai
1 1rs E
nés des équations (4) 8
(6), il vient
+ <-"di\
et i.'ii tirant .t
' -\-y* et *ix* -+- rfy1 dus équations
mi obti
■ndra
mire z et ( l'équation
'rfs' + c'
j'ou r
,ndé<
lit
par r le rayon vecteur de la projection, et par <j* l'angle qu'il fait avec Taxe des x,
(8) r'dty^v'dt et r»=za2 — z>;
~ donc, en se bornant au signe supérieur,
, . ., r' dt ac dz
(9) rf+ = =7—, =
(aa — z'))/(a2 — *') (<?-+- 2#5) — J*
Si Ton substitue à r/* sa valeur en z et rfz, ou si l'on suppose z exprimé au moyen de t par l'intégration précédente, une nouvelle quadrature fera connaître t{/ en fonction de z ou de l; et comme on a
rt = ai — z2 = ¥7 (r),
toutes les coordonnées du mobile seront connues en fonction de t. Mais ces diverses intégrations ne peuvent être calculées que par approximation.
Si Ton veut connaître l'angle que forme, avec la verticale, le rayon mené du centre de la sphère au point mobile, on aura, en le désignant par 0,
z cosô = - ; a
il sera donc connu quand z le sera.
270. Déterminons maintenant la constante c' . Pour cela, décomposons la vitesse initiale du point en deux autres, dont Tune soit perpendiculaire au plan vertical passant par ce point et le centre de la sphère, et l'autre soit comprise dans ce plan. La première sera la composante de la vitesse de la projection horizontale du point, suivant la perpendiculaire au rayon vecteur rde la courbe décrite par cette projection 5 car celte perpendiculaire est normale au
plan vertical dans lequel se trouve la seconde composante iiiuk'de la vitesse absolue du point, et par conséquent celle composante donne une projection nulle sur la perpendiculaire au rayon Vecteur de la projection horizontale.
Soient, dans la position initiale du point, il la valeur de z. k la vitesse, qui est nécessairement tangente à la salière, et x t'angîc que fait sa direction avec la perpendî- • ■iilaireau plan vertical qui passe par le point et le centre de la Sphère ; on aura, d'après ce qui vient d'être dit,
aleur tirée de l'équation (8),
Or, on a
xdx -\-ydy H- zdz = o ,
et, en différenliant,
xd*x -f- yd*y -+- zd7z = — dx* — dy* — dz1 = — r/j? ;
l'équation (n) devient donc d'où
(la) ±Kss.i±£,
et comme N est essentiellement positif, on verra, d'après les valeurs de v et z à chaque instant, lequel des doux signes du premier membre on doit prendre pour que cette équation ne soit pas absurde; on saura ainsi quels signes il faut prendre à cet instant dans les équations (a), et, par conséquent, quel est le sens de la force produite par la Mirface.
Si z est positif, le second membre de l'équation (la) est négatif, et Ton doit prendre le signe inférieur dans le premier membre; d'où il résulte que la surface produit sur le point une force dirigée de la surface vers le centre, toutes les fois qu'il est situé au-dessous du plan horizontal mené par le centre de la sphère.
Si z est négatif, c'est-à-dire si le point est au-dessus de ce même plan horizontal, les deux termes du second membre de l'équation (12) sont de signes contraires, et le résultant peut être négatif, nul ou positif. On prendra encore le signe inférieur de N si Von a
La force N sera nulle quand on aura
— gz = \>\
(Lus ce dernier cas, la surface produit sur le point muforce diriger vers l'extérieur de la sphère, Bt, par conséquent, le point fait effort pour s'approcher du centre. On peut se rendre ci»mple directement de ces diverses
■elatives au sens de la force N: il suffit,
, de s
•app
>elei
pour
que
i résistance de la surface sur la-
quelle un point est eu mouvement détruit la composante suivant la normale à cette surface, laut des forces appliquées au point que de la force centrifuge.
