PP
2° Système hexagonal. — Soient (qrq-t-rs) et (7V </'-+- /-V) les symboles de deux faces, dont les pôles font entre eux un angle y. Si a désigne le paramètre des axes horizontaux et // celui de Taxe vertical, ona(i):
qq'-{-rr'-t-(q-t-r) (q'-+- r?) i-h- ^ss'
-hrV
Dans le cas où les deux laces sont deux laces adjacentes io 11 et (01 1 1) de la protopyramide b\ la formule devient
'1 II1 I Cl
Si l'on connaît les angles pbl ou pal, on se sert des formules :
— -7 = cotpo, —, = cot pa\
■1 h * -ili '
En général, si P (lig. ■l'uj) est le pôle d'une face [qr(q -f- r)s) , Zv et Zy les deux axes horizontaux, de paramètre a, Z le pôle où aboutit l'axe vertical, de paramètre />, si l'on mène les axes ZX et ZY à 3o° des premiers, et qu'on détermine les angles PZ, PX, PZX, PZY, on a
ï=j tê P Z. sin PZX, : = %„pz . sîn PZY.
s lt ' s h °
3° Système quadratique. — Soit y l'angle de deux pôles {qrs), {q'r's'), on a
/ " 1 qq -h rr -\ 7,ss
\/îï■^-'•,+T"s2Vî'ï+^,2-+■$s,2
Dans le cas où les deux pôles sont symétriques l'un de l'autre par rotation de 180 degrés autour de l'axe vertical on a (2) :
- V/ 3 . COt -
(1) Voir Mallard, Traité de Cristallographie, I, p. 280,.
(a) Dans ce cas les caractéristiques sont, par exemple, qrs et qrs.
m CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES
Si la face (///-si e>t choisie pour représenter «'=: (101), on a
Si c'est b= = (m , on a
-=cot-y(i).
~ = \i . cot - y.
Supposons que, dans un cristal quadratique, un protoprisme basé pm, combiné avec le deutéroprisme A1, comme cela se rencontre clans 1 idocrase, porte llig. 2(>o), sur les arêtes horizontales de la base, deux modifications tangentes, qui sont évidemment des protopyramides de Lévy et que nous désignerons provisoirement par b' et b". Admettons en outre que l'angle a porte une facette symétrique, appartenant à une deutéropyraroide a', et deux facettes u, u, faisant partie d'un diociaèdre. L'observation a
Fig. 260.
donné les angles suivants
b ]) = •/. b"p=.ft a'p
up =r
Ici, pour avoir les indices des laces conformément à la notation de Miller,
nous devons prendre, comme axes horizontaux, non les côtés du carré de
;nais ses diagonales, l'axe quaternaire étant l'axe vertical, de paramètre c,
tandis que a (qu'on prend ordinairement égal k l'unité) est le paramètre
commun des axes horizontaux.
Établissons la perspective stéréographique de l'ensemble [fig. ^(ii). Les perspectives des trois axes seront Zz=zp, pK = p/ti et pY = pli1. Les pôles b et b" viendront sur les lignes ]>m, à des distances angulaires dey; égales aux suppléments de k et de fi. De même, a' se placera sur p/11, à une distance angulaire pa'=it — y. Quant à l'un des pôles 11, sa perspective se déterminera par la rencontre des perspectives de deux cercles décrits, fun de p comme centre, avec une ouverture angulaire égale à 7t — 8, l'autre de m comme centre, avec - — £ pour ouverture. 1" Calcul de b' cl b" .
D'après la formule fondamentale, Bi^et st sont les caractéristiques de b',
1 Dam le Manuel de Dea Cloiseaox, le rapport t a'esf pas '-, car si h c, b est le côte eu carré don! a esl la diagonale, il faut donc remplacer b par <i\'.z.
