ET

Fig. 3l.

cos MB = cos * 4 5° = - .

Donc MB = 6o°.

On trouverait la même valeur pour l'arc MD, compris entre le point M et le point D, situé à 4 5° de Q et de C, où aboutit OD, symétrique de OM relativement <i 1 >Q. Ainsi les trois axes binaires BOB', OM et OD font entre eux des angles égaux à 60 degrés, ce qui rend leurs positions admissibles et, en même temps, nécessite l'existence d'un axe ternaire 0 T, normal à leur plan. La même devant se passer dans les divers octants, nous voyons qu il y a quatre a/ es ternaires, qui viendront s'ajouter aux axes existants.

La position des points T est d'ailleurs facile à définir. Joignons MC et AM'. clés ainsi obtenus seront les traces de deux plans de symétrie, puisque chacun d'eux, contenant deux lignes telles que OM et OC-, normales à un axe binaire OM1, se trouve perpendiculaire à cet axe. Les deux plans de Bymétrie se couperonl entre eux et couperont le plan de symétrie BQ de l'ancien assemblage quaternaire suivant une ligne OT', qui sera un axe ternaire, comme étant 1 intersection commune de trois plans de Bymétrie. T' est donc l'un des lniit points cherefa

Par suit» mblage comporte: 1" trois axes quaternaires, OQ, OA, OC,

\t parallèlement aux trois directions d'arêtes d'un cube; -j." quatre axes

ternaires, tels que I >T et OT', disposés comme les diagonales du même cube; i° si.r axes binaires, tels que OM, <>lî, OM', dun t chacun es! bissecteur de ranglc de deux axes quaternaires; \" trois plans principaux de symétrie, QAQ', CQC, CAC, normaux chacun à un axe quaternaire, c'est-à-dire parallèles aux faces du cube; >" six plans de symétrie, dont chacun, normal à un axe binaire, es! bissecteur de l'angle dièdre «le deux plans principaux ainsi OT'B est bissecteur du dièdre de QCO el deQAO, tandis que CT .M est bissecteur du dièdre de COA et de COQï. Ces plans représentent les plan- diagonaux du cube. Le tout passe par le centre commun de symétrie.

Si, au lieu de partir de l'axe quaternaire, nous nous étions proposé de chercher quels nouveaux axes binaires pourraient venir se joindre à ceux du système ternaire, nous eussions, par des considérations tout à lait semblables, trouvé identiquement la même solution : c'est-à-dire que la seule position admissible eût fait apparaître : i° des angles de 60 degrés, entraînant l'existence de nouveaux axes ternaires, lesquels ne pouvaient pas être en nombre inférieur à trois; 20 des angles de 'p°, faisant naître trois axes quaternaires trirectangulaires.

Il est d'ailleurs tout à fait superflu d'en chercher une démonstration directe. Car, d'une part, nous savons qu'un axe ternaire ne peut coexister avec un axe sénaire. En second lieu, la combinaison de deux axes, l'un ternaire, l'autre quaternaire, est précisément celle qui vient d'être étudiée. Il reste donc à voir si plusieurs axes ternaires peuvent s'associer sans qu'un autre axe principal vienne s'y adjoindre. Or si, à un axe ternaire Tp on en adjoint un autre T,, les trois positions que prendra T„ en tournant autour de T,, donneront, avec ce dernier, un minimum de quatre axes semblables. Pour que ce minimum ne soit point dépassé, il est clair que ces quatre axes doivent être disposés comme les diagonales d'un cube, c'est-à-dire comme les axes ternaires du système précédemment analysé. Alors chacun d'eux comporte son cortège nécessaire de plans de symétrie et d'axes binaires conjugués, placés comme nous l'avons vu, et ceux-ci, pris deux à deux, faisant des angles de 60 et de \") degrés, ces derniers entraînent des associations quadruples, qui ressuscitent les axes quaternaires.

En résumé, en dehors de la combinaison dont nous avons reconnu la possibilité, il n'y a rien qui puisse s'accorder avec la constitution particulière des assemblages réticulaires. Le maximum de leur symétrie, correspondant au seul cas où plusieurs axes d'ordre supérieur à 1 puissent coexister, est donc exprimé par le système appelé terquaternaire.

Son symbole sera

(en désignant par P* les plans principaux et par P2 les plans non principaux). La règle qui veut que, dans tout assemblage, à un axe quaternaire corres-

SYMETRIE CRISTALLINE

pondent, dans un plan normal, quatre axes binaires à \ 5* d'inclinaison mutuelle, esl ici observée. Seulemenl deux de ces quatre axes ne sont pas uniquement binaires; ils sont en même temps quaternaires. Ainsi s'établit la différence ce que nous savons devoir exister entre les quatre axes du plan et c'est pour cela que les six axes simplement binaires sont tous de même espèce (pouvant être substitués les uns aux autres par rotation autour des axes ternaires), ainsi que les plans non principaux.