NOTION DES FORMES M Ê R I ÉD R I Q U ES

Développement incomplet de certaines formes cristallines. — Une forme cristalline étant un ensemble de faces, pour lesquelles la disposition du plan réticulaire est la même, si les particules disposées sur les nœuds de ces plans étaient de simples points matériels ou agissaient comme de tels points, tout serait semblable de part et d'autre de deux faces de même espèce, en voie de formation dans un milieu cristallin. Par suite, ces faces devraient toujours se produire ensemble et ainsi toute forme cristalline semblerait devoir se montrer, sauf les cas d'avortement purement accidentel, avec le nombre complet de faces qui la caractérise (i).

Cependant les choses ne se passent pas toujours de cette manière, et il est des cas nombreux où une partie des faces fait défaut, sans qu'on en puisse attribuer l'absence à une action extérieure, telle que l'influence du milieu ambiant. Cette disparition n'est d'ailleurs pas capricieuse, et, pour une même forme, elle ne porte que sur certaines faces, placées d'une façon déterminée. Le cas le plus habituel est celui qu'offrent les cristaux de quartz, de pyrite, de tourmaline, etc., où l'on n'observe souvent que la moitié des éléments dont la symétrie du système exigerait la coexistence.

Cette dérogation à la loi de symétrie n'avait pas échappé au fondateur de la cirstallographie. Mais Haùy n'en connaissait qu'un très petit nombre d'exemples, et il avait cru pouvoir considérer comme une anomalie sans importance une disposition aussi rarement réalisée. En 1819, Weiss reconnut la généralité de ce phénomène, souvent masqué, au premier coup d'oeil, par certaines apparences extérieures, qui empêchent d'apercevoir la dyssymétrie. Il lui donna le nom d Hémiédrie et en fit connaître les lois expérimentales, sans se préoccuper d'ailleurs d'en découvrir la cause. Plus tard, Delafosse montra qu'il existai! on second ordre d'hémiédrie, nommé par lui Tétartoédrie, en vertu duquel une forme cristalline pouvait être réduite au quart du nombre normal de se- Continuant à enregistrer ce résultat comme un fait <1 expérience,

ipbes allemands admirent que la nature avait la faculté de produire, tantôt des cristaux complets ou holoédriques, tantôt des formes réduites, simples variété* par défaut des premières, et, attribuant la production de ces

(1) Brarais, Etude» critlallographi/jues, \>. 106.

FORMES MÉRIEDRIQUES 71

variétés incomplètes à l'action des milieux ambiants, ils se bornèrent à préciser, par l'observation, les lois géométriques du pbénomène. C'est ainsi qu'ils furent conduits à énoncer les régies suivantes (i) :

Lois expérimentales de l'hémiédrie. — De même que les diverses formes cristallines, qu'une substance donnée peut offrir, sont indépendantes les unes des autres, de même, dans certains cas, une indépendance analogue semble exister entre les deux moitiés d'une forme déterminée. Quand cela arrive, le choix des faces de la forme qui doivent disparaître csi réglé par une loi constante, dont voici la formule :

Si l'on suppose que toutes les faces de la forme complète aient été transportées à la même distance d'un point central, par lequel passent tous les axes de symétrie, les faces supprimées sont choisies de telle façon que, aux deux extrémités d'un même are de symétrie, c'est-à-dire de part et d'autre du centre, il y ait le même nombre de /'aces conservées, se coupant entre elles et coupant l'are suivant les mêmes angles. De plus, à tous les axes de même espèce correspondent les mêmes valeurs pour le nombre et les angles mutuels des faces qui viennent s'y couper.

Les formes réduites à la moitié de leurs faces étant appelées hémiédriques , l'observation montre qu'il peut y avoir trois modes particuliers d'bémiédrie, obéissant d'ailleurs, les uns et les autres, à la loi qui vient d'être énoncée.

Dans le premier mode, dit hémiédrie plagièdre, la suppression des faces a lieu de telle sorte que les deux polyèdres formés, l'un par les faces conservées, l'autre par les faces supprimées, ne soient pas superposables. On les dit alors énantiomorphes. Chaque face du premier est symétrique de l'une des faces du second relativement à un plan de symétrie. Les deux polyèdres sont donc l'un à l'autre ce qu'un objet est à son image réfléchie par un miroir.

