L2, C, II

3i° zéro.

En résumé, il y a 3i groupes de symétrie, d'ordre conforme à ceux des assemblages, qui peuvent être réalisés dans la particule complexe; et ces 3i variétés de particules sont obligées de choisir entre les sept assemblages réticulaires, seuls aptes à réaliser les exigences de la cristallisation.

Choix du mode de symétrie. — Ce choix peut être réalisé, soit au nom des exigences de la symétrie élevée, soit en raison de la symétrie restreinte que gouvernent les éléments-limites.

On voit alors qu'un réseau terquaternaire sera adopté, au titre de la symétrie élevée, par les groupes i à 5, et qu'il pourra être choisi, au titre de la symétrie restreinte, par tous les groupes i i à 3l.

De même un réseau sénaire conviendra, dans la même mesure, aux groupes 6 à i3, ainsi qu'aux groupes 14 à 17 et 23 à 3i .

Aux réseaux quaternaires correspondront les groupes 18 à 23, et 2', à 3i .

Les réseaux ternaires embrasseront les groupes i3 à 17 et 27 à 3i. Enfin les combinaisons terbinaires se produiront pour les groupes 26 à 3 1, et les combinaisons binaires pour la série de 27 à 3i .

Toutefois, plus la mériédrie est prononcée, c'est-à-dire plus la symétrie de la particule est pauvre relativement à celle d'un système réticulaire donné, moins on a de chances de voir se produire les conditions-limites qui pourraient procurer l'adoption d'un réseau de symétrie très supérieure. Donc, quelle que soit l'importance théorique des corps mériédriques à symétrie restreinte, on doit s'attendre à les rencontrer moins fréquemment que ceux de la catégorie à symétrie élevée. Ces derniers sont les seuls que nous considérerons dans la description des systèmes.

§ i REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FORMES CRISTALLINES

Perspectives diverses. Perspective sphérique. Sa justification. — La représentation graphique des formes cristallines se fait par voie de perspective. Lorsqu'on se propose de donner une idée nette de la figure extérieure d'un cristal, on emploie la perspective isométrique ou cavalière. Mais si 1 on a en vue un mode de représentation permettant de définir avec rigueur, par des constructions géométriques faciles, les relations angulaires des faces, il est préférable de recourir à une perspective sphérique.

En effet, les faces des cristaux n'ayant pas de position déterminée, on peut les transporter toutes, parallèlement à elles-mêmes, de telle sorte qu'elles pas-

SYMÉTRIE CRISTALLINE

sent par un même point. Si, de ce point comme centre, on décrit une sphère d'un rayon arbitraire, les diverses faces seront des plans diamétraux, coupant cette sphère suivant des grands cercles et chacun de ces cercles pourra être considère comme représentant une face.

Mais on peut taire mieux encore et réduire la représentation des faces à de simples points. La direction d'une face étant déterminée, celle de sa. normale ou perpendiculaire ne l'est pas moins. Cette normale vient percer la sphère en un point, qui est éloigné de 90 degrés de tous les points du grand cercle représentatif de la face, et qu'on appelle le pôle de ce grand cercle. On peut donc, à la considération des faces, substituer celle de leurs pôles, et l'angle que font entre elles les monnaies à deux plans étant le supplément de l'angle dièdre de ces plans, la connaissance des distances angulaires des pôles équivaudra à celle des angles mutuels des faces.

En outre, si plusieurs faces font partie de la même zone, elles doivent, étant transportées en un même point, se couper toutes suivant une même ligne droite, qui est l'axe delà zone. Quant à leurs normales, qui toutes doivent être perpendiculaires à cette intersection commune, elles sont évidemment contenues dans un même plan, normal à l'intersection et coupant la sphère suivant un grand cercle. Ainsi toutes les faces formant zone ont leurs pôles situés sur un même grand cercle, qui est dit cercle de zone, et l'axe commun de la zone perce la sphère au pôle de ce grand cercle. La recherche des faces en zone revient donc à celle des points d'une sphère compris sur le même grand cercle.

