point reste éi

'idemment sur la même branebe de l'hy-

perbolt

a questin

n que nous venons de imiter présente no*

circons

lance doi

n on peut profiter pour obtenir directe-

ment li

■s valeurs

des coordonnées x et y en fonction de t\

ce qui

donne la

solution la plus complète de U question.

DYNAMIQUE. Il

Prenons pour axe des x la ligne qui joint l'origine à la position initiale du point : désignons par r© la longueur de cette ligne, par f0 la vitesse initiale, par a l'angle formé par la direction de cette vitesse et celle de la droite menée de la position initiale vers l'origine. Enfin, prenons Taxe des y du même côté de Taxe des x que la direction initiale de la vitesse. On devra avoir pour t ='o les conditions

dr . àx

X=of x=zr0, — = p0sina, — ~— e.cosa.

Les quatre coefficients A, B, A', IV seront ^terminés par ]à, et Ton aura, par suite,

<'„ cosa .

sin.f Y/fx4-r#cos.fy/ft,

p0sina . /— r= — pr-sin.fv>.

Vf»

Ces équations renferment la solution complète du problème. Elles donnent pour x et y des valeurs périodiques, et la durée de la période est pour F une et l'autre

-= 5 comme nous Pavions déjà trouvé.

En éliminant t entre elles, on trouve

(xsin* H-jcosa)' •+■ £-£ y2 = r\ sin'a.

Ainsi, lorsque p. est positif, c'est-à-dire quand la force est attractive, la courbe décrite est une ellipse dont le point fixe est le centre. Cette ellipse se réduirait à un cercle sj l'on avait

a — -, et v; =r url.

Si u. est négalif, c'eit-à-dire si la force est ré[)iil>ivi-, I sÏDUa et cosinus sont remplaces par des ciponeiiiiclh s j maïs ou peut se servir du calcul qui vient d'être fait, et opérer la transformation dans les résultats. L' et pi a lion de i trajectoire devient, par le changement de signe de fi,

relie d'u

iyPe:

bole

litle

s centre, et les valeur*

de x et y prennent la forme suivante ; (rt r.coSaN vf& (r.

KIlcs ne deviennent infinies que lorsque f lui-même le devient; ainsi le point met) rail un temps infini ù paniturii la branche d'hyperbole sur laquelle il se trouve au i mencemeiil du mouvement.

ït. Deuxième exemple. — Un point matériel ilri-rifi une section conique par Faction d'une force dont i iliri-ction passe constamment par an foyer île

DYNAMIQUE. l'S

L'équation de la courbe donne

i i tfcosO

d'où

dQ

Si Ton veut, comme dans l'exemple précédent, faire usage de la formule (3), on y reportera cette expression, dans laquelle on remplacera d'abord sind par sa valeur en r, tirée de l'équation de la courbe, et Ton trouvera ainsi

/frfr__ + ___, d'où

Ce qui apprend d'abord que la force est attractive vers le foyer, puisque la valeur de <p est positive; et ensuite que son intensité varie en raison inverse du carré de la distance à ce point.

Il aurait été plus simple, dans le cas actuel, de faire usage de la formule (4). En effet, l'équation de la courbe donne immédiatement

r e cosB

et, reportant dans l'équation (4)> on obtient

Nous ne- développerons pas ici celte question, qui se repro* duira bientôt à l'occasion du mouvement des planètes.

10, ll„, r,v,i„ m.rb,, <,„,.■ |,u„r

LIYttE II.

c, — Cherchons maintenant toutes les tait décrire un point attiré vers un centre jii inverse du carré de la dislance.

> bu nierons pour le moment à donner une so- ÎEÎque de celle question.

ci ] uns une section conique dont le point fisc fCf, qui passerait par la position initiale du ni tangente à la direction delà vitesse initiale lé que le point lise; enfin nous achèverons mer en ajoutant la condition que le carré de liale divisé par le rayon de courbure au poinl l égal à la force connue qui agit en ee point, ml la normale.

ii're condition fait connaître le rayon decour- 'i lion conique est complètement déterminée el s \ errons lout à l'heure comment on peut la i ee ces données el reconnaître son espèce.

iniaginous un poiuL assujetti à se mouvoir ii'bo avec la même vitesse initiale que le poiut el de telle manière que son rayon vecteur ni ut fixe décrive des aires proportionnelles au

DYNAMIQUE. l5

meut déterminé, ce mouvement ne peut diiférer de celui qui a lieu sur cette section conique.