Dans le second mode, dit hémiédrie à faces parallèles ou paraliémiédrie, la suppression des faces donne lieu à deux solides conjugués superposables, ne différant l'un de l'autre que par leur orientation et, de plus, tellement constitués que, dans chacun d'eux, les faces soient deux à deux parallèles et opposées par le centre.

Enfin le troisième mode, dit hémiédrie à faces inclinées ou antihêmiédrie , est caractérisé par ce fait que les solides conjugués, toujours superposables, n'offrent pas de couples de faces parallèles.

Tels seraient donc, en vertu de l'observation, les caractères fondamentaux de l'hémiédrie, caractères également applicables au cas où la réduction porterait sur les trois quarts des faces, faisant naître une télartoédrie. De plus, il y aurait incompatibilité absolue entre les divers genres d hémiédrie et on ne devrait jamais rencontrer, associées sur le même cristal en combinaison multiple, à la fois des formes parahémiédriques et des formes antihémiédriques.

On remarquera que celte définition ne laisse absolument rien soupçonner

(i) Voir Groth, Physikalische Krystallographie, p. 18G.

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relativement à la cause de l'hémiédrie. D'ailleurs elle est insuftisante; car il y .1 des cristaux, tels <[tir ceux de tourmaline et de calamine, où certaines combinaisons de formes, bien développées à l'une des extrémités d'un axe de symétrie, font totalement défaut à l'autre extrémité. Aussi, pour justifier cette particularité, a-t-il fallu ajouter à la notion de l'hémiédrie celle de Y hcmimorphisme, propriété tout aussi mystérieuse que la précédente, permettant à la nature de ne réaliser que la moitié des combinaisons de l'hémiédrie.

Connexion entre 1 hémiédrie et certaines propriétés physiques. — Il y a bien des années que Delafosse s'est élevé contre cette interprétation purement géométrique des phénomènes. Avant lui, Haùy s'était aperçu que, lorsqu'on chauffe un cristal dont les deux extrémités ne sont pas exactement semblables, ces extrémités prennent des électricités de signes contraires. Généralisant cette observation, Delafosse a montré que l'hémiédrie est toujours accompagnée de certains phénomènes physiques, accusant une inégalité dans des éléments d'apparence identique. Il a de plus indiqué la cause probable du phénomène dans la forme même des particules constituantes. A cette époque, conformément aux idées d'Haùy, on regardait les cristaux comme formes par la juxtaposition de particules intégrantes identiques, dont chacune était elle-même un petit cristal, susceptible d'être isolé par le clivage. Or, au lieu de composer un cube avec des particules cubiques, on peut, à condition dr négliger 1 influence des intervalles vides, composer ce cube avec des tétraèdres. Il suffit que, dans chaque strate, les bases contiguës des tétraèdres, tous orientés de la même façon, soient situées dans un même plan, tangent aux sommets des tétraèdres de la strate sous-jacente. En pareil cas, la face inférieure du cube étant formée par la juxtaposition de triangles plans équilatéraux, la face supérieure est constituée par l'affleurement d'une infinité de sommets aigus. Dès lors, ces deux faces ne sont pas physiquement identiques. On verrait de même que certaines arêtes du cube deviennent ainsi les lieux des - homologues des triangles servant de bases aux tétraèdres, tandis que les arêtes opposées sont les lieux des sommets de ces triangles.

Partant de cette conception, Delafosse a pu restituer à la loi de symétrie d'Haùy toute la généralité désirable. Il suffisait de poser en principe que, pour être affectés parles mêmes modifications, les éléments d'une forme primitive «lui vent être identiques, non seulement au point de vue géométrique, mais encore au point <lr vue physique. De cette manière, l'hémiédrie n'apparaît plus connue une anomalie, une dérogation à la règle. Elle trouve sa raison dans la constitution intime des milieux cristallisés, et ne fait que mettre e la forme particulière des particules intégrantes, que l'observation directe serai) impuissante à dévoiler.