SI STÈME QUADRATIQUE 215
'/., et st celles de b", c'est-à-dire si la notation de V est ; v//,*, \==b *9i> celle de
de // . ; '///,s, [ =.bWt, on a :
cos £ X c <y,
Cf'S //Z ft 5, '
or 0'Z = b'p et, dans le triangle rectilatère b'pX, on a
( — étant le cosinus de l'angle b'pX, égal à \~> degrés ). Don.- .ii==i. rf==i-.,tgb'p
(l S{ ■! CUS 0 p 2
/Vyy étanl ici le supplémenl de y. .
De même on aurait
- • ±-2="— . tgb'p.
Si, pour déterminer le rapport - , nous prenons justement b' , ce qui revieni
à faire b' = bj ou rji^sl^ i , on aura
Cela posé, remplaçant - par cette valeur, on aura
Si. par exemple, ce rapport est égal à -, cela veut dire cpje s2 = 3<7,. Donc
la notation b-'i devient b iqtz=b\.
■>" Calcul de a' .
( »u a a'=zari= ) orts, (.
Ou voit sans peine que o'Y^go0 — pa' . tandis que a'Z=pa' (pa' étant le supplément de l'angle mesuré y • Donc la formule générale
cos a'\ a c /•,
cas a'L s. as.
CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES
devient
Doin
c r, sin pa
cospa
— =- . t" pa ? s- o r
tgpa
'• Calcul de u = ', qlr.Si \.
Connaissant pa = n — o et icim = - — s, il faut déterminer kX, m Y cl «Z
( >n a bZ =pu.
Maintenant, dans le triangle pmu, rectilatère en pin, on a
cos um = sût pa. cos mpu = sin pu. cos (4o° — B;'X).
Avant k/>X, dans le triangle upX, rectilatère en />X, on calculera uX; de même dans pu\, rectilatère en pY, avec Ypu = go0 — w/>X, on aura «Y. La connaissance des trois quantités permettra d'appliquer les formules générales, telles que
bY
v> etc.
a s. cos u/.
i° Système rhomboédrique. — Soient x, y, c fig. 262) les trois pôles des
races du rhomboèdre primitif et P le pôle d'une face quelconque [ors). Si l'on
donne Pj cl Py, le triangle P.ry sera facile à déterminer. De la connaissance
- - angles Pry et P.v '', on déduira Viz et Pi/:, en remarquant que, si y
est l'angle plan du sommet du rhomboèdre, on a
P ./ : = 7. — Psy, Py" = a — Pyar.
Alors les caractéristiques seront données par les équations ' :
sin Pxy s sin Pyx 5
sin P.i ■•;
si/i Pyz
L'angle P./7/ doit être considéré comme positif quand ;1 situé entre xy el xz, et négatif dans le cas contraire. L'application des formules générales, pour la détermination des indices d une forme quelconque, dont P est un pôle, exige la connaissance des distances angulaires PX, PY, PZ de ce pôle aux trois points où aboutissent les lignes menées, par ie centre de la sphère, parallèlement aux trois axes ou arêtes culminantes du rhomboèdre primitif. Ces trois points seront faciles à trouver; car il- tombent évidemment sur les lignes Tx, Ty, T:, et les arcs XY, \Y, YZ ne sonl autres que les angles plans au sommet du même rhomboèdre primitif. Dès lors on peut considérer comme connus les ans TX et T./, respectivement égaux à TY, Ty, TZ, Tz.
li Voir Mallard, Traité de Cristallographie.
SYSTÈMES RHOMROÉDRIQUE ET RHOMBIQUE
Le triangle Pay, dont les trois côtés sont connu-, permet de dét< î miner ['angle IV7» d'où l'on déduit PyT, égal à Tyx diminué de Pyr. Alors, dans le triangle PyT, on peut calculer TP, ainsi que l'angle yTP. Dans ce cas, le triangle YTP fournira la valeur de PY, et PXT celle de PX.
