.. , ,.,,.. . . , AQ AR

Or 1 observation avait conduit Hauy a reconnaître que les rapports -wy> TïT""

est-à-dire —, — . -.sont touiours rationnels et généralement exprimes

par des nombres simples.

Si. d'ailleurs, pour définir les longueurs AB, AD, AE des arêtes du prisme, on se sert précisément de l'une de ces faces, par exemple de r/r's' (ce qui revient à admettre AQ' = AB, AR' = AD, AS = AE), les rapports précédents

deviennent -,-'-, et portent le nom d'indices de la face ou troncature QRS. q r s

Ainsi les faces d'un cristal sont caractérisées par ce fait, que les indices numériques qui servent a les définir sont toujours rationnels et généralement simples. Telle est la loi des indices rationnels, établie par Haiiy pour les trois arêtes du prisme fondamental, et étendue depuis à tout système de trois axes cristallograpliiques, c'est-à-dire de trois arêtes cristallines qui divergent d'un même point.

Explication de la rationnante et de la simplicité des indices. — Nous avons vu que cette propriété découlait nécessairement du fait que les caractéristiques des rangées et des plans réticulaires étaient des nombres entiers. La loi des indices rationnels nous apparaît donc comme la traduction de la constitution réticulaire des cristaux.

^ <>n peut encore le faire voir d'une façon très

simple, « n utilisant une propriété déjà démontrée des assemblages. En effet nous savons qu'un assemblai:' i 51 entièrement défini par les directions et les paramètres a, b, c, de trois rangées conjuguées Ox, Oy. Oa 6g. m < t qu'il n'existe dans cet assemblage d'autres directions de plans réticulaires est-à-dire de faces cristallines possibles, qu< par la jonction d'un nœud quelconque de Ox avec

deux nœuds arbitrairement choisis sur Oy et 0*. Soit donc QRS un plan réti-

pif, i

LOI DLS TR0NCAT11ŒS RATION.NIILLKS

'il

culaire quelconque. L'intervalle OQ représente évidemment un nombre entier

de fois le paramètre a. On peut donc poser OQ = ma, m étant mi DOmbre entier.

De même on aura 0\\ = nl>, OS=/>c. Ainsi la face QHS peut être définie en

direction par les trois nombres entiers m, n et p. Une autre face étant définie

par trois autres nombres entiers m', n' , p', il est évidenl que les rapports

7-^- , -— rr , ttt- .respectivement égaux a — .—/—.seront rationnels, puisque

OQ OH OS r ° m n p 'ii

ces fractions ont leurs deux termes formés par des nombres entiers.

En outre, ces rapports seront généralement simples. En effet, nous savons

qu'un plan (qrs) coupe les axes conjugués à des distances de l'origine définies

par-,-, -. Mais ces mêmes distances, pour les plans QRS, Q'R'S', sont aussi

définies par m, n, p, m', n' , p'.

,^ , m n p , . . il r s

Donc, les rapports ■—,,—,, —, équivalent aux rapports —,, — r,-?. rr m n p ^ ri q r s

Cela posé, en vertu de la formule analytique (0 cpii donne la surface de la

maille d'un plan réticulaire en fonction des caractéristiques q, r, s, la maille

en question est d'autant plus grande que q, r et s ont des valeurs plus fortes.

Et comme nous avons montré que les plans cristallographiques les plus aptes

à se produire étaient ceux de plus grande densité réticulaire, il en résulte que

les faces qui ont le plus de chances de naître soûl celles pour lesquelles les

... iii ii qrs

caractéristiques ont la moindre valeur, auquel cas les rapports A, -r, —, sont

nécessairement simples.

En résumé, il est permis de dire qu'au fond il y a identité entre la loi des indices rationnels et le principe des assemblages réticulaires, les trois arêtes du prisme fondamental n'étant autre chose que celles du parallélépipède générateur.

