ASSEMBLAGES RÉTICULAIRE S

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nœuds. Pour un corps c ci stal 1 i>«- donné, elle peul être regardée comme une caractéristique de la cohésion moyenne à l'intérieur «lu corps.

Parmi tous les modes de génération d'un assemblage à l'aide de trois rangées conjuguées, il en est un qui a la prééminence sur tous les autres. C'est celui où le parallélépipède a pour arêtes les trois plus petits paramètres conjugués A0 A,, A0 A'0, A0 B0. Un tel parallélépipède est dit générateur de l'assemblage. Mais on peut se borner à considérer la pyramide triangulaire (pion obtiendrait en joignant entre elles les extrémités A,, A'0 et B0 ifig. 7). Cette pyramide ou tétraèdre, délinie par les grandeurs a, b, c et les directions des trois paramètres conjugués les plus petits, issus d'un même point, portera le nom de tétraèdre générateur.

Conséquences physiques diverses de la disposition réticulaire. — La disposition réticulaire des milieux cristallisés n'étant que la traduction logique de ce que l'observation nous enseigne sur les propriétés de ces milieux, on doit pouvoir en déduire, a posteriori, tout ce qui constitue les caractères fondamentaux des cristaux. C'est ce qu'il va nous être facile de vérifier.

Une rangée ('tant donnée, par tout nœud de l'assemblage passe une rangée parallèle et de même paramètre. L'espacement des particules est le même pour toutes les rangées parallèles et dès lors les propriétés physiques de celles-ci doivent être identiques. En outre, trois nœuds de l'assemblage, c'esl-à-dire trois centres parliculaires, suffisent pour déterminer un plan qui contient une infinité d'autres centres, formant un réseau homogène. Et par chaque nœud de l'assemblage passe un plan réticulaire parallèle à ce plan, puisque, par ce nœud, on peut toujours mener deux rangées parallèles à deux rangées quelconques contenues dans le plan en question. Tous les plans parallèles sont d'ailleurs identiques entre eux; l'espacement et la disposition réciproques des particules y sont les mêmes, ce qui implique l'identité des propriétés physiques, constatée par l'expérience. Mais si les plans réliculaires que coinporte un assemblage sont en nombre indéfini, il s'en faut de beaueoup que toute direction donnée a priori soit celle d'un plan réticulaire. En elfet il n'y a de directions admissibles que celles des plans qui, menés par un nœud, en rencontrent au moins deux autres, et, par suite, en contiennent une infinité. Nous verrons plus loin à quel caractère on reconnaît qu'un plan mené par un noeud satisfait à cette condition.

D'après la disposition parallélépipédique des assemblages cristallins, c est seulement suivant les rangées et les plans réliculaires qu'il y a identité' de structure. On en peut donc conclure qu'un édifice cristallin se traduira, en général, au dehors, par des arêtes rectilignes et des faces planes; car les élé-

SYMÉTRIE CRISTALLINE

monts qui limitent un cristal, étant formés simultanément, doivent correspondre au\ parties pour lesquelles, à un moment donc s, toutes les conditions physi- - sont les iih'ih - Influence de la densité réticulaire. Explication du clivage. — Les divers plans réticulaires sont très différemment partagés sous le rapport de la disposition des particules matérielles. Chacun deux est caractérisé par l'aire <•> de sa maille. Or, si <> est le volume invariable du noyau et d l'épaisseur d'une strate, c'est-à-dire la distance normale de deux plans limitrophes, on a

il = Mil .

Le produit <•> </ devant être constant, il faut que w varie en raison inverse de </. Iln d autres termes, plus l'aire w de la maille est petite et plus l'épaisseur des strates doit être grande. M lis u est d'autant plus petit que la densité réticulaire. c'est-à-dire le nombre des particules contenues par unité de surface dans le réseau plan, a une plus grande valeur. Ainsi plus un plan est chargé de particules et plus il est éloigné des deux plans limitropbes qui l'entourent. Par conséquent, la cohésion, qui est en rapport avec le rapproebement des parti, nies, sera un maximum suivant le plan et un minimum dans la direction perpendiculaire. Par là s'explique la propriété du clivage. Un cristal se divise suivant des surfaces planes, parce que c'est sur de telles surfaces que se produit le maximum de cohésion et que les particules tendent avec le plus de force a demeurer unies. Les plans de grande densité réticulaire se séparent d'ailleurs plus aisément que les autres, parce que l'effort nécessaire pour opérer la division rencontre, entre ces plans, à cause de leur écartement, le minimum de résistance. Toutes les directions parallèles étant identiques, le même clivage doit se produire par tout le cristal avec une égale facilité et, s'il est dans ace du milieu qu'il s'y trouve plusieurs directions planes de même densité réticulaire, le rlivage s'y produira simultanément et dans les mêmes condition-. Au contraire, aux directions d'inégale densité correspondront des cli- . - in îgalement faciles.

