PRINCIPE DES ASSEMBLAGES RÉTICULAIRES

Disposition des points homologues en réseaux plans. — Nous avons dit «jue tout corps cristallisé homogène comportait une infinité de points homologues, c'est-à-dire caractérisés par une égale distribution de la matière autour de chacun d'eux.

Soit A0 (lig. 3) l'un de ces points. La seule hypothèse que nous ferons con- BÎstera à admettre que les divers homologues de A0 ne lui sont pas contigus, autrement dit que tout milieu matériel est discontinu de sa nature. Ce point it A', celui de tous les homologues de A0 qui en est le plus voisin. Joignoi - A el A, par une ligne droite. Le principe d'égale distribution de la matière exige qn'il y ait un point A5, situé à droite de A, comme A, est situé à droite de A . c'est-à-dire sur la droite A0 A, et à une distance A, A, = A0 A,. Appel tte distance. De même il devra exister un point A.,, situé sur la

même droite, à une distance de \t égale à a, et ainsi de suite. Il en doit être de même k gauche <le A . On peul doue conclure que la ligne A0 A,, indéfiniment prolongée •< droite «t à gauche, est le lieu d'une infinité de points homologuer, distants les uns det autres d'une quantité constante a. Cette quantité esl ce qu'on nomme le paramètre propre à la droite considérée. I) ailleurs la ligne en question ne peul contenir d'antres homologues que A0, A,, A,, etc. ; car, s'il en ton a entn A, et A,, par exemple, le principe d'égale distribution de la matière exigerai! qu'il y en eût un autre, placé de la même manière entre A0

ASSEMBLAGES KÉTÏCULAIRES

ot A,. Cet autre serait alors ))lus rapproché de A„ que A,, ce qui es) impossible car nous avons choisi A, de telle sorte qu'il fût, de tous les homologues de A .

le plus voisin de ce dernier.

Gela posé, s. >ii A/0 celui de tous les homologues, non encore employés, qui est à la lois le pins voisin de la ligne A„ A, et, parmi tous ceu\ qui remplissent cette condition, le plus voisin de A„. Si, par A'0, nous menons une ligue parallèle a A, A , le principe fondamental exige que cette ligne soit une lile d'homologues, distribués comme ceux de la file A0 A,. Il y aura donc sur cette ligne une série de points A ',. A . A . séparés les uns des autres par le paramètre a. L'ensemble des points A et des points A' formera une série de parallélogrammes égaux, ayant pour côtes, avec le paramètre 0, la distance A0 A'0, que nous appellerons le paramètre b. Aucun homologue ne pourra se trouver dans l'intérieur de l'un des parallélogrammes; car, s'il en existait un, il serait plus voisin que les ° points A' de la file A0 A,, ce qui est contraire h l'hypothèse.

D'ailleurs, on voit aisément que les lignes A0A'(1, A.A',, A2A'2, etc., doivent être aussi

des files d'homologues, séparés les uns des autres par le paramètre b. Il suit de là que, dans le milieu cristallin (supposé indéfini), le plan A0 A, A0 contient une infinité d'homologues, tous disposés en quinconce, c'est-à-dire situés sur les sommets de parallélogrammes égaux et juxtaposés, ayant pour côtés les paramètres a et b. L'ensemble des homologues situés dans ce plan formera donc ui réseau plan à mailles parallélogrammiques, caractérisé par les grandeurs et les directions des deux paramètres a et b.

Ce réseau plan prend le nom de plan réticulairc. Chaque sommet de parallélogramme est un nœu:l, et les lignes A, A„ A'0 A',, A0 A '„, A, A ',, etc., sont des rangées de nœuds, réparties en deux systèmes de rangées, 1 un parallèle a a, l'autre parallèle à b. Deux rangées parallèles A„ A,, A'„ A',, telles qu'il oe subsiste entre elles aucun nœud intermédiaire, sont dites rangées limitrophes. Enfin, sur une rangée donnée, deux nœuds que ne sépare aucun nœud intermédiaire sont également dits limitrophes.

Fig. 3.

