CHAPITRE VIII

TRAVAIL DUNE POBCE. - FOuŒ VIVE.

274. Pnur faire comprendre simplement l'origine de dénomination de travail, supposons que l'on emploie di hommes à élever directement, d'un mouvement uni fort du miiierni du fond d'un puits à la surface du sol. H e»! évident que chacun de ces hommes fera constamment «n même ollbn é^al au poids du corps qu'il élève; le temps pendant lequel il devra être employé sera évidemment proportionne] au poids lotat qu'on veut qu'il élève, et à la hauteur dont il aura été élevé. Ainsi, ce que Ion appelle vulgairement le travail de chacun de ces homme», et, par suite, lu dépense, sera une quantité proportionnelle à

rection de la force. C'est à ce produit qu'on a donné généralement le nom de travail de la force.

D'après cette définition, le travail sera mesuré par le nombre i lorsque la force sera égale à l'unité, et que son point d'application se déplacera d'une longueur égale à l'unité dans le sens de la force. Ainsi l'unité de travail est le travail correspondant à un poids de i kilogramme élevé verticalement de i mètre.

C'est dans le calcul del'eflet des machines que la considération du travail se présente le plus naturellement. Mais nous croyons devoir en parler dès à présent, parce que les remarques que nous ferons dans des cas simples* prépareront naturellement aux considérations plus générales, que nous devons renvoyer après l'étude du mouvement des systèmes. La quantité de travail d'une force est regardée comme positive lorsque la projection du déplacement du point est dans la direction de la force, ou lorsque le déplacement fait un angle aigu avec cette direction. Il est négatif dans le cas contraire, qui est celui de l'angle obtus; il est nul ai l'angle est droit, c'est-à-dire si le point ne se meut si dans le sens de la force ni en sens contraire.

Si la force n'est pas constante, on est obligé, pour calculer le travail produit, d'après la définition précédente, de partager le mouvement en intervalles infiniment petits, pendant chacun desquels la force pourra être considérée comme constante; et le travail total sera la somme des quantités élémentaires de travail, c'est-à-dire l'intégrale J Pr/$eoscj> prise entre les deux limites extrêmes; P désignant la force variable, ds l'élément de la courbe décrite, et <f l'angle de la direction du mouvement avec celle de la force P.

Telle est la manière dont nous entendrons toujours, tant eu signe qu'en grandeur, le travail, élémentaire ou fini, d'une force quelconque.

454 iivnn il.

27ÎÎ. Nouvel énoncé iln principe des vitesses ii~rtturffc#. — Ou voit que le moment virtuel d'une force ne diffère pu de la quantité de travail élémentaire de cette force correspondante au déplacement virtuel de son point d'applicalîon. On peut donc énoncer de cette manière le principe des vitesses virtuelles :

Lorsqu'un système quelconque de points est en équilibre, la somme algébrique tics quantités de travail de toutes les forces est nulle pour tout déplacement infiniment petit, compatible avec tes liaisons du système.

Et, réciproquement, si cette somme est nulle pour tout déplacement possible, le système est en équilibre.

270. Travail de la résultante de forces quelconques . — Lorsque des forées appliquées â un système rigide oui une résultante, elles se trouveraient en équilibre si l'on introduisait une force égale et opposée à cette dernière. La somme des quantités de travail virtuelles serait donc nulle, et, par conséquent, le travail virtuel de la force introduite est égal, au si^ne près, à la somme de ceux qui Carrai pondent aux forces données. Et comme cette force et la né-

quantités de travail, qui n'en diffèrent pas, et la quantité élémentaire de travail, positive ou négative, d'une force qui a pour composantes X, Y, Z, sera

Xdx-+-Ydy + Zdz,

clx, dyy dz étant les composantes, positives ou négatives, du déplacement du point d'application de cette force.

277. Force vive. — Considérons d'abord le mouvement rcctiligne d'un point ayant pour masse m, et soumis à l'action d'une force motrice F. On aura l'équation

daX

dt7

Le travail élémentaire de cette force correspondant à l'espace parcouru dx est ¥dx \ et l'équation précédente donne

d7x il) Ydx = m -— dx = -1- d. /m*,

x ' dt7 *

dx v désignant toujours la vitesse, ou — • On voit donc que

l'accroissement infiniment petit du travail de la force est égal à la moitié de l'accroissement de la quantité me*. On a donné à cette quantité mv* le nom de force vive du mobile. Cette dénomination est impropre, puisque le produit d'une masse par le carré d'une vitesse n'a aucun rapport avec la mesure d'une force; mais nous la conserverons pour éviter les inconvénients attachés au changement de nom, et parce que d'ailleurs elle ne peut induire en erreur, dès qu'on s'est bien entendu sur sa signification.