Nous croyons inutile d'entrer dans le détail des calculs. Nous rappellerons seulement qu'on a
in T.v :
— . sut - uz, i a J
On a quelquefois à chercher le symbole d'un rhomboèdre direct ou inverse, dont on connaît l'angle dièdre culminant : soit y le supplément de ce dièdre. Dans ce cas, si j rors \ est la notation à quatre caractéristiques de ce rhomboèdre, on a (en désignant par j le rapport d'axes du rhomboèdre priraitil :
On en déduit
1 — cos y 2 cos V — 1
De là on passerait à la notation de Lévy en se rappelant <pie, suivant les cas,
t + ir .- -r ir f--'-
) rors ; correspond ka*-r ou à er~* et que \ orrs { peut correspondre à a -
et à c * -t-'-.
5° Système rhombique. — Soit P (iîg. a63) le pôle d'une pyramide quelconque et supposons que sa position soit fixée, par la connaissance des angles de la face P avec les faces/; et m, d'où résulte celle des arcs supplémentaires PZ et P/w. L'axe des X, étant 1) celui qui doit avoir le plus petit paramètre a des deux axes horizontaux, est la brachydiagonale pfi1; tandis que la macrodiagonale pg* est l'axe des Y. Le triangle PZ/h, rectilatère en Zm, donne
cos Vin = sin PZ. cos m/,V.
L'angle mZV une fois déterminé, comme PZY = mgi — mZV, on peut calculer PY dans le triangle rectilatère PYZ. Enfin le triangle rectilatère PZX donnera PX, puisque l'angle PZX est le complément de PZY.
Les trois arcs PX, PY et PZ étant ainsi connus, l'application des formules
(1) Dans le mode d'orientation adopté par Naumann.
218 CALCULS CRISTALLOGRAPHIQLES
générales Fournil les indices de la lace P, en supposanl que le rapport d'axes soit donné. Si ce rapport n'était pas préalablement Qxé, on pourrait le déterminer en choisissant, pour le noter b\, un pôle P situé sur Ziw.
S'il s'agit de déterminer le symbole d'une protopyramide fâ=z(qqs), dont le pôle B est s tué sur//», on a
t« HZ. ces />'<■' =r • -" Si c'est un macrodôme a = (o/-s), dont le pôle A serait sur Z//', on aurait
tgAZ = -r---
Enfin, pour un brachydôme e'i = (90s), dont le pôle E serait sur Zg1, on aurait
En appliquant ces formules au cas de a* et e1, et remarquant que Z correspond au pôle de la base/», on trouve
fgPai = ^ et tgpei = £,
ce qui. dans l'hypothèse ou h est pris pour unité, donne
tgpel = c.
6 Système monoclinique. — Si, conformément aux indications qui seront données par la suite, à propos des diverses espèces monocliniques, on prend pour axés : i° la clinodiagonale a; 20 l'orthodiagonale b = 1 ; 3° l'arête mm = c, on voit, en se reportant à la ligure 2 ', j. que l'orthodiagonale aboutit en gii que la clinodiagonale aboutit en r et .r, enfln que l'arête /»///, ou axe de la zone mg1, est Gguréc en g' z ou,;-1 r. Les trois points»1, x, z OU g1, .r, 3 sont donc les points X, ï . '/. où aboutissent les arêtes de la forme primitives, celles auxquelles se rapportent les formules générales de la page 20G.
- ;t-il de déterminer, par le chois d'un hémiorthodôme a1, la valeur du paramètre c, on a, en appliquant la forme générale :
cos as.r a c qt 1 a 7t
cas a'z s, a
ti se transforme en -, puisque, en choisissant pour a la notation a\ on fait qx = *' = 1).
On voit alors que
cos a lx = sirt 1 a ' cos a'z = cos pa ' — j,z ;
SYSTÈME MOXOCLIMQL'E
maisj95=go° — ph1. Donc
cos [i>nl — p: = cos (pa -+- />//' — <)<>" i.
I )(>IIC
SM fia
Stll flll '
a cos [pu* -f- pli1 — 9°°) cos (ai/ti — <)"")
Pour L'application de celte formule, il faut prendre les angles aigus dep avec o1 et A1.