Étude rationnelle de l'hémiédrie. Considération de la particule complexe. — Mais la considération des assemblages réticulaires va nous conduire, ave< B a ûs, -i des notions beaucoup plus précises.

FORMES MERIÉDRIQUES 73

Nous avons déjà montre comment la symétrie propre d'une particule complexe devait influer sur le choix du système réticulaire. Cela posé, on remarquera qu'il existe seulement sept espèces de réseaux géométriques, dans la symétrie desquels chaque particule complexe devra trouver sa satisfaction.

M. lis cette particule est un polyèdre ordinaire, qui m'est pas assujetti aux mêmes lois que l'assemblage parallélépipédique. D'une part, elle peut posséder des axes de symétrie d'un ordre quelconque, différent de a, 3, » ou G. 1) autre part, ceux de ses éléments de symétrie qui sont de même nature que les éléments de l'assemblage choisi peuvent ne pas offrir les mêmes combinaisons; car l'assemblage est toujours centré, tandis que la particule complexe ne l'est pas nécessairement. Celle-ci devra faire choix d'un assemblage qui lui convienne. Mais les résultats de ce choix seront très différents, suivant que la particule possédera la totalité ou seulement une partie des éléments de symétrie de l'assemblage choisi.

Influence de la symétrie de la particule. — En effet, les faces des cristaux ne sont pas de simples plans géométriques : ce sont des surfaces chargées de particules complexes dont les centres de gravité sont disposés en réseau. Admettons que. par suite de l'existence / 7 \ " "T^X?

d'un axe d'ordre n dans le réseau, la / *■„/ ;AHl,y\,

production d'une face paraisse devoir <Jf / k-T, \ j / >^

entraîner celle de (n-i) autres faces, ^^ "--/p^

géométriquement symétriques de la L'1

première. Soit F celle-ci, et F' l'une de Fi?. 32.

ses symétriques (fig. 3a).

Les axes de symétrie n'ayant pas de position fixe dans un milieu cristallisé, et n'étant détinis que par leur direction, la substitution de F à F' peut s'opérer de la manière suivante. Choisissant sur F un centre particulaire M et sur F' un centre homologue M', on peut opérer la translation de la face F, demeurant parallèle à elle-même, suivant MM', et, quand M' coïncide avec M, faire

tourner F, ainsi parvenue dans sa seconde position F,, de — - autour d'une

ligne LL menée par M' parallèlement à l'axe existant.

Puisque cet axe est un axe de l'assemblage géométrique, il est évident qu'après ce double mouvement, de translation et de rotation, les nœuds de F coïncideront rigoureusement avec ceux de F'. Mais il faut maintenant considérer les //articules complexes, dont les centres de -cavité occupent les points M et M'. Identiques entre elles, elles étaient en outre, au début, orientées parallèlement, ce qui est, nous l'avons dit, une condition essentielle de la cristallisation. La translation de M en M' a respecté cette identité d'orientation et a ainsi amené les deux particules en coïncidence absolue. Mais quand la face F, devenue F,, tourne, entraînant avec elle la particule M, autour de l'axe

SYMÉTRIE CRISTALLINE

d'ordre rt, si cet aie fait défout à la symétrie propre de la particule, celle-ci ne sera plus, après le mouvement, en coïncidence avec >a première position. Toutes les particules de .'■" seront ainsi orientées autrement que les particules . I . ce qui est en contradiction avec les exigences de la cristallisation. Leurs rapports de position, vis-à-vis du milieu intérieur ou du milieu ambiant, ne seront plus les mêmes que pour F. Par conséquent, les raisons physiques qui ont déterminé la formation de la face F ne se feront pas sentir pour F', et cette face I ne se produira j>as\ ou tout au moins sa production ne sera pas une conséquence forcée de la formation de F. comme cela fût arrivé si on avait pu traiter 1" et F' comme de simples plans géométriques.

