ABC

bc [np' — pn ac pin — mp ' ab mn' — nm

ou, en divisant les trois termes par abc,

np' — pn'\ ipni' — mp' \ imn — nm'\

si pourquoi, remplaçant les coefficients A, B, C, par leurs valeurs proportionnelles, on obtient, pour l'équation d'un plan rétieulaire :

- ni, — pn -f- t P"1' — mP') -+- - (nin' — nm') = o. a r r ' o c l

Si les trois binômes ont un plus grand commun diviseur D, on peut poser (i)

np' — pu' pm! — m f/ mit — niri

et l'équation devient

9z + rT + s-

les trois coefficients </, r, s étant des nombres entiers et premiers entre eux.

Ainsi, un plan rétieulaire est défini par trois caractéristiques entières, qui déterminent absolument la direction de ce plan relativement aux plans eonjuj. .

I. symbole (qrs), dans lequel les quantités q, /•, s, désignent des nombres entiers, positifs ou négatifs, pouvant varier de zéro à ± oo , comprend donc tous les plans réticulaires admissibles dans l'assemblage considéré.

Tout plan parallèle au plan (r/rs), mais ne passant pas par l'origine, doit avoir une équation de la forme

/, étant mi nombre quelconque. Si l'on veut que ce plan soit un plan rétieulaire, il faut et il suffit qu'il passe par un nœud m'iî'p" , puisque, à toute direction donnée de plan rétieulaire correspond un plan parallèle mené par chaque nœud. Dès lors, les coordonnées m"a, n"b, p"c du nœud en question satisfont à l'équation du plan, et l'on a

qm -f- ru" -+- sp" = h , i-dire que k, somme de trois termes qui sont des produits de nombres

; n mol '1 explication nous parait nécessaire pour justifier le choix des lettres q, r, s. Bravais se «errait de g, h, k\ divers auteurs ont adopté h, k, l; p, >/, r; u, v, w. Cette dernière notation à l'inconvénient d'offrir une prononciation difficile; les trois précédentes

emploient nu moins li des consonnes utilisées |>;ir Lévy pour désigner Les éléments des

formes simples, ce qui expose e une certaine confusion, comme on le verra plus tard, entre les symboles des éléments '-t leurs indice-. La formule 'y a 1 échappe ;'' ce reproche, ce qui décidé ;i lui donner la préférence.

■ lavant minéralogiste anglais Miller que la science est redevable de la notation des faces h l'aide de trois caractéristiques.

ASSEMBLAGES RETICULAIRES 33

entiers, est lui-même un nombre entier, pi isitif OU négatif, pouvant varier de zéro à -h ou — x .

Le symbole (qrs) peul donc servir à désigner tons les plan-- réticulaires parallèles à une même direction et, suivant la valeur du terme constant /. , ers plans seront j > 1 1 1 — ou moins distants de l'origine.

Plans limitrophes. Coefficients d'intersection rationnels. — Le nombre /. devant être entier, la plus petite valeur dont il soil susceptible est -4- i. On peu! d'ailleurs démontrer que cette valeur est admissible, et dès lors

l'équation

q--hr-j--hs- = ± i 'a o c

représente les deux plans limitrophes de celui qui passe par l'origine, parallèlement à la direction définie par ors). En général, l'équation

représente les deux plans qui, de part et d'autre de l'origine, sont séparés de celle-ci par un nombre de strates égal à /.. Un plan réticulaire défini par

intercepte, sur les trois axes conjugués, des longueurs qu'on obtient en faisant successivement, dans l'équation, deux des coordonnées ensemble égales à zéro.

Ces longueurs sont

Par conséquent, les nombres -,-,- sont les coefficients numériques qui, applii q r s iiii

qués aux paramètres respectifs, définissent les longueurs interceptées. Ces

coefficients sont d'ailleurs respectivement proportionnels à-, -, — . Donc les

nombres q, r, s sont, à un facteur commun près, les inverses des coefficients numeriques qui fixent les longueurs interceptées.