I) autre part, comme l'a remarqué Bravais, les influences, tant intérieures I rieures qui, à un moment donné, limitent l'apport de la substance en de cristallisation, peuvent être, jusqu'à un certain point, comparées aux - qu'on emploie à cliver le cristal. Il est donc aisé de comprendre que, parmi les faces géométriquement possibles, celles-là se produiront de préfé- Buivanl lesquelles la densité réticulaire sera le plus voisine du maximum, iie-nt le cas n est pas le même que pour le clivage, à cause du rôle que jou nt les actions extérieures dans la production des faces des cristaux. Néanmoins on entrevoit assez clairement la raison physique qui limite, d'une façon troite, la variété des faces cristallines, alors que, théoriquement, cette irrail être infinie. Plus la densité d'un plan réticulaire est faible et moins, en - 3 concentrant, les 'entres particulaires ont de ebances de pouvoir

ASSEMBLAGES RÉTICULAIRES

résister à L'action du dehors. Aussi est-ce seulement parmi les plans de plus forte densité réticulaire qu'une forme cristalline ira choisir les faces dont elle doit se composer.

Knfin l'épaisseur des strates riant, selon toute vraisemblance, comparable à la dimension des particules, cette épaisseur doit échapper, par sa petitesse à toute mesure. De là vient qu'en pratique, soit les faces extérieures, soit les races de clivage, peuvent se produire en un point quelconque du corps cristallisé. La direction seule des éléments réticulaires est invariable et, par suite l'angle dièdre de deux faces ne peut changer, à quelque distance du milieu du cristal que ces faces se produisent.

PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES ET EXPRESSION ANALYTIQUE DES ASSEMBLAGES RÉTICULAIRES

Nœuds et rangées. Coordonnées numériques. Caractéristiques. — Un assemblage réticulaire est entièrement défini par trois rangées conjuguées. Représentons ces trois rangées (lig. 8 par Or, Oy et Oz. Tout nœud tel que M ne peut se trouver qu'à l'intersection commune de trois plans, respectivement parallèles aux plans conjugués jtOî/, .rO:, yOz et menés par trois nœuds des rangées Ojt, Oy et Oz. Chacun de ces plans, ^

tel que M P A, intercepte donc, sur l'axe qu'il rencontre, une longueur ou coordonnée linéaire égale à un nombre entier de paramètres. On a ainsi OA = ma ; OB = n6; OC==/jc,#»j netp étant trois nombres entiers. Par conséquent le nœud M, situé à l'extrémité, opposée à O, de la diagonale d'un parallélépipède construit sur ces trois longueurs, peut être délini par le symbole ma. nb, pc.

Mais, dans un assemblage donné, les paramètres a, b, r, de* trois rangées conjuguées se répètent pour tous les nœuds. A condition donc de suivre toujours le même ordre et d'énurnérer d'abord la longueur qui convient à O.r, ensuite celle qui se rapporte à Oy, en dernier lieu celle mesurée sur Oc, on peut se contenter de représenter un nœud M par le svmbole mnp.

Ainsi un nœud est représenté par trois nombres entiers, qu'on appelle les coordonnées numériques du nœud, et dont chacun est le coefQcient dont il faut affecter le paramètre correspondant pour retrouver, dans l'espace, la vraie position du nœud. Les nombres m, n et p peuvent recevoir toutes les valeurs entières possibles, depuis zéro jusqu'à l'inOni, positives ou négatives

MKIKIE CRISTALLIN!

suivant qu'elles sont comptées, sur chacun des axes, à droite ou à gauche de

l'origine ' •■

Tous les nœuds de l'assemblage étant identiques, on obtiendra toutes les iirecùom de rangées admissibles en joignant l'origine O à un nœud quelconque tel que M. On peut donc prendre, pour symbole d'une rangée passant par l'origine, la même série de trois nombres entiers [mnp). Seulement, pour simplifier, il convient de choisir, pour cette définition, celui des nœuds de la qui est limitrophe de l'origine. Pour le trouver, remarquons que tout nœud M . situé sur OM, esl tel que l'on ait

m p op;at;oa'

~MP ~OP~ AP ~~ OA" Or M étant un nœud, on a

Donc

ma nb pc m n p

1) étant un nombre rationnel, qui peut être plus grand ou plus petit que i, suivant que M est plus ou moins éloigné que M de l'origine O.