En résumé, le problème à résoudre consiste à trouver un mode de représentation commode d'un système de points distribués sur une sphère. D'ailleurs, chaque normale ayant deux extrémités, on peut ne considérer que celles qui appartiennent à un même hémisphère et réduire la représentation cherchée à celle de la moitié d'une sphère.

Perspective stéréographique. — Cela posé, on peut représenter un hémisphère par une perspective, soit gnomonique, soit stéréographique. Dans le premier cas, chaque point de l'hémisphère est figuré par 1 intersection du rayon, qui le joint au centre, avec un plan, tangent à l'hémisphère en son sommet. Dans le second, le point de vue est placé à l'extrémité V flig. 35) du rayon perpendiculaire au grand cercle MN, qui forme la base de l'hémisphère, et c'est le plan de ce grand cercle qui sert de plan de perspective. Chaque point de la sphère, tel que A, est donc représenté par l'intersection a, avec le plan de perspective, dit cercle fondamental, de la ligne VA, qui joint ce point au point de vue et qui est le rayon perspectif de A.

PERSPECTIVE STEREOGRAPHIQUE 87

Nous nous servirons exclusivement de la perspective stéréographique, qui

oll're l'avantage de renfermer tous les éléments d'une forme dans un cercle, tandis que, dans la perspective gnomonique, les normales voisines du cercle fondamental de l'hémisphère ont leurs pespectives à l'infini. Occupons-nous maintenant de définir les principales propriétés de la perspective stéréographique {*).

Représentation des grands cercles. — En premier lieu, tout grand cercle passant par le point de vue V, tel que PACV, coupe le cercle fondamental MN suivant une ligne droite CD, qui est elle-même la perspective du grand cercle en question. En effet, tous les rayons perspectifs, tels que \ A. se trouvant situés dans le plan même du grand cercle, ne peuvent couper le plan de perspective ailleurs que sur CD. Ainsi les lignes droites rayonnant autour du point 0 sont les perspectives de tous les grands cercles passant par PV et formant ce qu'on peut appeler les méridiens de la sphère considérée. En outre, un grand cercle quelconque, passant nécessairement par le centre 0, ne peut couper le cercle MN que suivant un de ses diamètres, qui est à lui-même sa propre perspective ; par conséquent, la perspective d'un grand cercle doit toujours couper le cercle fondamental en deux points diamétralement opposes.

Enfin on démontre, en géométrie, qu'un cercle quelconque de la sphère, petit ou grand, a toujours pour perspective stéréographique un cercle (2).

D'après cela, il est facile de déterminer la perspective du grand cercle passant par deux points de la sphère, dont on connaît les perspectives. Pour cela, sachant que la courbe cherchée est un cercle et connaissant deux points par lesquels elle passe, il suffit d'en déterminer un troisième. On choisit pour ce troisième le point diamétralement opposé à lun des deux points donnés. Soit A (fig. 35), l'un de ces points. Son rayon perspectif est VA. Si A' est le point situé à l'extrémité opposée du diamètre OA, son rayon perspectif VA ira rencontrer en a' le prolongement de la ligne CD, dans le plan de laquelle il est évidemment contenu. On en déduit la construction suivante :

Soit a (Gg. 36) la perspective donnée. Par 0 et a, on mène une ligne droite OaC, qui n'est autre que la perspective du grand cercle passant par le point de vue V et le point de l'espace dont a est la perspective. Si l'on rabat ce grand cercle, autour de CD comme charnière, sur le plan fondamental, a ne bougera pas ; le rayon perspectif viendra en Va (le point de vue s'étant rabattu à l'extrémité du diamètre perpendiculaire à CD) et, par suite, A,, prolongement de Va, sera le rabattement du point A. Le point diamétralement opposé se rabattra en

(1) On trouve, dans le Manuel de Des Cloizeaux, un grand nombre de très belles planches gravées, où tous les éléments des formes des principales espèces sont représentés en perspective stéréographique.

(2) Il suffit, pour le voir, de considérer le cône ayant V pour sommet el le cercle de la Sphère pour base. On s'assure que la section plane de cône par le cercle fondamental est exactement symétrique, relativement à l'axe, du plan de la base circulaire, à laquelle elle doit par conséquent être semblable.