Le nombre k étant entier, ainsi que les nombres q, r, s, on voit que les

quantités- , -, - sont toujours des fractions rationnelles (i). Ainsi un plan réticulaire intercepte toujours, sur trois rangées conjuguées, des longueurs qui sont en rapports rationnels avec les paramètres correspondants.

Cette propriété s'étend d'ailleurs à toutes les rangées possibles. En effet,

ii) Ou appelle expression rationnelle une expression dont les termes ont une commune mesure: ainsi un nombre entier, ou une fraction dnnt le numérateur et le dénominateur sont l'un et l'autre des nombres entiers.

SYMÉTRIE CRISTALLINK

un plan réticulaire et une rangée étant donnés, on peut toujours prendre cette des x. à condition de choisir convenablement les deux , qui, jointes à la première, serviront à définir l'assem- . l'équation du plan, relativement aux trois axes conjugués, étant de la forme habituelle, la longueur interceptée sur l'axe des .r, c'est-àdire sur la rangée donnée, est une fraction rationnelle du paramètre corresmt, ainsi qu'il vient d'être démontré. La troncature rationnelle par les plan- réticulaires est donc un fait commun à toutes les lignes cristallographiques d'un même assemblage.

- !.i signification qui vient d'être attribuée aux caractéristiques d'un plan réticulaire, il est facile de déterminer celles des trois plans coordonnés. Ainsi le plan des xy est parallèle à celui qui, coupant l'axe des z au nœud ooi, H- rencontre les axes des x et des y qu'à l'infini. Ce plan, limitrophe du plan des xy, a donc, pour coefficients numériques de ses intersections avec

Par Miite, les nombres qrs, qui en sont les inverses, seront

c'est-à-din i . Ce sont exactement les caractéristiques de la rangée Oa, conjuguée du plan des xy. Ainsi les caractéristiques sont : pour xOy (ooi); pour no : pour yOz io<> .

Formation des plans réticulaires. Plans et rangées conjugués. — Un assemblage étant défini par trois rangées conjuguées, toutes les directions - de plans réticulaires seront données, si l'on joint un nœud quelconque de l'une des rangées avec deux nœuds arbitrairement choisis sur les aulr - En effet, un plan réticulaire ayant pour caractéristiques trois atiers, q, r, s, ses intersections avec les trois axes sont à des dis-

is de 1 online relativement proportionnelles a -, -, -. Or, si Ion consi-

• 1 tre 1 uœ ; 1 situé sur • • x a une di-tance de 0 marquée par -*— x« ou rs x «,

i i • r. (lvs i / i i • r\ ars .

le ii'iu 1 situe su i- < )y en 3 — X b ou as X b et le nœud situe sur Os en ■* — X c

ou qrXc, on a

rs.

Tb

trois longueurs rsa, qs/>, qrc. sont entre elles comme les longueurs

-, -, . Par suite, le plan réticulaire défini par les trois points rs, o, o),

o . o, o, qr est parallèle au plan donné. Donc à toute direction admis-

ASSEMBLAGES RETICULAIR.ES 33

sihlc de plan réticulaire correspond certainement un plan parallèle, mené par tiois nœuds pris sur les trois rangées.

En opéranl ainsi la jonction de trois nœuds, on forme un tétraèdre, qui a pour sommet l'origine et pour hase un triangle constitué par trois rangées, contenues l'une dans lu plan «1rs xy, la seconde dans le plan des vz et la troisième dans le plan des yz. Or si, par l'origine, qui est un nœud, on mène des parallèles à ces trois rangées, les lignes ainsi obtenues devront être ellesmêmes des rangées et d'eux d'entre elles suffiront à définir la direction du plan réticulaire. On peut donc dire que toutes les directions de plans admissibles, dans un assemblage, seront données par la combinaison de deux rangées issues de l'origine et respectivement contenues dans deux des plans coordonnés.