20 SYMETRIE CRISTALLINE

Formation des assemblages de parallélépipèdes. — Considérons maintenant, parmi tOUS les homologues non encore employés, relui qui est à la fois le plus voisin du plan Afl A, A'0 et du point A0; soit B0 ce point. En vertu du principe Fondamental, B0doil être le point de départ d'un second réseau parallèle au premier et semblablemenl place. En outre, aucun homologue ne peut exister dans l'intervalle de- deux plans, car il serait plus voisin que B0 du plan initial, ce <|ui est contraire à l'hypothèse. Mais si l'on joint A0 B0, cette ligne formera une troisième direction de files, contenant une infinité d'homologues G D . etc., distants les uns des autres du troisième paramètre A0 B0, que nous appellerons c. Chacun des points de la file A0 B0 deviendra l'origine d'un u plan parallèle aux deux premiers. De celte manière, tous les homologues \ . sans exception, se trouveront répartis sur un système de plans équidistants, parallèles au plan initial A0 A, A'0, et séparés les uns des autres par la distance c, comptée parallèlement à A0 B0; en outre, dans chacun des plans, les homologues seront disposés en quinconce, formant des parallélogrammes égaux à ab et semblablemenl placés. < >n peut donc dire que, dans un corps cristallisé, toutes les particules matérielles identiques sont disposées sur les nœuds d'un système de plans réticulaires parallèles et équidistants.

Deux de ces plans, comme A0 A, A'0, B0 B, B'0, qui sont tels que, dans l'intervalle, il n'existe aucun nœud, sont dits plans Limitrophes, et l'intervalle compris entre eux porte le nom de strate.

D'autre part, l'ensemble des lignes A0 B0, A, B,, A2 B2, etc., constitue un plan réticulaire avant ac pour parallélogramme constitutif et les nœuds A'0, A . A . -ont les points de dépari d'une infinité de plans réticulaires parallèles à ac et semblablement placés. Enfin, en combinant les rangées A0 A'0, B0 B'0, d'une part, et A0 B(), A'0 B'(1, de l'autre, on forme un réseau plan ayant pour parallélogramme ôc, et chacun des nœuds de la file A0 A, est le point de départ d'un plan réticulaire semblable et parallèle.

En résumé, tous les nœuds du milieu cristallin se trouvent simultanément sur

systèmes de plans réticulaires, respectivement parallèles et équidistants.

! upenl donc les intersections mutuetles de ces trois systèmes de plans,

Iles sont les sommets dune suite indéfinie de parallélépipèdes égaux et

régulièrement juxtaposés, tels que A0A, A'0 A'^ B0 B, B'0 B',, etc. Un telasscm-

blagc de parallélépipèdes prend le nom d assemblage réticulaire, et l'on dit alors

qu'un cristal est caractérisé par l'existence d'une infinité de //oints ho/nolor/ues,

ant les nœuds d'un assemblage réticulaire. Provisoirement, cet assemhlage

sera défini pour nous par la grandeur et la direction des trois paramètres a, b, c,

qui sontles distances d'un nœud quelconque auxtrois homologues les plus voisins.

Bien entendu, il ne s'agit pas des valeurs absolues de a, b, c, mais bien de leurs

valeurs relatives, I une d'elles, a par exemple, étant prise pour unité; car quelles

tient les valeurs absolues, -i leur relation reste la même, tous les parallc-

I :pipcdes obtenus seront semblables, el c est ce qui importe en Cristallographie.

ASSEMBLAGES RÉT1CULA1HES 21

Disposition et orientation des particules dans les assemblages cristallins. — Jusqu'ici nous n'avons fait, sur la constitution delà matière, aucune hypothèse particulière. Xous nous sommes borné à admettre que les points homologue* n'étaienl pas contigus, dételle sorte que les paramètres a, b, c, si petits qu'ils fussent, avaient toujours une valeur liuie. Ce postulatum étail d'ailleurs nécessité par la connaissance que nous avons des propriétés de la matière, les phénomènes d'élasticité et de dilatabilité' ne pouvant s'expliquer que par l'existence d'intervalles, qui séparent les particules des corps. Rêve: nons maintenant à la conception atomique, qui nous autorise à voir, dan- un corps, une infinité de polyèdres moléculaires ('-aux. Il peut sembler naturel, au premier abord, de regarder les centres de gravité de ces polyèdres comme des points homologues qui, dans l'acte de la cristallisation, doivent avant tout se disposer sur les noeuds d'un /pj. £7v • r-ry.