On verrait de même que, quand une particule complexe est dépourvue de centre, cela met en défaut la loi qui veut que, dans tout polyèdre centré, à une face corresponde sa parallèle de l'autre côté du centre : de même pour les

plans de symétrie. En vue de rendre la chose bien sensible, considérons deux faces F et F' (flg. 33) symétriques l'une de l'autre relativement à un centre C. Si les particules sont elles-mêmes centrées et agissent comme des sphères (i , il est évident que les deux faces F et F' seront, relativement au dehors, dans des conditions identiques. Par suite l'action qui engendre l'une d'elles devra aussi engendrer l'autre. Mais si Sg. i', les particules, sphériques d'un côté, se terminaient de l'autre en pointe, il est clair que relies de la face F, qui présentent au dehors leur côté arrondi, agiraient autrement, sur le milieu ambiant, que celles de F', lesquelles, devant être orientées comme les premières, tourneraient leurs pointes vers l'extérieur. Chaque face aurait ainsi ce qu'on peut appeler un endroit, et un envers. Tandis que l'une se présenterait au dehors par son endroit, l'autre s'offrirait aux mêmes actions extérieures par l'envers. Les conditions seraient donc dillé- - et il n'y aurait pas de raison nécessaire pour la production simultanée des deux faces.

En résumé, un corps cristallisé ne peut posséder, comme éléments de

Bymétrie, que ceux qui sont communs au réseau géométrique et à la particule

complexe. Tout désaccord entre la symétrie de la particule et celle de l'assem-

susceptible de se traduire, sur les cristaux, par l'absence de certaines

• lotit la constitution du réseau semblait devoir entraîner l'existence.

'I andis donc que, pour les particules pourvues de tous les éléments de l'assem-

(1) Pour pins <!<• ■implicite <l;in-. !a figure, nom donnons à la particule une forme sphéri'|ii<-: maii l«- résultat serait !<• mémo el on se rapprocherait beaucoup plus de la réalité, =i l'on ).ii-.iii de chaque particule un polyèdre a facea planes, tel qu a ne pyramide centrée.

FORMES MÉRIEDRIQUES 75

blage, les formes cristallines sont complètes ou holoédriques, pour les autres on doit s'attendre à les voir incomplètes ou mériédriques (i). Laissant ici de côté le cas où la particule complexe posséderait des éléments de symétrie incompatibles avec la nature des assemblages réticulaires, occupons-nous seulement du cas où il y a concordance.

Cas de symétrie réticulaire. Examen du principe de la moindre symétrie. — Pendant longtemps, on a admis, au moins implicitement, avec Bravais, qu'un corps en voie de cristallisation choisissait nécessairement celui des assemblages dont la symétrie concordait le plus exactement avec celle de sa particule. De la sorte, parmi tous les réseaux offrant les éléments de symétrie de celle-ci, c'était toujours le réseau de moindre symétrie qui était choisi. Ainsi une particule ne possédant qu'un axe binaire eût adopté forcément le réseau binaire. De même, la possession d'un axe ternaire et de trois axes binaires normaux eût entraîné pour une particule l'adoption obligatoire du réseau ternaire, tandis que le réseau terquaternaire n'aurait été choisi que par une particule possédant au moins )L2',L3.

Mais M. "Walleranl a fait remarquer que, si cette restriction se produisait le plus souvent, parce qu'un tel choix n'impliquait, chez la particule, aucune condition spéciale, du moins elle ne s'imposait pas d'une façon absolue. A priori rien n'empêche une particule ternaire de choisir un réseau cubique, à la condition d'orienter son axe ternaire suivant un axe ternaire du dit réseau, et ses trois axes binaires suivant ceux des trois axes binaires du réseau terquaternaire qui sont normaux à l'axe ternaire choisi.

11 est bien vrai que, pour justifier l'adoption d'un réseau déterminé, il ne suffit pas que la particule complexe possède certains éléments de symétrie de ce réseau; il faut encore que les actions mutuelles des particules satisfassent à des conditions déterminées. Par exemple, pour qu'un corps ait un motif d'adopter le réseau cubique, il faut que les actions exercées suivant les trois axes terquaternaires soient égales entre elles. Or si cette condition est pleinement réalisée quand la particule complexe, sans avoir trois axes quaternaires, a du moins trois axes binaires de même espèce rectangulaires entre eux (on démontre en géométrie que cela entraine l'existence de quatre axes ternaires de même paramètre), il n'en est plus ainsi pour une particule pourvue d'un seul axe ternaire, et encore moins pour celle qui n'aurait qu'un axe binaire.

