OL, C, OP

Un pareil Bystème est «lit asymétrique.

Supposons maintenant qu il existe un seul axe binaire L2. La présence du

centre entraîne l'existence d'un plan île symétrie 1\ perpendiculaire à L2, et le symbole devient.

C'est le système binaire.

S'il existe deux axes binaires, nous savons que ces deux axes doivent se croiser en un même point et faire entre eux des angles droits. Mais l'existence de deux axes binaires dans un plan entraîne celle d'un troisième axe binaire perpendiculaire à tous deux, ce qui donne lieu à un système trirectangulaire. D'autre part, ces trois axes, pris deux à deux, formant trois systèmes rectangulaires, doivent être d'espèces différentes, aucun d'eux ne pouvant être substitué à un autre par une rotation de i8<>°. Ces trois axes peuvent donc être exprimés par L2, L'2, L"2.

En outre, ebaque axe, combiné avec le centre C, nécessite un plan de symétrie qui lui soit normal et qui contienne par conséquent les deux autres axes. Le ^vmbole total de la symétrie sera donc

les trois plans étant d'espèces différentes comme les axes. C'est le système terbinaire.

Assemblages à un seul axe multiple. — Allons plus loin et admettons qu'il existe trois axes binaires dans un même plan. Ces trois axes, qui seront de même espèce (étant en nombre impair), feront entre eux des angles de iao°, en considérant les parties qui se remplacent par rotation, ou de 6o° en considérant les prolongements. De plus, il devra exister un axe ternaire qui leur soit perpendiculaire à tous les trois. Enfin sur cet axe ternaire viendront se couper trois plans de symétrie de même espèce, dont chacun, normal à l'un des axes binaires, coupera le plan de ces axes suivant une ligne faisant des angles de 3o° avec les axes binaires voisins. C'est tout, et le plan des trois axes ne sera pas un plan de symétrie, car l'axe ternaire, auquel il est normal, n'est pas d'ordre pair. Le symbole de ce système, dit ternaire, sera donc

Après avoir considéré le cas de trois axes binaires situés dans un même plan, nous pouvons supposer qu'il y en ait quatre. Ces quatre axes feront entre eux des angles de i? et seront de deux espèces distinctes. On pourra les désigner par -J.U et aL'2. Mais ils rendent nécessaire un axe quaternaire A*, perpendiculaire à leur plan et sur lequel viennent se couper quatre plans de symétrie aP, aP' , chacun des plans P, perpendiculaire à l'un des axes L, contenant l'autre axe de même espèce, tandis que les plans P' contiennent les axes L'. D'un autre côté, A4 étant un axe d'ordre pair, son existence, combinée avec celle du centre C. nécessite un plan de symétrie qui lui soit normal. Ce plan

SYMETRIE CRISTALLINE

esl justement celui qui contient les quatres axes lunaires. On le désigne par 11, en l'appelant plan principal de symétrie, el le symbole total de cet assemblage, dit quaternaire, esl

A4. aL«, 2L'1, C, II, 2P, iV.

Enfin, les axes d'ordre ï «tant inadmissibles, nous n'avons plus qu'une seule combinaison à examiner, celle où six axes binaires sont situés dans un même plan, faisant entre eux des angles de 30°. Ces six axes, étant de deux espèces, répondent au symbole 3L2, 3L'-\ Leur présence entraine celle d'un axe sénaire Ac. normal à leur plan et sur lequel se coupent six plans de symétrie, ;1\ iP . Chacun des plans P, perpendiculaire à un axe L, passe par un axe L' et inversement. En outre, Ac étant d'ordre pair, sa coexistence avec le centre C détermine un plan principal de symétrie II, qui est celui des six axes binaires. En résumé, le symbole de ce système, dit sénaire, est

Ae

Cas de plusieurs axes multiples. — Les considérations qui précèdent nous ont fait connaître successivement six variétés distinctes d'assemblages réticulaires. Mais nous n'avons encore arrêté notre attention que sur les S3rs- - ne contenant qu'un seul axe d'ordre supérieur à 2 ou, en d'autres termes, sur ceux où il n'y avait qu'un seul plan renfermant à la fois plus de deux axes binaires. Il nous reste donc à voir si la coexistence de plusieurs axes d'ordre supérieur à 2 est possible et dans quelles conditions (1).

Nous allons d'abord démontrer qu'un assemblage pourvu d'un axe sénaire ne

peut admettre aucun autre axe de degré supérieur à 2 (2 .

En effet, s'il y en avait un, distinct de l'axe sénaire et qui fût d'ordre n n pouvant être 3, î ou f>), l'existence de cet axe entraînerait celle de n axes binaires perpendiculaires. Or il est facile de voir que, pour ces nouveaux axes binaires, il n'y a pas de positions admissibles.