assemblage reticulaire. Dans ce / \ .™ • -.

cas, imaginons que, du centre de / \ / \

gravité de l'un de ces polyèdres / ^sy? >2< ' \^V

moléculaires, coïncidant avec un / / rJ\ •''/-:«(s•

nœud tel que A0, ou mène une ^"( / -^ >^\ / v--^'

ligne aboutissant à l'un des soin- \ / •./ / \j

mets atomiques de ce polyèdre. Ç& / v<Vr r$sj

Appelons A0 S0 cette ligne, qu'il \ / '•-. /

serait superflu de ligurer ici par '-yJ r?k te£

un dessin. En vertu du principe, ^ ^^ ^"*

un autte polyèdre, ayant son

centre de gravité en A,, devra posséder aussi une ligne A, S,, égale et parallèle à A0 S0, et aboutissant à un sommet atomique Sp de même nature que S. Et il en sera de même pour tous les autres sommets.

11 résulterait de là que tous les polyèdres atomiques devraient être orientés de la même façon, puisque toutes leurs lignes homologues seraient égales et parallèles. Ainsi Y orientation identique des molécules apparaîtrait comme une condition primordiale de la cristallisation. Elle pourrait d'ailleurs, semble-t-il, se justifier au point de vue mécanique. En effet, l'état cristallin est celui que prennent les corps, quand ils sont suffisamment soustraits aux influences extérieures pour n'obéir qu'à l'action mutuelle des particules. Or on comprend, sans qu'une démonstration plus rigoureuse soit nécessaire, que l'équilibre mécanique des particules sera bien plus sûrement réalisé si, déjà identiques par la forme, et disposées sur des files parallèles, elles sont aussi toutes orientées de la même façon.

D'après cela, on pourrait représenter la Constitution d'un corps cristallisé par quelque chose d'analogue à la figure \, où chaque sommet de parallélépipède porterait le centre de gravité d'un polyèdre moléculaire (auquel on a donné ici la forme d'une pyramide octaédrique).

19 SYMÉTRIE CRISTALLINE

Notion des particules complexes. — Toutefois il iaut reconnailre que conception dépasse la portée des constatations expérimentales que nous

avons triai à donner pour base à la théorie des cristaux.

En effet, quand nous avons dit que, dans les corps cristallisés, toutes les droite» parallèles jouissaient de propriétés identiques, et que tous les points du \ aient, an même litre, servir de points de départ à l'étude de ces riétés, nous interprétions des expériences qui ne s'appliquaient, en réalité, ni a des droites géométriques, ni à des points géométriques, dans la rigOttption du mot.

Si délicats que soient nos appareils, ils ne nous font pas connaître les propriétés d'une droite, mais bien celles d'un filet cylindrique parallèle à cette droite et qui, vu l'extrême petitesse des molécules, contient sans doute un grand nombre de rangées de l'assemblage. C'est donc la moyenne des progroupe de rangées que nous fait connaître l'expérience. De . quand nous parlons d'un point, ce qu'il faut entendre, c'est un élément de volume autour de ee point. De la sorte, nos expériences ne portent en aucune façon mit les intervalles intermoléculaires, qui échappent à toute i il serait abusif d'en vouloir étendre la signification jusqu'à ces ultimes éléments : ii cela d'autant plus que rien ne nous garantit que le dernier élément d'un corps soit un polyèdre atomique simple.

1. nous apprend, avons-nous déjà dit, que la vapeur de soufre

•■ de densité avec la température, ce qui ne semble explicable que si la molécule du soufre gazeux résulte elle-même d'une agglomération de molécules simples, dont le nombre diminuerait quand la température augmenterait. A plus forte raison, > il s'agit d'un corps cristallisé, doit-on penser que le groupement primordial e>t encore plus complique.

i, qui sons forme de vapeur a bien la formule H'O, devient, à l'état

liquide, h - ' moléculaire de formule au moins double (I120)2; même,

. elle pré» nte !>• phénomi ne bien connu du maximum de densité à 40, il

semble qu on doive la considérer comme une solution de glace dans de l'eau,

elle-même complexe (1).