Décroissements d'Haiïy. — Il est bon de rappeler qu'IIaùy ne s était pas borné à formuler, comme un résultat d'expérience, la loi des troncatures rationnelles. Il en avait donné une raison physique ingénieuse, très analogue à celle que nous a fournie la considération des rangées conjuguées. Pour le fondateur de la Cristallographie, un prisme naturel était composé de petits

prismes semblables et régulièrement juxtaposés, constituant des rangées de particules intégrantes, susceptibles d'ailleurs d'être isolées par le clivage.

Cela étant, pour faire naître, sur l'angle D d'un prisme ABCDEFGH, une troncature QRS (fig. i3), il suffisait d'enlever, à partir de chacune des arêtes aboutissant en D, des rangées de particules en nombre décroissant. On obtenait ainsi une troncature en escalier et, en attribuant aux prismes élémentaires des

(i) Voir dans Mallard, Traite de Cristallographie, p. aa, l'extension de cette formule au cas où les axes conjugués ne sont pas à angle droit.

SYMETRIE CRISTALLINE

dimensions excessivement petites, on pouvail admettre que l'impression physique résultante serait celle d'une face plane, menée par les points Q, R el S. Par conséquent, les longueurs DQ, DR, DS étant définies par un nombre entier de paramètres (en prenant peur paramètres les dimensions respectives lits prismes), leurs rapports avec les longueurs DQ', DU', DS', relatives a toute autre troncature, ne pouvaient être que rationnels. On voit que, par cette toi des accroissements, llaiiv était arrivé bien près du principe des réseaux. Le seul tort de l'hypothèse serait d'attribuer une réalité objective à ces parallélépi- - <pii, pour nous, ne sont plus que des figures géométriques, dont les sommets portent des points matériels homologues. Sans doute Haùy n'était pas tombé dan- cette erreur, comme le prouve une phrase écrite par lui en 1822; mais l'expression défectueuse de molécules intégrantes a. -pu accréditer le malentendu, jusqu'au jour où la notion des réseaux a été explicitement énoncée par Délai

Loi des zones. — A la loi des troncatures rationnelles, les cristallograpb.es allemands ont voulu substituer la loi des zones, formulée au commencement du xixc siècle par \Yeiss et présentée, dans les traités d outre-Rhin, comme plus générale que celle d'Haûy. On se rappelle que le nom de zone désigne l'ensemble de toutes les faces cristallines parallèles à une même direction, appelée axe de la zone. Cela posé, l'observation démontre que, sur un cristal, les facettes adventives ont le plus souvent leurs côtés opposés parallèles. Par exemple, dans un cristal de quartz 1 Gg. 1 \), on voit fréquemment des facettes, telles que ARCD, CDEF. dans lesquelles les \lî. <d) et FF -ont parallèles, ce qui indique évidemment que ces facettes sont parallèles à l'intersection mutuelle des faces M et N, de même que CDEF, par suite du parallélisme de CE et de DF, est parallèle à l'intersection des faces F et Q. De cette manière, la face adventive CDEF fait partie à la fois des deux M. \ . F, 0 . ce qui la détermine entièrement et permet d'établir, sans mesure préalable, son symbole en fonction de ceux des faces existantes. Il -cmlilr donc que la production de la facette ail été commandée, en quelque sorte, par l'existence des deux zones antérieurement reconnues. En généralisant cette observation, on est conduit à penser que les intersections des faces, combinées deux à i!eu\, indiquent toutes des directions de faces admissibles dans la série soumise .1 l'observation. Dès lors, pour que cette série soit connue tout entière, il suffit qu'on en ail préalablement déterminé deux zones indépendantes. En effet, appelons 1, 2, •>, ', les quatre faces qui définissent le- deux zones indépendantes. F axe de la zone i-a, combiné avec celui de la zone !-',, donne une ristallographiquemenl possible, que non- appellerons ~>. D'autre part, en combinant 1 avec 3 et 2 avec '■. on obtient deux nouveaux axes i-'i, 2-4, qui définissent aussi une face possible 6. A leur tour, 5 et (> forment une nou-