Ainsi, un point attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance, se meut nécessairement sur une section conique dont ce centre est un foyer.

1 1 . Il reste à déterminer cette courbe d'après les données* qui sont le foyer de la courbe, ou de la branche de courbe s'il s'agit d'une hyperbole, un point et la tangente, ainsi que le rayon de courbure en ce point; ce rayon de courbure devant être situé du même côté de la tangente que le foyer.

Soient F (fig. i) le foyer, M le point donné, PQ la tangente, et O le centre de courbure. On sait qu'en abaissant de O une perpendiculaire OH sur MF, puis une seconde de H sur la normale, le pied K de cette dernière appartient à Taxe principal qui contient le foyer. Joignant donc FK, on aura la direction de cet axe; et le second foyer sera donné par la rencontre de cette droite avec la droite MN, menée par le point M sous un angle PMN égal a FMQ. Si la rencontre a lieu du côté de QPoù se trouve le foyer F, la courbe sera une ellipse; elle sera une parabole si MN est parallèle à FK, et une hyperbole si la rencontre a lieu du côté opposé.

Or, il est facile de reconnaître, d'après les données initiales, lequel de ces trois cas arrivera. En effet, soit menée par le point F une parallèle à MN, qui coupe en I la normale. Si Ton a MK < MI, FK rencontrera MN en un point F' situé du même côté que F par rapport à QP, et par conséquent la courbe sera une ellipse. Si Ton a MK =MI, la ligne FK sera parallèle à MN, et la courbe sera une parabole. Enfin, si l'on a MK> MI, la ligne FK rencontrera le prolongement MN ', et la courbe sera une by-pcrbole.

lj *

Il lai

idonc calculer MK et MI d ;ipres les dnuntes Je h

ipieslio

i. Or, MI étant la bissectrice de l'angle- FMF', Ir

triangle

M FI est isocèle, et ai l'on désigne l'angle connu

FMOp

ar c, ei la distance donnée FM par rt, on aura

MI = ir, cosi.

Maintenant, d'après la manière dont le point K a été ob-

MK = MOcos'«,

et si l'q

désigne par vt la vitesse initiale, la valeur de MO née par l'équation

sera (loi

?r0S'= MO'

tp étant

a force qui agit «ir le point M, et dont la valeur

i en déduira

MO * ' ot par imite MF * "

^ CM i f.

Compa

aul les deux expressions nblrntir» pour MK et Ml.

mêmes caractères que nous venons de trouver pour en faire la distinction. Mais nous aurons occasion de revenir sur cette question, et nous effectuerons alors les calculs que nous ne faisons qu'indiquer.

12. Troisième exemple. — Trouver la trajectoire décrite par un point attiré vers un centre fixe, en raison inverse du cube fie la distance.

Soient A [fig. a) le centre d'attraction, B le point dans sa position initiale, a l'angle qui fait avec BA la direction BC de sa vitesse; représentons toujours par *>0 l'intensité de cette vitesse, et par r0 la distance AB.

La formule (4), appliquée au cas actuel, où l'on a 9 = £>

donne

dV \r;ejsin'a Jr

Nous distinguerons trois cas , suivant que l'on aura

— -A 1 négatif, nul ou positif. Dans tous les cas. la

vitesse v sera donnée par la formule

c' étant déterminé par les valeurs initiales de v et r.

i° Soit d'abord . , . , 1 = 0, ce qui est le cas le

/•;«»; sin* a *

plus simple; F équation précédente devient

-j£ = °> d'où 7 = A« + B.

Pour déterminer les constantes A et B, nous remarque- Il. 2

iS LiynE il.

ions ijii'iiu poim 1), par lequel, pour plus de siinplicilc, nous forons passer l'axe polaire, on tloil avoir

Ur, pour 0 = ", l'équation de la courbe donne

ilr

il en résultera donc

d = 1, is«S5,

et l'équation de la trajectoire sera

i -+• 0 eot a

Celle courbe est donc une spirale hyperbolique dont l« point A est le pè-le.

DYNAMIQUE. ly

centre le pôle. Car ce cercle serait la trajectoire, en supposant une force constante égale à cette valeur initiale; mais il peut aussi être considéré comme décrit en vertu de la force proposée qui, ne dépendant que de la distance, agira toujours avec la même intensité k tous les pointa du cercle; donc, puisque cette courbe peut être considérée comme décrite en vertu de la force proposée, et que celle-ci ne peut produire qu'un seul mouvement d'après les données initiales, c'est cette courbe même qu'elle fera décrire.