Dans ces conditions, pour se maintenir dans les limites de l'application légitime des • •■ périences, il esl sage de se borner à envisager, comme derniers éléments d'un corps cristallisé, d< s particule» complexes (■*.), dont chacune peut .it de molécules en plus ou moins grand nombre. Nous ailleurs plus tard Les hypothèses qu'il semble raisonnable de faire sur la constitution de ces particules, l'ourle moment, c'est à elles, et à elles

-. qne - applique la notion d'orientation identique.

1, Herue générale dri icience», T.. \II, 1901.

I- M. Wallerant, par analogie avec la notion correspondante de domaine complexe, récemment introduite en Allemagne par M. Scnœnfliee dans l'étude géom assemblage* cristallins. <.'•-! I;. particule crhOeJUne <!«■ M. Wyrouboff.

ASSEMBLAGES RETICULA.IRES 23

Il suit de là que le phénomène de la cristallisation totale doit comporter : i° la formation des particules complexes; •" l'orientation identique 'I

particules; 3° la disposition de leurs centres de gravité suivant les nœuds d un assemblage réticulaire, d'où résulte immédiatement la limitation extérieure du corps cristallisé par des faces planes.

Ces trois conditions doivent-elles nécessairement se trouver satisfaites ensemble? ou bien peut-il exister des corps qui ne réaliseraient que les deux premières, ou même la première toute seule.' c'est ce que nous aurons plus tard à examiner à la lumière de 1 expérience.

Nous verrons alors qu'il v a de fortes raisons de penser qu'entre 1 étal amorphe et la cristallisation complète il doit y avoir des étapes intermédiaires, dont chacune caractérise un progrès dans l'ordonnance des parties de la matière. Mais, pour le moment, nous nous bornerons à considérer le cas où cette ordonnance est complète, les trois conditions indiquées se trouvant satisfaites à la fois.

Discontinuité de la matière cristallisée. Orientation des particules cristallines. — On remarquera d'ailleurs que cette conception, basée sur l'ensemble des faits d'expérience relatifs aux cristaux, est pleinement d accord avec la définition théorique d'un ensemble discontinu et homogène. Il est vrai que quelques esprits se refusent à postuler cette discontinuité', se contentant de reconnaître que, dans la matière cristallisée, l'expérience révèle une périodicité des éléments. Quant à ces éléments eux-mêmes, on s'impose, sous prétexte de rigueur, le devoir d'en ignorer la nature.

Nous ne saurions nous arrêter à ce scrupule. Assurément il serait téméraire de croire que la science fût en état de pénétrer jusqu'à l'essence même des choses. Mais il y a des hypothèses qui nous semblent s'imposer, à la fois parce qu'elles mettent de Tordre dans les faits et parce qu'elles répondent, mieux que toute autre conception, à l'image que nous pouvons nous (aire de la réalité. Le continu est une notion purement mathématique, dont la nature, interrogée comme il convient, ne nous offre nulle part la réalisation. Nous devons donc admettre que, la matière minérale ait des parties, et «pie dans une matière homogène, ces parties doivent être identiques. Quant à l'hypothèse de leur orientation uniforme dans les cristaux, non seulement elle semble pleinement justiliée par le raisonnement que nous avons fait; mais on peut dire que de tous les caractères expérimentaux mis en lumière dans le phénomène de la cristallisation, il n'en est pas de plus saillant que la tendance à l'orientation absolument uniforme des cristaux élémentaires qui viennent si souvent se grouper sous une enveloppe commune.

Ainsi on voit fréquemment de gros cristaux de quartz (fig. 5 . terminés d un côté (ici vers le bas par le pointement pyramidal classique, tandis qu à l'autre extrémité sortent une foule de petits prismes pyramides, étroitement serres les uns contre les autres, et tous avant leurs faces homologues parallèles, ce

SYMETRIE CRISTALLINE

Fifc-- 5.

qui se reconnaît du premier coup d'œil au miroitement simultané des facettes conjuguées que vienl frapper la lumière. D'autres lois, c'est une masse cristalline d'une substance quelconque qui vient se terminer, non par une face

plane, mais par une multitude de petits cristaux, cubes ou rhomboèdres, tous parallèles les uns aux autres.