Pour le prouver, du centre 0 de l'assemblage (fig. 3o), décrivons une spbère et soit OS l'axe sénaire, tandis que OA, OB, OC, OD, représentent quatre des axée binaires de l'assemblage, faisant entre eux des angles de 3<» degrés. Lu nouvel axe binaire peut-il venir dans l'intérieur de l'un des

m On trouvera, dani l<- Traité de Cristallographie de Mallard, une démonstration générale, qui s'applique ;■ loua les polyèdres indistinctement. Noue nous contenterons ici, pour plus de simplicité, d'examiner le cas des assemblages parallélépipédiques.

Le principe de cette démonstration, comme de celle qui Buit, esl emprunté à M. I . Sohncke.

triangles SAB, SBC, etc., en P, par exemple? Le plan de symétrie qui passe par SB exigerait un axe symétrique, aboutissant en P'. D'ailleurs 1' ne peut tomber que sur le plan bissecteur SE du segment SBA; car il faut qu une série de rotations de Go degrés autour de OS puissent substituer, de deux en deux, les points P les uns aux autres, sans en donner plus de six. Même dans ce cas, il esl clair que l'angle de deux axes consécutifs, OP cl OP', est forcément plus petit que EF, c'est-à-dire que 3o degrés. Or on sait que, dans un assemblage, l'angle de deux axes binaires ne peut tomber au-dessous de celte valeur.

L'intérieur des triangles étant ainsi exclu et aucun axe ne pouvant venir sur le grand cercle AD, en debors de ceux qui s'y trouvent déjà, il reste avoir s il peut en exister un dans des plans de symétrie, par exemple en OM, ce qui en exigerait un autre en OM'. Joignons M et M' par un arc de grand cercle. Cet arc, certainement inférieur à CA, c'est-à-dire à 60 degrés, ne peut, pour être admissible, avoir d'autres valeurs que 45 ou 3o degrés. 11 en est exactement de même pour SM (car si SM était supérieur à \)", cela voudrait dire qu'il y a, à Ut degrés de A, un point dont le symétrique doit existera 3o° de S).

Or la réalisation simultanée de ces conditions est impossible. En effet, dans le triangle isocèle SMM', on a

cos MM' = cos2 MS-hsin* MS. cos MSM'.

MSM' étant égal àGo°, son cosinus a pour valeur - . Donc

cos MM' = cos2 M S + - siniMS=i— sin2MS+ l sin2MS=i — - sin-MS. 2 ni

Supposons d'abord MS = 3o°. Alors sin MS= - . Donc [il cosMM'=i- 1 = 1 ■

SiMS = 45°, sinMS = ^:

[1] cosMM'=i— 7 = 7 .

Mais MM' devant être de 3o ou de 400, son cosinus ne peut être que — ou

Dans les deux cas, il y a incompatibilité avec les valeurs trouvées. Donc

aucun axe binaire nouveau ne peut coexister avec les six axes du système sénaire.

Arrivons maintenant au cas de l'axe quaternaire. Soit (fig. 3i) OQ cet axe, tandis que OA, OB et OC sont trois des axes binaires perpendiculaires, à 4 ï° les uns des autres.

Nous ne pouvons pas songer à installer un nouvel axe binaire qui aboutisse

SYMETRIE CRISTALLINE

dans l'intérieur du triangle AI'.Q. par exemple en P, sur le plan bissecteur de BQA. En effet, il lui faudrait un symétrique en P' et l'angle PP' ne pouvant • piètre inférieur à , >", la seule valeur admissible serait 3o°. Mais s il en était ainsi, il devrait y avoir six axes binaires dans le plan contenant OP et OP', ce qui entraînerait l'existence d'un axe sénaire normal à ce plan ; chose impossible en vertu de ce qui vient d'être démontre, un axe sénaire ne pouvant coexister avec un autre axe d'ordre supérieur à i.

Il ne reste donc qu'à placer le nouvel axe dans un des plans de symétrie, par

exemple en M, ce qui ne peut se faire que si M est le milieu de 1 arc AQ : alors il faut un symétrique sur CQ, en M'.

En premier lieu, le fait que, dans le plan OAQ, il se trouve trois axes d'ordre pair, OQ, OM, OA, à 4j° les uns des autres, entraîne l'existence d'un quatrième axe, en OM, et. par suite, l'axe normal OC devient, de ce chef, un axe quaternaire. Mais OQ l'étant aussi, de sorte qu'une rotation de yo° substitue OC à OA, OA jouit de la même propriété. H y a donc trois axes quaternaires trirectangulaires, savoir OQ, OA, OC. De plus, si nous joignons MB, le triangle sphérique rectangle MBA nous donnera

cr a ■