ÉTUDE DES GROUPES MÉRIÉDRIQUES

Groupes à symétrie élevée. Principe de la recherche. — Il va maintenant nous être facile de déterminer les différents groupes de symétrie qui peuvent être réalisés par les cristaux mériédriques. Occupons-nous des formes à symétrie élevée et recherchons, pour ce cas, avec Bravais, dans quelles limites doit se tenir l'écart entre la symétrie du réseau et celle de la particule complexe.

Supposons d abord que la particule soit dépourvue de centre; dans ce cas, des d< n\ faces parallèles exigées par la symétrie de l'assemblage relativement au renne, une seule se produira. Le nombre des faces d'une forme oblique quelconque sera donc diminué de moitié.

Si la particule complexe ae possède pas tous les axes de symétrie de l'assemil est aisé de voir que, parmi les axes qui feront défaut, il devra toujours

GROUPES MEFUÉDRIQUES 7^

se trouver des axes binaires. En effet, dans les systèmes de symétrie que nous avons définis, les axes binaires sont tellement combinés que leur coexistence, dans un polyèdre quelconque, entraine forcément la présence des axes d'ordre supérieur. Par exemple, si un polyèdre possède les six axes binaires de L'assemblage sénaire, il possède aussi l'axe sénaire, puisque à 6 axes binairesdans un plan correspond un axe d'ordre 6, normal à ce plan. Il y a donc, de part et d'autre, identité dans le nombre des axes.

De plus, si un axe binaire d une certaine espèce fait défaut, les autres axes de même espèce doivent également manquer; car les axes d'une espèce donnée forment entre eux des angles qu'on ne peut modifier. Ainsi deux axes binaires faisant un angle de 6o° ne peuvent exister sans un troisième, etc.

SU existe dans un assemblage deux espèces d'axes binaires, on ne peut, dans la particule complète, admettre l'une de ces espèces sans l'autre que si, dans cette même particule, on abaisse de moitié le numéro d'ordre de l'are principal .

En effet, nous avons démontré que si, perpendiculairement à un axe d'ordre n. il y a un axe binaire, il doit y en avoir n en tout. La conservation du numéro d'ordre de l'axe multiple nécessite donc, ou le maintien de tous les axes binaires, ou la suppression de tous à la fois.

Combinaisons admissibles pour le degré des axes. — D'après ce qui vient d'être établi, les particules complexes, en ce qui concerne les axes, ne peuvent offrir que trois combinaisons :

i° Tous les axes de l'assemblage, sans exception, se retrouvent dans le polyèdre qui est dit holoaxe;

•i° Le polyèdre est privé de tous les axes binaires; mais il possède un axe principal du même ordre que celui de l'assemblage. Dans ce cas, comme une face déterminante exécute, autour des axes binaires, juste autant de rotations qu'autour de l'axe principal, la moitié des rotations se trouve supprimée. Le polyèdre est dit hémiaxe. Mais cette suppression peut aussi être obtenue si, conservant la moitié des axes binaires, on divise par deux le numéro d'ordre de l'axe principal. Il y a donc deux manières de rendre un polyèdre hémiaxe;

3° Le polyèdre n'a pas d'axes binaires et le numéro d'ordre de son axe principal n'est (pie la moitié de celui de l'assemblage. Alors les trois quarts des rotations possibles sont supprimées ; le polyèdre est dit tétartoaxe.

Comme, d'ailleurs, il n'est pas possible de faire subir de nouvelles réductions aux axes d'ordre \ et 6, seuls admissibles en cristallographie, il en résulte qu'il n'y a pas d'autres combinaisons que celles qui viennent d être énumérées.

Polyèdres boloaxes. — ■ Il nous reste à examiner comment la suppression du centre se concilie avec la réduction des axes. D'abord, si un polyèdre holoaxe est en même temps centré, la combinaison du centre avec les divers axes d'ordre pair fait naître nécessairement tous les plans de symétrie. Le

SYMÉTRIE CRISTALLINE

olyèdre possède donc lous les éléments de l'assemblage et les formes sont oloédriques.