Ce n'est donc pas faire une hypothèse risquée, c'esl simplement se conformer à l'expérience que d'admettre, chez les cristaux, une identité d'orientation des parties élémentaires, que vient compléter le groupement de ces parties suivant un réseau.

Signification des plans réticulaires.

Existence d'une infinité de mailles. — Si maintenant nous poussons plus loin l'interprétation physique des assemblages réticulaires, nous reconnaîtrons que, d'après leur constitution géométrique, c'esl suivant chacun des trois systèmes de plans réticulaires ab, ac, bc, qu'il y a identité de constitution de la matière cristallisée, et que, par conséquent, il doit y avoir identité de propriétés physiques. Mais ce privilège n'est pas particulier aux trois plans en question cl une infinité d'autres sont appelés à en jouir.

Pour If bien comprendre, revenons un instant à la considération d'un seul plan réticulaire, tel que Ac A, A'0 (fig. 6). Les files ou rangées de nœuds A0 A2,

A0A0", etc., par lesquelles nous avons défini ce plan réticulaire, n'ont pas, en tant que lignes, de réalité objective. La seule chose réelle, c'est la position absolue des nœuds. Mais si, gardant la rangée A0 A3, nous définissions le réseau par des rangées telles que A0A',, A,A'2, etc., tous les A^j nœuds se trouveraient également sur les intersections mutuelles des deux systèmes de oisis. Par conséquent, si l'on donne le nom de maille à un parallélogramme élémentaire tel que A( A A, A't, on peut dire qu'un réseau donné comime infinité de mailles. Cependant, pour qu'un parallélogramme soi! une maille constitutive 'I" réseau, c'est-à-dire pour que les deux systèmes de ranqui I'- limitent suffisent a définir !<• plan réticulaire, il faut que tous les

ASSEMBLAGES RÉTICULAIRES 25

noeuds de ce plan se trouvent sur les deux systèmes de rangées et qu'aucun ne demeure à l'intérieur des parallélogrammes. Ainsi, le parallélogramme A, A", A, A "., ne sérail pas une maille, parce qu'il subsisterait, dans son intérieur, un nœud A'r Deux rangées qui satisfont à la condition indiquée, c'est-à-dire qui sont telles que le réseau formé en menant, par les nœuds de rhacune d elles, des parallèles à l'autre, comprenne, sans aucune exception, tous les nœuds du plan donné, portent le nom de rangées conjuguées. L'on voit de suite à quelle condition deux rangées doivent satisfaire pour être conjuguées : 1 une d'elles, A0 A,, étant arbitrairement choisie, l'autre s'obtient enjoignant un nœud quelconque A„ de la première avec Van quelconque des nœuds A'0, A\, A'2, eu-., de In rangée limitrophe. Cette dernière condition pouvant être satisfaite d une infinité de manières, en même temps que le choix de la première rangée A A . est absolument arbitraire, il en résulte qu'il y a, pour un plan réticulaire donné, une infinité de couples de rangées conjuguées. Néanmoins il s en tant de beaucoup que deux rangées quelconques soient conjuguées. Ainsi Aa A(1', A0 A',, A0 A',, A0 A'3, sont conjuguées de A„ A,; mais A0 A ", ne satisfait pas à celte condition, non plus que Afl A , parce que les nœuds A ", et A ".., qui ont servi à les former, sont situés sur une rangée A 0 A ... qui n'esl pas limitrophe de A, A,.