Cela posé, soit R le ravon du cercle suivant lequel le plan osculaleur en un point quelconque de la trajectoire coupe la sphère, et qui n'est autre chose que le cercle
osculaleur de cette courbe : la force centrifuge sera —, et
îl faudra la multiplier pi \anl le rayon de la Bpbèi
— pour avoir sa composante suiqui passe bu même point. On a cite force est dirigée suivant la nartie <\ti -
p' -4- ifz
conséquent, représentée par > le signe étant entendu de la même manière. Ainsi, dans l'hémisphère inférieur, cette expression étant évidemment négative, la force produite par la surface est dirigée vers le centre. Dans l'autre hémisphère, elle sera encore dirigée vers le centre si Ton a
1* -Hgz>o;
elle aura la direction contraire lorsque v*-hgz sera <^o. On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.
272. Mouvement d'un pendule qui s écarte très-peu de la verticale. — Le mouvement du point sur la sphère peut être réalisé en supposant ce point lié au centre par une ligne inflexible et sans masse. Ainsi, le problème que nous venons de traiter est celui du pendule simple, considéré de la manière la plus générale. Les calculs peuvent s'exécuter complètement lorsque le pendule fait toujours un très-petit angle avec la verticale menée par le point de suspension.
Soient 6 l'angle variable que forme la direction du pendule avec celle de la pesanteur, a sa valeur initiale correspondante à z = d, et supposons que la vitesse initiale h ait une direction horizontale, auquel cas la valeur d devient
En négligeant les quantités très-petites du troisième ordre et des ordres supérieurs, devant celles du second, nous aurons
— z = a cos 0 = a , — tl = a cosa = a >
c = X2 — JLga -+- gaà2, c'2 = A'a'sin'a = k7a7a\
générale
Irjn que v résina rauiuuuneai comprit L ;. Il en r&ullt? ijtii' si l'on n 6 = «, on aura lent S = a; le uemlule décrira donc un eône «le l auinur Je la verticale, elle point nuiérwl 'l<:-
> irli' horÎKonlal. Quant à l'angle ty, la formule
- é dt devient rfiji =
et posons
il en résultera
don
/H- r. =±t1/-- arccosa.
La constante cx se déterminera en exprimant que ( = o donne 0 = a, et par suite u = i ; il en résultera
•,=o, et t = ±\yj^
• arccosu, V S
ou
M = COS. 2/ 1/ - î V *
d'où Ton conclura pour 6* la valeur suivante
<T= — î- 1 COS.2* 1/2.,
31 2 V rt
OU
(:4) G' = a2cos*.fi/£ + 6a«in'.f i/£.
On reconnaît immédiatement que 6* est périodique, et que la durée de la période est 7ri/ -• Pour t = o, on a
pour t = 7^1/-' c'est-à-dire au milieu de la période,
on a
-i: l /-» on rétro
i> sorti; qu'un observateur qui se mouvrait avec le plan Tliial qui contient le pendule, verrait osciller ce dernier lire les deux directions faisant avec la verticale, et d'un ème côté, les angles a, 6. Le temps qu'il mettrait pour
de l'une à l'autre serait
'"Vi51
île i ri intervalle, il ne serait pas à égale distance de ces riens droilte, el l'on aurait à cet instant
e qui donne pour 0 une valeur plus grande que la movenne Il reste à i nnnaitre tfi en fonction de '. Or, on a
d'où Ton déduit
J* = arc tang — •
Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que Ton doit avoir en même temps
Cette équation peut se mettre sous la forme
— = tang^, ou (16) tang^ = - tang.fi/-*
On voit que l'angle ty ne croît pas uniformément ; il prend successivement les valeurs tt, arc, 3ft,..., jitt, pour les valeurs successives de t qui rendent le second membre nul ;
ces valeurs sont 7rt/-»...,n7r4/-. Aux milieux de
divers intervalles de temps, le second membre devient infini; le premier le devient donc aussi, et les valeurs de ip sont-;;:, 7r-f--j7r,... \ de sorte que le plan vertical qui contient le pendule se trouve perpendiculaire à sa position initiale. Ainsi, les quatre quarts de la révolution de ce plan sont
parcourus dans des intervalles de temps égaux à -\/-;
et, pendant chacun d'eux, le pendule accomplit dans son plan vertical une oscillation qui l'amène de Tune à l'autre des deux directions extrêmes qui font avec la verticale les angles a et 6.
Ou peut encore remarquer que le plan vertical du pendule met toujours le même temps à parcourir deux angles droits, à partir d'une quelconque de ses positions.
ces
i^hhhi^hhéhmMI
uvn». ii.