SYMÉTRIE CRISTALLINE

Fi g. 36.

laire de deux points

A',. Donc, joignant VA',, on aura en a' la perspective du point opposé à A. Cette perspective tombera hors du cercle fondamental, puisque le point opposé

à A est situé dans l'hémisphère inférieur. Gela posé, deux perspectives a et b étant données, pour connaître la perspective du grand cercle qui joint les points A et B de l'espace, il suffit de déterminer la perspective a' du point opposé à A et de faire passer un cercle par les points a, b, a. Comme vérification, ce cercle devra couper le cercle fondamental en deux points C et D' diamétralement opposés.

Pôles des cercles. Distance angu- Proposons-nous maintenant de déterminer le pôle d'un grand cercle, c'est-à-dire le point où l'axe de la zone représentée par ce grand cercle vient percer la sphère.

Soit C'»D (fig. 37) le grand cercle donné. Si, par le milieu 0 du diamètre CD, nous menons OV perpendiculaire à CD, cette ligne sera la trace d'un grand

cercle passant par le point de vue, et dont le plan sera normal à celui du grand cercle C»*D. Le pôle cherché devra donc se trouver sur ce grand cercle OV et sa perspective tombera certainement entre 0 et V, en un point p tel que, sur la sphère, l'arc intercepté entre les points qui ont m et p pour perspectives soit égal à 90 degrés. Or si l'on rabat ce grand cercle mOV autour de OV comme charnière, le point correspondant à m se rabat en M, à l'extrémité du rayon Cm. Le pôle doit donc se rabattre sur MDV, en un point P dont la distance à M soit <le 90 degrés, c'est-à-dire qu'on l'obtient enjoignant OM et menant OP perpendiculaire sur OM. Il reste à joindre P à C, pour obtenir en p la perspective du pôle cherché.

Observons maintenant que, C étant le pôle du grand cercle ROV, il a suffi de joindre ce pôle aux deux perspectives m dp pour obtenir en MDP, sur le cercle fondamental, la vraie grandeur de l'arc dont la perspective est mp. Or celte construction ne s'applique pas seulement au cas d'un grand cercle passant par le poinl de vue. ' m peut démontrer qu'elle est tout à fait générale, et que la vraie grandeur de I arc compris entre deux points, dont les perspectives sont a et b, s'obtienl en construisant la perspective p du pôle du cercle ab, en la joignante n et à b el < n prolongeant les deux lignes pa et pb jusqu'à leur rencontre, en A, et B,, avec le cercle Fondamental. A,RIj, est la distance angulaire cherchée.

Fig. 37.

PERSPECTIVE STEREOGRAPHIQUE

Pour établir cette propriété, commençons par rappeler que toute ligne qui passe par le point de vue et par un autre point A de la sphère a évidemment sa perspective réduite à celle a du point A.

D'autre part, toute ligne parallèle à une ligne passant par le point de vue et par A doit avoir pour perspective une ligne dont le prolongement passe en a.

En effet, soit AY fig. 38 la ligne passant par le point de vue V et par A,

/ 1 Ul

/ La^- —

AlV^

Fig. 38.

Fig. 3g.

ligne dont la perspective est a, et soit BC la ligne parallèle, qui coupe le plan fondamental en D. Joignons BV. L'intersection de cette ligne avec le plan fondamental est la sperpective b de B Les trois lignes AV, BV, BG sont évidemment dans un même plan. Donc les trois points D, b, a sont en ligne droite, et par conséquent la perspective Db de BV passe en a.

En un mot, toutes les parallèles à AV formeraient, par leurs perspectives, un faisceau de lignes droites divergeant du point a.

Cela posé, soit COD (fig. 39) un grand cercle normal au cercle fondamental, et soit a la perspective d'un point de ce cercle. On sait que, si l'on joint P à a, on viendra tomber sur un point A,, qui est le rabattement sur le cercle fondamental du point de la sphère représenté en a; c'est-à-dire qu'AjB est la vraie grandeur de l'axe dont la perspective est aO.

Si maintenant nous faisons tourner COD autour de CD, de manière à l'amener en CED, le point dont a est la perspective décrira pour venir en a' un petit cercle, dont le plan sera parallèle à celui du grand cercle POB, et qui devra passer à la fois en a, en Al et en son symétrique A',, puisque CA, est la vraie grandeur de Taxe Ca.