Si le polyèdre holoaxe est dépourvu de centre, il est, par cela même, dépourvu do plans car la combinaison des plans avec les axes pairs reconstituerait le entre . Vu tel polyèdre est ait hémisymétrique (1).

La demi-forme directe subsiste tout entière, puisque toutes les rotations qui la produisent sont conservées; mais il n'y a plus de demi-forme inverse. La forme oblique est donc réduite à moitié ou hémiédrique. Suivant celle des deux s inversement semblables qu'on choisit pour face déterminante, on obtient deux polyèdres conjugués. Ces polyèdres ne sont pas superposables ; car s ils 1 étaient, ce ne pourrait être que par rotation autour d'un certain axe, qui serait commun au polyèdre et à L'assemblage; or tous les axes de ce dernier ont été conservés. Formés chacun des laces directement semblables entre elles, les polyèdres sont inverses l'un de l'autre ou énantiomorphes, chaque face de l'un étant symétrique d'une tare de l'autre relativement à un plan. C'est Yhémiédrie plagièdre dv> cristallographes allemands.

Polyèdres hémiaxes et tétartoaxes. — Avec un polyèdre hémiaxe, la face déterminante n'accomplissant que la moitié des rotations, la demi-forme

N directe est réduite de moitié. Elle se compose donc de — faces, si N était le

nombre total des faces de la forme oblique complète. Suivant la face choisie, cette réduction donne lieu à deux polyèdres conjugués qui sont superposables, puisque l'un peut s'obtenir en faisant tourner l'autre autour de l'un des axes binaires déficients. Mais deux cas peuvent se présenter :

i° Le polyèdre hémiaxe est centré. Alors le centre occasionne le doublement

des faces de la demi-forme; le nombre total devient — : la forme est donc

hémiédrique.

2° Le polyèdre hémiaxe est dichosy métrique , c'est-à-dire que, dépourvu de centre, il possède du moins ceux des plans de symétrie qui ne sont pas normaux aux axes conservés et qui, par suite, peuvent coexister avec ces axes sans entraîner le rétablissement du centre. Le demi-forme, réduite à moitié, se

N double relativement à ces plans; le nombre total redevient encore — ; la forme

est hémiédrique.

3 Le polyèdre hémiaxe est hémisymétrique. Alors il n'y a plus que la demi-

forme réduite à moitié, c'est-à-dire à—; la forme est donc tétartoédrique.

On verrait de même qu'un polyèdre tétartoaxe, ne permettant que le quart des rotations possibles el réduisant, par conséquent, la demi-forme directe

à u , ilonnc. quand il est centre ou dichosy métrique, des formes tétartoédriques a

(i) Ce rru't, comme cexa qui vont raivre b i té i réé par Bravais.

GROUPES MERIÉDRIQUES

et, quand il est licmisy métrique, des formes hémitétartoédriques, au-dessous desquelles il n'y a plus de réduction admissible. Un polyèdre tétartoaxe donne lieu d'ailleurs à quatre formes conjuguées et deux à deux superposables, qui, réunies ensemble et conservant chacune leur orientation propre, reproduisent la forme boloédrique.

Les polyèdres centrés engendrent la parahémiédrie; les polyèdres dépourvus de centre, YanUliémiédrie. Mais on voit que ces diverses manières d'être rentrent dans une loi commune, et ne font que traduire les différences qui existent entre la symétrie des particules complexes et celle des assemblages. Quant à Vhémimorp/iisine, il n'est rien autre chose qu'un des cas particuliers de la loi générale de dérivation, celui où un axe d'ordre supérieur n'est accompagné ni d'axes binaires ni d un centre.

Tableau résumé des diverses variétés de formes cristallines à symétrie élevée.