ASSEMBLAGES A SYMÉTRIE COMPLEXE

des élément- -n|) rposables, et des plans ou des centres, qui ne peuvent donner que des éléments inverses.

Solution du problème par les assemblages à symétrie complexe.

Ainsi posé, Le problème relève de la haute géométrie, el «luit trouver sa solution dans l'application, aux corps cristallisés, des réglée < j n i gouvernenl les assemblages indéfinis de points régulièrement distribués dans l'espace. La question a été traitée par divers savants, notamment par M. Camille Jordan, qui, d.m< son mémoire sur les Groupes de mouvements (i), a établi l'existence dci7'i variétés. Plus d'une centaine sont incompatibles avec la structure cristalline; mais le reste fait connaître les genres de systèmes moléculaires susceptibles d'être ramenés en coïncidence avec eux-mêmes par des mouvements appropriés de l'ensemble.

En s'appuyant sur cette analyse, on trouve que les réseaux de Bravais, ceux que nous avons précédemment étudiés, ne représentent que des cas particuliers, dans un ensemble de combinaisons plus complexes, et capables d'une symétrie plus riche en éléments.

Ce qui caractérise la nouvelle sorte d'assemblages indéfinis, c'est qu'aux plans de symétrie ordinaires, dits plans de réflexion, à cause de l'analogie de leur rôle avec celui d'un miroir, viennent s'ajouter des plans de glissement c'est-à-dire tels que la symétrie de réflexion, relativement à ces plans, n'est réalisée que par un glissement du plan sur lui-même, autrement dit une translation d'ensemble de son réseau, suivant une ligne contenue dans le plan. De même, aux axes de symétrie ordinaire ou ares de rotation s'aojutent des ares hélicoïdaux, pour lesquels la rotation autour de l'axe doit être accompagnée d'une translation suivant ce dernier.

Une série de théorèmes (2) règlent la coexistence de ces diverses sortes d'axes et de plans, permettant d'établir, pour les assemblages complexes, une suite de groupes de symétrie, dont chacun est composé d'éléments tels que, de leur combinaison entre eux et avec les translations du système, il ne puisse résulter aucun élément nouveau. Ainsi se constitue une succession ordonnée de systèmes géométriques, qui répondent et au delà à tous les cas de la cristallisation, et où le degré de symétrie résulte exclusivement de la structure do l'assemblage, sans que la considération des polyèdre- moléculaires y intervienne.

M. Sohncke distinguait 66 de ces systèmes. M. Sehcenflies en a élevé le nombre à 23o, répartis, du reste, comme ceux de M. Sohncke, entre 3a groupes de premier ordre, représentant les combinaisons des réseaux de Bravais.

Relation des assemblages complexes avec les réseaux de Bravais. — Mais d'abord il y a lieu de remarquer que les termes de cette série gravitent autour de chacun des systèmes réticulaires de Bravais ; ensuite que chaque

(1) Brioschi e Gremona, Annali di matematica (a" sér.), II, 18C8.

(a Voir l'énoacé de ces théorèmes dans F. Wallerant, Bail. soc. franc. Je Minéralogie, novembre 1898.

SYMÉTRIE CRISTALLINE

groupe de symétrie complexe possède deux sortes d éléments, les uns, ouprimordiaux, identiques avec les groupes de Bravais ; les autres, ou subordonnés, qui résultent de la combinaison des premiers entre eux et avec les translations du système réticulaire. C'est par le jeu de ces divers organes que, d'un élémenl initial donne, on arrive à déduire toutes les positions que peuvent occuper, dans nu cristal, les symétriques de cel élément.

Cela posé, les éléments primordiaux de symétrie forment autant de faisceaux qu'il y a de points homologues. Autour de l'un de ces points, et dans l'intérieur de la sphère qui limite son domaine relativement aux homologues les plus voisins, représentons-nous, dans l'intérieur du faisceau, une portion de l'esristallin, limitée par des éléments de symétrie dont aucun ne la traverse. a le domaine fondamental de M. Schœnflies. Il est clair que, dans l'intérieui de ce domaine, il n'y a pas deux points du cristal qui soient équivalents; cai-. -ils Tétaient, un élément de symétrie les coordonnerait; or il n'en existe aucun, par hypothèse, dans l'intérieur du domaine.

I> - lors, -apposons, avec M. Wallerant, qu'on installe dans ce domaine un croupe de molécules, sur la nature duquel il n'est pas actuellement besoin de faire d'hypothèse, et qui méritera le nom de particule fondamentale1. Du moment que sa situation dans le domaine est définie, et qu'on connaît les élém ut- primordiaux, centre, plans de réflexion et axes de rotation du réseau de Bravais auquel appartient le point de départ du faisceau, il suffit de construire, autour de ce point, les symétriques de la particule relativement aux éléments primordiaux. Chacune de ces constructions engendrera un nouveau domaine fondamental, limité- relativement à ses voisins par les éléments de symétrie qui en forment le contour ; et toutes ensemble donneront naissance à une particule complète-, pouvant contenir deux sortes de particules fondamentales : les unes superposables à la particule initiale, si elles en dérivent par une rotation, les autres inverses de celle-ci quand elles en proviennent par une réflexion.

Ton- !<■■; mouvements devant se répéter identiquement autour des nœuds du

i primitif, les particules complexes ainsi engendrées seront toutes

orientées de la mém • Caçon, et chaque point de l'une d'elles, combiné avec le

point qui lui correspond dans les autres, donnera évidemment naissance pour

son compi' isemblage réticulaire, identique et congruent avec le réseau

initial. C'esl dans l'assemblage ainsi enrichi, et formé de l'enchevêtrement

d autant de riseaux identiques qu'il y a de particules, que résidera la symétrie

compliq primée par les plans de glissement et les axes hélicoïdaux.

Mais il est clair qu'on peut s'affranchir de cette complication dans l'étude des

form - cristallines, .1 laquelle suffit la considération du domaine complexe, aussi

- iic- que- I autre, el qui nous ramène à la notion, déjà établie par I e\pé-

. des él ristallins 'le même orientation. Ces éléments, sur

//. de M. % > • 1 1 Pedorow. — (a) Paralléloèdre de M. von Fedorow.