M VUE II

Cela pose, soient an, ai, lu grand il le petit axe de rclir ellipse. Prenons son centre pour piMc, et comptons les angles n partir du yraniî axe; l'équation de eelle courbe sera

(l\' "sin'fl + ft'piw'O __ t , ff' — A'

Si nous exprimons le second membre m fonriioi

moyen de l'équation (a), nous tirerons de l'équation (A)

— :— en fonction de r: et en le reportant dan» la formuli

générale (3), nous aurons lu »aleur de j'y<lr, et par suite la valeur de. '\ en fonction de r.

Or l'équation (a) donne

mie

Ainsi, dans ce mouvement, la force émanant du centre sera proportionnelle à la distance au centre ; et elle sera attractive, puisque la valeur trouvée pour <p est positive.

D'après le principe des aires, le point mettra toujours le même temps à parcourir l'ellipse entière, à partir d'une quelconque de ses positions. Désignons ce temps par T. Comme la constante c représente le double de. Taire décrite par le rayon vecteur dans l'uni té de temps, -JcT sera Taire totale de l'ellipse, et Ton aura

±cT = nab9 d'où T = — •

Si Ton veut introduire la durée de la révolution dans l'expression de la force, on obtiendra

Si, au lieu d'une ellipse, on avait considéré une hyperbole, on aurait trouvé une force répulsive agissant suivant une loi semblable.

6. Réciproquement. — Si un point est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance, il décrira une ellipse dont ce point fixe sera le centre.

En effet, concevons une ellipse qui ait pour centre le point fixe, qui passé par la position initiale du mobile et soit tangente à la direction de sa vitesse initiale. Ajoutons enfin, pour déterminer complètement la courbe, cette dernière condition que, dans la position initiale, la force attractive donnée, estimée suivant la normale, ou la force centripète, soit égale au carré de la vitesse initiale qui est donnée, divisé par le rayon de courbure en ce même point. Ce rayon sera ainsi connu, et Ton aura assez de conditions pour que Tellipse soit déterminée.

S LIVBE II.

Cela posé, si l'on oblige, d'une manière quelconque, Jp point partant de son étal initial, à se mouvoir sur celte ellipse, de telle sorte que les aires décrites pur le rayon vecteur mené du centre, soient proportionnelles au temps, la discussion précédente prouve qu'il sera sollicite par une force dirigée vers le centre, et proportionnelle à ta distance. Mais celte force ne sera autre que la proposée. En eue!, clip est dirigée vers le même point, elle suit la même lui, et elle a la même valeur au point de départ, puisqu'on a déterminé le rayon de eoiuburedel'ellipse par cette condition. Cette ellipse sera donc décrite en vertu de la force donnée. El, p.ir conséquent, une force qui attire un mobile vers un centre lise proportionnellement à la distance à ce pnini, fait décrire une ellipse dont ce point est le centre.

Ce mouvement présente une particularité qui mérite

Nous avons reconnu dans le problème précédent que 1 force <p se trouvait exprimée par la formule suivante i moyeu de la durée T de la révolution e

DYISÀMIQCE. 9

que, et proposons-nous de trouver la courbe que décrit un point attiré ou repoussé par un centre fixe, proportionnellement à la distance à ce centre.

On a, dans ce cas, cp = f*r,fji étant positif dans le cas de l'attraction, et négatif dans le cas de la répulsion : l'équation (3) donne, en représentant par c' une constante arbitraire, qui sera déterminée par l'état initial,

di

en posant (-) = z, on tire ±2dB =

d'où, en intégrant et désignant par a une constante arbitraire, qui résultera des valeurs initiales de r et fl,

±2 v0 — a) = arc cos ■ •

Si, pour plus de simplicité, on compte les angles à partir de la direction qui fait l'angle a avec Taxe primitif, il faudra remplacer 9 — a par 0, et l'équation précédente devient, en prenant les cosinus des deux membres,

çt~ z

d'où

z ~ c'— X/v'7- -£(cus'6 — sin29) — -, •

JHuliip

lia,,. fU

' ', il vient

^(,,+,.)VlÇZt|1,,.)=„

ou

Or, si

fi est positif, les coefficients de x' et jr* sont île

même

signe, el

la trajectoire est une ellipse ayant poor

centre

le point

lixc, comme nous l'avions démontre syn-

lllélîquemi'nt. S

i {j. est négatif, c'est-à-dire si la force eu

repulsi

vc, les coefficients sont Je signes contraires, cl lu

courbe

est une hyperbole ayant encore le point fixe pour

centre.

Dan;

j ce demi

er cas le mouvement n'est pas révolmif, et