Enfin, si a est obtus, le point ne tend plus vers le pôle, et le rayon devient infini pour ô = — tanga, ce qui donne la direction de l'asymptote.

Cherchons maintenant k exprimer les coordonnées du mobile en fonction du temps.

L'équation t*dO = cdt donne, en remplaçant r par sa

valeur,

d r\dB

~~ c(n-0cota)î'

dPoû

ccota 1 -+» ôcota

en déterminant la constante d par la condition qu'on ait en même temps t = o, 0 = o, et remplaçant c par sa valeur r0^0sina, on aura

o0COSa \ i -f- 9 cota/ *'#COSa v '

d'où l'on déduit

r = r9 — r9f cosa

et

cola | v%t

i COS«

np.

an lithk il.

l,a valeur de r dimiuuc à mesure que t augmente, Cl

vient nulle pour t= — ; le mobile parviendrait doue

au pôle après i et intervalle de temps, à partir du point de départ. Quant à la valeur correspondante de 9, elle mente sans limite, cl le mobile a fait dans ce même tenij une infinité de révolutions autour du pôle.

Si maintenant on cherche les positions qui ont précédé le moment qu'on a pris pour origine du temps, il faut faire / négatif depuis zéro jusqu'à l'infini; r ira eu croissant depuis r0 jusqu'à l'infini, et 0 depuis o jusqu qui donne la direction de l'asymptote,

i° Soit maintenant t , . ; i = — n*, n étant

quantité réelle.

L'équation dilléreniielle de la trajectoire aura pour il gralc

- = AsinnG-f-Bcosn&.

En déterminant les constantes A M H d'après les dou;

on en déduit

COta tang n 9 = cot s = >

commp on l'aurait trouvé en posant— jz- = o.

À partir de cette valeur particulière, si Ton augmente ou qu'on diminue 9 de quantités égales, sin (nQ -f- e) recevra les mêmes valeurs, et, par conséquent, la courbe est symétrique par rapport à la direction du rayon vecteur minimum.

La valeur de r deviendra infinie lorsqu'on aura

sin(/iô -t- t) = o, ou /i0 -H i =r mit, m désignant un nombre entier quelconque; on aura alors

tang/? 9 = — tangi = — n tang a.

La plus petite valeur de 0 qui satisfera à cette équation donnera la direction vers laquelle tendra le rayon vecteur en croissant indéfiniment; mais on ne l'obtiendra qu'après un temps infini, comme on le reconnaîtrait facilement en exprimant t en fonction de 0, d'après l'équation

r2d9 =zcdt.

3° Supposons, en dernier lieu, , . . i = /**.

11 rlvl snVa

En intégrant l'équation différentielle de la trajectoire,

on trouvera d'abord

et en déterminant les constantes A et B d'après l'état initial; on obtiendra

33 l- 1 V H F. II.

Ou voit par là que, 0 croissant indéfiniment, r niulia i ïéro.

Si, pour plus de simplicité, on suppose a =

Celte spirale sera symétrique par rapport à l'axe polaîr ses deux branches auront le pôle pour asymptote, et il « facile du voir que le mobile y parviendra après un (eni fini. En ell'et, de l'équation

f'rfft = ait

i\tjet9

Déterminons la constante C, par la condition qu'on ait à I lois / = o, 9 = o, on trouvera

DYNAMIQUE. a3

Il est un cas particulier qui mérite d'être remarqué : c'est celui où il n'entre qu'une seule exponentielle dans l'équation de la trajectoire, qui devient alors une spirale logarithmique. Ce cas a lieu quand on a

cota = ± ».

Supposons, par exemple, cota = — n. On a pour l'équation de la trajectoire

C'est ce qu'on aurait pu reconnaître immédiatement au moyen de l'équation (3) qui, dans le cas actuel, a la forme

Or, lorsque les constantes données satisferont à la condition v] = -Ç> il est évident que l'équation donnera une va-

leur constante pour le rapport . ■■ qui est la tangente de

l'inclinaison du rayon vecteur sur la courbe ; or c'est là la propriété caractéristique de la spirale logarithmique. Dans ce cas, la valeur de «*, qui est

devient

— — i, ou ■ . i,

ca r*p;sin2a

-?—- 1, ou cot'a;

sin'a

ce qui ramène à la condition déjà trouvée.