Supposons que m, n et p aient un plus grand commun diviseur entier d, on

aura

m=mld, n = n,rf, pr=pid;

d'où, en substituant.

m' = mtdD, n'=n%dD, p'=zptdD.

Cela posé, les nombres m', n', p' , mv nv pv devant toujours être entiers, la plus petite valeur dont m', n' et p/ soient susceptibles est celle qui correspond à d\) = i , auquel cas m'= ///,, n' = nt, p' =pt.

Doue, le nœud mlnlpl, défini par trois nombres premiers entre eux-, est celui qui, sur la rangée passant en mnp, est limitrophe de l'origine, et le param ître de la i i la distance de cette origine au point mlnipr

Ainsi, dan- le symbole [mnp) d'une rangée, il convient que les trois coordonaumériques ne contiennent pas de facteurs premiers communs. Ces trois nombres s'appellent alors les caractéristupies de la rangée.

I - mbole mnp peul être choisi pour désigner, non plus seulement une ut 1 ensemble des rangées parallèles à celle qui va de l'origine au nœud limitrophe mnp.

La U étant celle qui passe par le point mz=x, «=o, p=o, son

symbole est ioo . De même < ></ el <>; ont respectivement pour symboles (oioj 1 1 .

Dérivation des nœuds par la règle des résultantes — D'après le principe mêmi dans on réseau plan, défini par deux rangées eon-

ASSEMBLAGES RETICULAIKIS

Fi?. 9.

juguées Ox, (>,v, >i par un nœud, tel que C lig. 9 , on faii passer deux paralaux axes Ox el Oy, ces lignes viennent couper les axes en deux nœuds A el !'>• En d'autres termes, (ont nœud C du plan occupe; L'extrémité de la diagonale d'un parallélogramme ayant ses côtés respectivement parallèles aus axes. Or tous les noeuds d'un réseau étant identiques, toutes les directions de rangées possibles doivent être données par la jonction de l'origine <» avec un nœud quelconque. On peut donc dire que toutes les directions de rangées -ont lt - diagonales de parallélogrammes construits sur Ox et Oy, et ayant pour côtés des longueurs Formées d'un nombre entier de paramètres. Kt connue la longueur OC, intervalle compris entre deux nœuds t> et (>. ësl soit le paramètre même de OC, soit un de ses multiples, il en résulte que les directions et les valeurs des divers paramètres admissibles s obtiennent à l'aide des rangées conjuguées, à titre de résultantes, par une construction tout à fuit semblable à celle du parallélogramme des forces.

Il importe de remarquer que, si cette règle suffit à faire connaître tous les nœuds du réseau el toutes les directions de rangées, elle est loin de donner toutes les rangées. En effet, une direction OC étant connue, par tout nœud de l'assemblage, tel que D, passe une rangée DE,

parallèle à OC el qui évidemment n'est pas comprise dans la construction précédente. Mais il n'est pas une seule des rangées telles que DE dont la direction ne soit définie par une rangée issue de 0.

Tout nœud d'un assemblage, étant situé à l'intersection commune de trois plans, parallèles aux plans conjugués et menés par des nœuds des trois rangées conjuguées, occupe l'extrémité de la diagonale d'un parallélépipède construit sur ces rangées. Cette diagonale résultante est une rangée, dont le paramètre est, soit la longueur même de la diagonale, soit un de ses sous-multiples entiers. Les nœuds d'un assemblage dérivent donc tous les uns des autres, par une règle identique avec celle du parallélépipède des forces.

Caractéristiques des plans réticulaires. — L'équation générale d'un plan qui passe par l'origine des coordonnées est de la forme

A-r-j-By + Cc=o.

Ce plan sera un plan réticulaire de l'assemblage dont Or, Oy et Oz sont trois rangées conjuguées, si, passant déjà par l'origine, il passe aussi par deux autres nœuds mnp, m'n'p' . Si donc, à x, y et -, nous substituons les valeurs ma, nb, pc, puis m'a, n'b, p'c, nous aurons deux équations, qui permettront de déterminer les valeurs relatives des coefficients A, B, C. On trouve ainsi :