Parallélogramme générateur. — S'il existe, dans un plan réticulaire, une infinité de couples de rangées conjuguées, également propres à définir le réseau de ce plan, il est du moins un élément qui demeure constant : c est le nombre des nœuds répartis dans une portion donnée du plan. D'ailleurs, à condition de considérer une étendue suffisamment grande, eu égard à la petitesse des divisions, pour pouvoir négliger les parties de parallélogramme qui empiètent sur les bords, il y a toujours un nombre de parallélogrammes égal au nombre des nœuds. Dès lors, de quelque manière qu'on choisisse les rangées conjuguées, la portion donnée du plan réticulaire étant constante et divisée en un nombre constant de parties, la surface de chacune d elles est invariable. Ainsi Yairc des parallélogrammes ne varie pas, ce qu'on exprime en disant que, dans un plan réticulaire. /'clément invariable est, avec la position absolue des nœuds, la surface de la maille. Mais deux plans réticulaires peuvent différer sensiblement sous ce rapport et comme, dans la matière cristallisée, chacun d'eux peut être considéré comme une surface régulièrement chargée de centres moléculaires; comme, en outre, la force avec laquelle ces centres se retiennent mutuellement semble devoir être en rapport avec leur rapprochement, on peut entrevoir que la cohésion, sur une lace cristalline, sera d'autant plus grande que l'aire de la maille y sera plus petite.

Quoique la division d'un plan réticulaire en parallélogrammes puisse se faire d'une infinité de manières, il y a cependant un mode de partage qui mérite d'être mis en évidence ; c'est celui qui résulte de la jonction d'un nœud A0 aux deux homologues les plus voisins A, et A'0. Dans ce cas, les longueurs a et h sont réduites au minimum. Le parallélogramme résultant peut s'appeler le

•26 SYMETRIE CRISTALLINE

parallélogramme générateur du réseau et même on peut se borner à considérer le triangle construit sur a et b, en lui donnant le nom do triangle générateur. Si l'on appelle a l'angle que font entre elles les rangées conjuguées A^A, et A A , la surface du triangle sera

- ab. sin x

,le du parallélogramme, c'est-à-dire Taire de la maille, sera

w = ab. sin a.

Parallélépipède générateur. — Si maintenant, de la considération d un seul plan réticulaire, nous nous élevons à celle de l'assemblage complet, il sera facile tle reconnaître que sa division en parallélépipèdes est aussi arbitraire que l'était celle du plan en parallélogrammes. En effet, au lieu de joindre A0 à 1»„, nous pouvions tout aussi bien le joindre à B, ou à B'0 (fig. 3). Il existe donc une infinité de manières de diviser un assemblage en parallélépipèdes. Seulement, pour que la totalité des nœuds s'y trouve comprise, il faut que la rangée, non située dans le plan initial A, A, A'., et qui sert à définir les parallélépipèdes, soit conjuguée au plan initial. On voit sans peine que cette condition est remplie si cette rangée résulte de la jonction d'un des nœuds du plan initial avec l'un quelconque des nœuds du plan limitrophe. Or le plan initial lui-même • -i défini par deux rangées conjuguées. On peut donc dire qu'un assemblage réticulaire est défini par trois rangées conjuguées, non situées dans un même plan. La première de ces rangées peut être arbitrairement choisie, parmi toutes celles que comporte l'assemblage; mais la seconde est soumise à la condition d'unir un des nœuds de la première à un nœud de la rangée limitrophe; et la troisième, à son tour, s'obtient enjoignant un des nœuds du réseau formé par hs deux premières à un nœud quelconque du réseau plan limitrophe du dent.

Les trois rangées conjuguées, prises deux à deux, définissent trois plans réti-

culaires conjugués, et chacun de ces plans, tel que Aft A, A'0, est conjugue à la

\ B . formée par l'intersection des deux autres plans. Tous les nœuds

de I assemblage, sans exception, se trouvent aux intersections mutuelle- «les

mes de plans qu'on obtient en menant, par chaque nœud de l'une des

trois . nu plan parallèle au plan des deux autres.

l.n appliquant à l'assemblage le raisonnement (pu; nous avons fait pour un plan, on reconnaît que, dans une portion donnée, il y a toujours un nombrede parallélépipèdes égal au nombre des nœuds. Le volume des parallélépipèdes esl dou<- constant, quelle que soit la division adoptée. C'est ce qu'on exprime en disant que le volume du noyau d'an assemblage est invariable.

Appelons Q i ae I soit I le côté d'un cube a\ ant il pour volume. On a

Û=II oul = \u. Cette quantité 1 esl ce qu'on appelle {intervalle moyen des