Il suit de là que l'intersection de deux plans re'ticulaires est toi/Jours parallèle à une rangée. En effet, choisissons l'un de ces plans pour plan des xy. Il suffira, pour définir l'assemblage, d'y joindre deux plans conjugués. Cela posé, l'intersection du plan des xy avec le second plan donné servira à définir la direction, dans xy, d'un plan réticulaire et, toutes les directions de ce genre devant être marquées par des rangées issues de l'origine, il suit de là que l'intersection en question ne peut avoir d'autre direction que celle d'une rangée.

Remarquons maintenant que, si la considération des trois rangées conjuguées ou, ce qui revient au même, des trois plans réliculaires conjugués, suffit à indiquer toutes les directions de plans admissibles, elle est bien loin de donner tous les plans; car à chaque direction trouvée correspond un plan parallèle, mené par chaque nœud.

Cherchons la condition pour qu'un plan réticulaire [qrs], passant par l'origine, soit conjugué d'une rangée (mnp), également issue de l'origine. Il faut et il suffit que le nœud mnp, limitrophe de l'origine, appartienne à l'un des deux plans limitrophes de [qrs). Or l'équation de [qrs) étant

x xi z

celle des deux plans limitrophes est

En remplaçant '-, ~ et - par leurs valeurs m, n, p, pour exprimer que le nœud mnp satisfait à la condition indiquée, on trouve

qm -f- rn -4- sp = zb 1 .

Formules des zones. — On appelle zone, en cristallographie, l'ensemble de toutes les faces parallèles à une même direction. Ces faces, convenablement prolongées, constituent, par leurs rencontres deux à deux, un prisme indéfini,

SYMÉTRIE CRISTALLINE

gonale, don! les arêtes parallèles entre elles définissent la direction de ce qu'on nomme l'axe de zone. L'utilité de la considération des zones, en Minéralogie, est indéniable, si l'on se rappelle que les angles dièdres des mesurent, rai, à l'aide du goniomètre à réflexion. Pour faire

cette mesure, on dispose le cristal de telle sorte que l'intersection des deux bissantes, dont on veut déterminer l'angle, coïncide avec une normale .m dis g due, menée dan- le voisinage du centre, et on le fait tourner ensuite jus [u'à ce qu'on ait successivement reçu dans l'œil les deux images d'un objet, réfléchi par - is. 11 résulte de là que, si un cristal possède plusie - - parallèles à une même direction, il suffira d'avoir placé deux

d'entre eUes dans les conditions exigées par la mesure, pour que toutes les autre-, après des rotations convenables, réfléchissent à leur tour l'objet visé. - te alors, suivant l'expression consacrée, que ces diverses faces sont en zone.

I. - sones cristallines abondent dans la nature; on le reconnaît à ce que les facettes d'un cristal complexe ont généralement leurs arêtes opposées paral- - ce qui prouve qu'elles forment zone avec les deux laces adjacentes, qu'elles coupenl suivant les arêtes en question.

si l'on a pu constater, par des expériences goniométriques. qu'une face nouvelle faisait parti'- de deux zones différentes déjà connues, cette face est absolument déterminée i n direction, puisque, appartenant aux deux zones, elle est parallèle a la loi- aux deux axes de ces zones et qu'un plan est défini par édition d'être parallèle à deux droites données. On conçoit donc qu'il ne -oit pas ssaire de m isurer les inclinaison- de cette face sur celles dont la

notati déterminée el qu'une simple formule doive suffire pour

trouver -on sijmbo'> géométrique ou algébrique, à l'aide de ceux des zones auxquelles elle appartient. Soient qrs , (q'r's' . les caractéristiques de deux plan- servant a définir une zone et passant tous deux par l'origine. Les équation- de ces plan- seronl

<' q — hr|H-,- = o, (i) î-+r'^ + »'- = o.

'a oc a 0 c

pe nt. le- équations de l'axe de zone seront

'( ri — sr' b' sq' — q»' c qr — rq1 '

ainsi qu'on peut - r en éliminant successivement une de- deux varia-

équations i '-i i