Il n en serait plus de même si l'on prenait, pour axes a et b, les deux côtés égaux de la base rhombe. Plaçons-nous maintenant dans celte dernière hypothèse el supposons que, les éléments fondamentaux de la perspective du cristal binaire avant été établis (fig. a6'i) d'après la connaissance des angles mnietpm, il s agisse de déterminer la notation de deux hémiorthodômes postérieurs a' et a", c'est-à-dire
"~\, rtïïj le's (juc pn' =1 ol' pa"=z {$.
Il convient tout d'abord de fixer la place des extrémités X, Y et /. «les trois axes, respectivement parallèles aux trois directions d'arêtes du parallélépipède fondamental. Le point Zest le pôle du cercle mm. Il coïncide donc avec l'extrémité de la ligne g]Z, menée par le centre g1, perpendiculairement à /;////. Les arêtes X et Y sont contenues dans le plan de la hase; leurs perspectives tombent donc sur une ligne perpendiculaire à g]p, où elles doivent se disposer
symétriquement de pari ci d'autre de g1. Il suffit donc de déterminer Xgi = - XV.
Mais nous savons que le triangle XYZ est polaire du triangle mmp et que, des
lors, XY= i8o°— p. Il reste donc à déterminer cet angle p, qui est le double
du dièdre mpg1. Or, dans le triangle rectilatère mpg*, on a
cos mpg
mp
Les points X et Y une lois placés, considérons le triangle a'XY, qu'on peut diviser en deux triangles rectilalères, a'g1 X, a' g1 Y.
Les côtés g1 X, i,-1 Y étant égaux, tandis que g* «'est commun aux deux triangles et que a' gi X est supplémentaire de a' g1 Y, on a :
siti a' Y sin a' ^ Y sut a \ si/i a £•* \
Donc le côté a' Y est supplémentaire de a' X, qui a le même sinus.
220 CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES
( »r on a
cos a' X = si/i g1 X cos a' g1 X cos a'Z = cos /a' — j>V. ;
mais s1 X = - XY = 900 — mpg* et «V;1 X = <)<>'• — «'g1/'' = î)°° — /;n- Donc cos a X c (j\ cos mpg? sin pa'
cos a'Z a Si cos [pa' — /;Z)
Pour la lace a", on aurait de même
cos a"\ c <y., cos nipg1 sin pa'
cos a' "A a s., cos [pu" — p/.j Le rapport de ces deux expressions est
Si
Si Ion prend la face a' pour déterminer «', admettant ql = sl = 1, le rapport de (B à (A donne précisément la notation de a".
Mais rappelons-nous qu'ici, c désignant toujours le paramètre de l'arête prismatique, a représente le côté de la hase rhombe, c'est-à-dire \a--\- 1 dans le cas où a- serait le carré de la clinodiagonale.
Résumé. Discussion de la forme primitive d'un cristal. — Xous ne donnerons pas ici d'exemples empruntés au système triclinique, où les calculs présentent le maximum de complication. On verra, dans le Traite de Mallard, de quelle manière on les simplifie, dans la pratique, par les choix des notations des Faces fondamentales.
En résumé, quel que soit le nombre des intermédiaires par lesquels on est obligé de passer, d'abord pour fixer les pôles des trois faces du parallélépipède primilil pnit, puis les extrémités des axes de comparaison, X, Y, Z, enfin pour déterminer les dislances angulaires d'un pôle aux trois points X, Y, Z, le problème cristallographique est au fond très simple et n'exige que de l'attention pour bien conduire les calculs.
Il convient maintenant de faire observer qu'il règne toujours, dans la détermination de la forme primitive, un certain arbitraire. En effet, nous avons vu
que, dans le système quadratique, par exemple, on choisissait une protopyra-
mide quelconque, pour représentera8 . Dans le système monoclinique, non seulement le choix de la base p est arbitraire, comme celui des faces m (pourvu qui- la première soil normale à g' et que les laces /// soient également inclinées sur g\, mai- un p- ni prendre, pour a1 ou o1, l'une quelconque des faces de la zone parallèle à 1 axe binaire.
En vertu du choix qui doit être fait dans chaque cas particulier, les paramètn - dea axes de la forme primitive sont a, l>, c; si le choix avait été diffé-