Représentons à part (fig. 40) le plan du cercle POB et (fig. 41) celui du petit cercle A«A. Joignons le pôle P au point de vue V, et menons par le point A de l'espace, qui correspond à a, une parallèle à PV, qui sera AA,, (fig. 4i)« La

90 SYMETRIE CRISTALLINE

perspective de cette ligne (fig. 3oJ sera A,a, et nous savons qu'elle passe en P. Si nous faisons tourner tout le système autour de CD comme charnière, le pôle P viendra en P' (fig. \o), PV ayant décrit l'angle PVV, et la parallèle prendra la position A, A' (fig. ', i , passant toujours en A,, puisque l'angle AA'

doit être égal à PP , et que - AA' est précisément la mesure de l'angle AA,A',

comme - PP' =— OE (fig. 4o) est celle de l'angle PVV. Donc la parallèle à P'V

continue à passer par A, et a'. D'autre part, en

@ vertu du théorème précédent, sa perspective doit

passer par celle />' du pôle déplacé. Donc les trois points A,, a' et p' sont en ligne droite. Donc la 1 jonction d un pôle p' à un point a' du cercle correspondant détermine sur le cercle fondamental un point Aj tel, que A,B (fig. 3y soit la vraie grandeur de l'arc dont la perspective est aO.

Pis. 41. Cette construction donne le moyen de résoudre

la question principale de la cristallographie, celle de la détermination de l'angle dièdre de deux faces, puisque cet angle est le supplément de 1 angle des normales qui aboutissent aux pôles a et b des faces en question.

On résoudrait sans plus de difficulté la question inverse : déterminer la position de la perspective d'un pôle c, sachant que la face correspondante fait, avec deux autres faces a et b, des angles respectivement égaux à a et à B. Pour cela, on commencerait par déterminer, sur le grand cercle ab, de part et d autre de a, deux points éloignés de a d'une distance angulaire égale à - — x. On déterminerait un troisième point, situé sur le grand cercle aO, à la même distance angulaire de a et, en faisant passer un cercle par les trois points obtenus, on aurait la perspective du petit cercle de la sphère, décrit de a comme centre avec tt-x pour ouverture angulaire. Un cercle semblable, décrit de b comme centre avec tc-B pour ouverture, donnerait, par ses intersections avec le premier, deux points satisfaisant à la condition imposée.

Représentation des zones. Cercles et axes de zones. — Nous avons déjà fait ressortir l'importance que présente, en cristallographie, la considération 'les zones. Rappelons qu'une zone est l'ensemble de toutes les faces parallèles à une même direction, dite axe de la zone. Cela posé, il est clair que toutes les faces qui font partie d'une même zone sont telles que les perpendiculaires abaissées, du centre de la sphère de perspective, sur chacune d'elles, soient contenues dans un même plan, normal à Taxe de la zone. Ce plan coupe la sphère, ainsi qu'il a été dit, suivant un grand cercle, dit cercle de zone, sur lequel sont situés tous les pôles des faces en question. La série des plans, tang< ut- a la sphère le long de ce grand cercle, et formant un cylindre, représen-

PERSPECTIVE STÉRÉOGRAPHIQUE 91

terait toutes les directions des plans appartenant à cette zone ; mais, parmi ces directions, celles-là seules correspondraient à des faces admissibles, qui seraient parallèles à des plans réticulaires du système.

Ainsi toutes les faces qui sont en zone ont leurs pôles sur un même grand cercle. Veut-on savoir si une face, donnée par son pôle c, fait partie de la zone délinie par deux autres faces, dont les pôles sont a et b? Il suflit de tracer le grand cercle ab et de vérifier s'il passe par le point c. Quant à l'axe de la zone ab, ce n'est autre chose que le diamètre parallèle aux deux plans tangents à la sphère, en a et en b, c'est-à-dire le diamètre perpendiculaire au cercle de zone ab. Ce diamètre perce la sphère au pôle du cercle ab, facile à déterminer, d'après une des constructions précédemment indiquées.

DEUXIÈME SECTION

ÉTUDE DES SYSTÈMES CRISTALLINS