L'équation (i) peut s'énoncer de la manière suivante : Dans le mouvement rcctiligne d'un point libre, le travail élémentaire de la force qui agit sur lui est égal à la moitié de V accroissement correspondant de la force vive de ce mobile.

Si la forée I varia d'une manière quelconque a»e<- I position du point, et même avec le temps, la proposîiioi précédente aura toujours lieu pour les intervalles infiniment petits, dans lesquels on pourra décomposer, soit un temps, soit un espace fini. Désignons par f0 et v les valeurs de la vitesse au commencement et à la fin de cet intervalle on aura, en faisant la somme des équations (i) relatives ■ tous les éléments qui le composent,

(a) ;«i^'— -; flu-J =/Frf>.

La somme f pourra s'effectuer si F ne dépend que de J et si, dans ce cas, on désigne par 'j. (x) la fonction dont I dérivée par rapport à x est F, et par X\ et X les valent extrêmes de l'abscisse, l'équation précédente de*

Lmv>—L,„Pl =?(ar) — f{s,).

.Mais dans lotis les cas possibles, comme le second membre fFdx est la somme des quantités de travail, positives ou négatives, produites dans tous les intervalles infiniment petits, et, par conséquent, le travail total produit dans l'intervalle fini, l'équation (a) peut s'énoncer ainsi :

DYNAMIQUE. ^5j

Or, d'après ce que nous avons démontré (n° 270), le travail de la force F, pour un déplacement ayant pour composantes dxy dy, dzj est

Xdx + Ydy + Zdz,

expression que Ton obtiendra en ajoutant les équations (i), après avoir multiplié la première par dx, la seconde par dy et la troisième par dz. On trouve ainsi

v . « . r, . fd*x , d*r , dlz , \

Xdx + Ydjr -+- Z(Iz= m t—dx + -^-dy + — dz\,

(2) Xdx -f- Ydr -f- Zdz = \ d. m*.

Le premier membre est le travail de la force F, ou la somme algébrique des quantités de travail des forces dont F serait la résultante. L'équation (2) exprime donc le théorème suivant :

%Dans le mouvement d'un point libre, la somme des quantités élémentaires de travail, relatives aux différentes forces qui y sont appliquées, est égale à la moitié de V accroissement correspondant de la force vive du mobile.

Cette égalité ayant lieu pour tout intervalle infiniment petit, a lieu pour une somme quelconque d'intervalles, et par conséquent pour un intervalle fini; ce qui donne la proposition suivante :

La somme des quantités de travail des différentes forces appliquées à un point matériel libre, pendant un temps fini quelconque, est égale à la moitié de l'accroissement de la force vive de ce point, dans ce même intervalle.

Lorsque les composantes totales X, Y, Z seront les dé-

4JS liviie ii.

rivées partielles d'une même fonction i({x,y, s), l'expression Xdx -f- Yi/v'-r-Z/Zz sera égale à (/.f(.r, j-, a), et I *:' [ n.iLÏoi i ( j.) pourra être intégrée. En désignant par jc„. )(,, ~0i t'n lus valeur! de Xy y, z, v relatives au commencement de l'intervalle arbitraire que l'on considère, l'équat i on (a), intégrée jusqu'à une limite quelconque, correspondante, aux coordonnées x, y, s, donnera

;3] '-, m*- ; m,.] = ?(*, y, ■) - ?(.r„, jr„ *,).

■i" Supposons maintenant le point assujetti à rester sur une courbe nu une surface fixe, qui n'exerce sur lui aucun l'rotlcmcat , et qui ne produit, par conséquent, qu'une (orée normale à la trajectoire. Soient encore X, Y, Z les composantes totales des forces extérieures qui agissent sur

Ko joignant à ces dernières forces celle que produit la nurbe ou la surface, le point peut cire considéré comme il>re, et l'équation (a) s'appliquera, en comprenant la force utinnle parmi mutes celles qui entrent dans le premier nombre. .Maïs le travail élémentaire d'une force normilc nul, nuisuue la projection de l'a

extérieures et la force vive d'un point matériel est ta nié me, soit que ce point soit libre, soit nu il se meuve sur une courbe ou une surface fixe, sans frottement. Si la pesanteur est la seule force extérieure, on a

et l'équation (5) devient

l nw2 — \ mv\ = ntg(z9 — s).