La symétrie de l'édifice cristallin est déterminée par ceux des éléments qui sont communs à la particule et au réseau sur lequel elle s'oriente. Tant que la formule de cette symétrie reste supérieure à celle de l'assemblage réticulaire venant immédiatement après celui que la particule a choisi, les conditions qu'implique ce choix se trouvent satisfaites par simple raison de symétrie, quelle que soit la particule. Dans le cas contraire, le choix d'un réseau de

(i) Le mot de méroédriyues, employé dans quelques ouvrages, parait ]»lus conforme à l'étymologie.

SYMETRIE CRISTALLINE

degré trop élevé demande à être justifié par des raisons propres à la particule.

Notion de la symétrie limite. — C'est ici qu'intervient la considération extrêmement importante des cléments-limites de symétrie. A côté des éléments réels, pleinement conformes aux exigences rigoureuses de la géométrie, une particule peut avoir d'autres éléments, très rapprochés de ce qui serait nécessaire pour la faire passer dans un groupe plus élevé. Si ces éléments sont tels qu'en les traitant comme éléments réels la particule prenne une position qui différera de la position initiale, moins que toute autre, résultant d'un mouvement de la particule par rapport à un élément voisin, on pourra leur donner le nom à éléments-limites. Ainsi une droite sera dite axe-limite d'ordre n, lorsque,

après une rotation de — autour de cette droite, la particule se retrouvera moins

éloignée de sa position initiale que pour toute autre rotation. De la sorte, en se plaçant symétriquement par rapport à un tel élément, la particule possédera, avec sa première position, un volume commun qui sera plus grand que pour tout autre élément voisin (i).

Pour préciser la notion d'un plan-limite, considérons une particule complexe pourvue d'un plan réel de symétrie. Les éléments sont orientés deux à deux et symétriquement par rapport au plan, leurs centres de gravité se faisant face deux a deux sur des diamètres normaux au plan. Or si tous les diamètres s'inclinent légèrement sur le plan et si les éléments matériels tournent légèrement autour de leurs centres de gravité, le plan se transforme en plan-limite. Bien entendu, des deux conditions énoncées, une seule suffit. Les diamètres peuvent rester normaux au plan, la déformation consistant dans un faible mouvement autour du centre de gravité; ou inversement les diamètres peuvent s'incliner, les éléments conservant leurs orientations.

De même, si un axe de symétrie s'incline légèrement par rapport au plan normal du polygone régulier sur lequel les centres de gravité des éléments matériels symétriques sont distribués, ou si, l'axe restant fixe, les éléments tournent un peu autour de leurs centres de gravité, l'axe devient un axe-limite.

1-1 n définitive, tantôt les organes de la symétrie-limite auront, les uns par rapport aux autres, la position qui convient aux organes réels, la différence ne portant que sur l'orientation des éléments matériels de la particule. Tantôt la position relative des organes-limites ne sera qu'approximativement celle qui conviendrait à la symétrie réelle. En outre, tous les organes-limites d'une parti, -nie complexe pourront ne pas présenter le même degré d'approximation. Par exemple, une particule pourvue d'un axe quaternaire réel et d'un axe binaire-limite, normal au premier, aura nécessairement trois antres axes binaires-limites <le même approximation. Mais si, en outre, elle possède un

ii Wallerant, Groupement» rt islallins, p. i5.

FORMES MERŒDRIQUES 77

plan-limite de symétrie passant par l'axe quaternaire, ce qui en fait naître trois autres de même approximation, celle-ci pourra être ou supérieure, ou inférieure, à celle des axes binaires. De la sorte, l'influence des divers élémentslimites pourra se faire sentir d'une façon plus ou moins énergique dans les phénomènes qui dépendent de leur existence (i).

Influence des éléments-limites. — Occupons-nous maintenant, avec M. Wallerant, de rechercher l'influence des organes-limites d'une particule complexe sur les propriétés de l'édifice cristallin. Il va de soi que l<> axeslimites seront des rangées du réseau, et que les plans-limites en seroni des plans réticulaires, puisque, parmi toutes les droites ou tous les plans passanl par le centre de gravité de la particule, ce sont ces éléments-limites qui satisfont avec le plus d'approximation aux éléments de symétrie réels. Par suite, ils deviendront aussi des éléments-limites du corps cristallisé.

Mais seront-ils aussi des éléments de symétrie du réseau géométrique de ce corps? Deux cas sont à distinguer : ou bien les organes limites font entre eux des angles légèrement différents de ceux des organes réels; alors le réseau ne peut lui-même les posséder qu'à titre d'éléments-limites. Ou bien, quoiqu'ils ne correspondent qu'à une symétrie approchée, leur position respective est bien celle qui conviendrait à des organes réels. Alors ils appartiennent bien au réseau comme éléments réels. Ce dernier possède en fait une symétrie qui peut être très supérieure à celle du corps cristallisé, et ainsi naîtra une structure mériédrique spéciale.

Par exemple, imaginons une particule qui possède, à titre d'éléments réels, un axe ternaire et trois axes binaires normaux. En outre, elle est construite de telle façon qu'après rotation de 900 autour d'une ligne, faisant avec l'axe ternaire un angle égal à >', m'i "j" (angle d'un axe A4 avec un axe L3 dans le réseau terquaternaire), les particules fondamentales retrouvent une orientation à peu près identique avec celle qu'elles avaient auparavant. L'axe est donc, pour la particule complexe, un axe quaternaire-limite . Il est alors tout naturel que, dans la cristallisation, cette particule soit amenée à choisir un réseau terquaternaire, en orientant exactement son axe-limite suivant un des axes quaternaires du réseau. Ce réseau, concordant en direction avec les éléments de symétrie, réels et limites, de la particule, aura donc la symétrie terquaternaire, quand la particule ne possédera que la symétrie ternaire.

Or les cas-limites sont extrêmement fréquents dans la nature. De même que les ellipsoïdes qui expriment les propriétés physiques des corps, comme aussi ceux qui représentent la figure des planètes, diffèrent très peu de sphères parfaites, ainsi le nombre est considérable des substances qui, sans atteindre pleinement une symétrie élevée, s'en rapprochent du moins beaucoup par leur constitution intime. On conçoit donc qu'elles puissent profiter de cette simili-

(1) Wallerant, Les groupements cristallins, p. il».

SYMETRIE CRISTALLINE

tude pour réaliser, par l'adoption d'un roseau plus parfait, une symétrie supérieure cpii leur assurera une plus grande stabilité mécanique.

Groupes mériédriques de symétrie. — Cependant si, en raison de cet intérêt d'équilibre, le choix du réseau peut se trouver déterminé, non plus seulement par les éléments réels, mais aussi par les éléments-limites de la particule, un tel arrangement ne va pas nécessairement jusqu'à supprimer les différences de position des polyèdres complexes, relativement à ce qu'exigerait une symétrie totale parfaite comme celle du réseau. Aussi le cristal ne met-il en évidence, par ses facettes, que la symétrie réelle, de telle sorte qu'il se manifeste un désaccord entre les formes visibles et ce que laisserait prévoir la forme du réseau.

En résumé, les cristaux homogènes peuvent se répartir en trois grands groupes :

i° Ceux auxquels rien ne manque, parce que les éléments du réseau existent en totalité et en réalité dans la particule. Ce sont les cristaux holoédriques;

2° Ceux chez lesquels la particule, moins riche que le réseau choisi, l'est cependant encore plus que le réseau immédiatement inférieur : c'est ce que M. Wallerant nomme les cristaux mériédriques à symétrie élevée;

3 1-es cristaux chez lesquels l'existence d'éléments-limites a permis à la particule d'adopter un réseau d'ordre notablement supérieur à sa symétrie propre. Ce sont les cristaux mériédriques à symétrie restreinte de M. "Wallerant. Et, parmi ceux-ci, on en peut encore distinguer de deux espèces, suivant que, par suite de leur disposition, les organes-limites de la particule seront de» éléments réels ou des éléments-limites de l'assemblage choisi.