FORME OBLIQUE DU SYSTÈME
Choix des axes. Perspective du système. — Choisissons pour axes des coordonnées les trois axes quaternaires, qui sont trois rangées de même paramètre, de telle sorte qu'on peut poser
Une face fqrs) interceptera, sur les trois axes, des longueurs exactement
... 1 1 1 proportionnelles a-, -, - .
Ainsi, grâce à l'égalité des paramètres, les nombres q, r, s ne sont plus seulement les inverses des coordonnées numériques des intersections, ce sont aussi, proportionnellement du moins, les inverses des longueurs d'intersection elles-mêmes.
Nous établirons la perspective stéréographique du système (lig. ',H) en choi-
I pour plan fondamental l'un des trois plans principaux. Des trois axes
quaternairt -. 1 un aura pour perspective le centre z du cercle, perspective du
pôle 001 de ce même cercle, tandis que les deux autres, ;./ et zy} aboutiront
l'un en ./ = ( 100), l'autre en y = (010).
Chacun de- plans de symétrie non principaux étant bissecteur de l'angle de deux plans principaux, il en est deux dont les perspectives sonl les bissectrices des ai . . / avecyy. Quant aux autres, dont deux doivent passer en x et./:
ïûy'
7fV ,7 / / --
/ / Qsr \ ' 1
Vrfy.
>Êo
/"fiV ,
^VfflL-
~7— 4dn .-«A
'V-'OGK
/ rç's
^ Nj
fv-v^
ïqr
rqs /
\v ryj.
sqr ^ \
-^ \"^Cf/nr
ïll
lu . /
ItoX'
Fj
\(/sr V \
qsr / ^~^\/ / • 7ilO=A
100 = JD
Fi-. 58.
SYSTÈME CUBIQUE. FORME OULIQUE 97
et les deux autres en y et y, il suffit d'en obtenir un point intermédiaire, tel que B, qui est en même temps la perspective de l'extrémité d'un axe binaire. Pour cela, le i>oinl B devant ,- .
être à /»5° de z et de y, il suffira, d'après les règles connues de la perspective stéréographique, de joindre .r, pôle du cercle yy, à A== 1 m, point situé à t5° de y. La ligne .rA coupera la ligne :y au point B cherché, et il restera à faire passer un cercle par x, B et ■r. On s'assure sans peine que le centre de ce cercle doit être au point y. En effet, l'angle .rBy a pour mesure - (.ry -t- Ay) = - x 4:>°. Mais si l'on joint x à y, l'arc y .1 A a aussi pour mesure 5- X »"»°- Donc le triangle./- y B est isocèle; par
suite, la perpendiculaire menée à B.j. par le centre de cette ligne, et qui doit rencontrer By au centre cherché, aboutit nécessairement au point y.
Les plans de symétrie se coupent trois à trois aux points tels que T = 1 1 1 . en sorte que les axes ternaires sont zT, z. m, z. m, z. 1 11.
Il s'agit maintenant de déterminer la place des divers pôles de la forme oblique. A chacun de ces pôles nous appliquerons les caractéristiques de la face correspondante, tangente à la sphère au point dont ce pôle est la perspective. Ainsi (qrs) sera écrit à côté du pôle de la face qui coupe Taxe des x à la
distance - , l'axe des y à la distance - , l'axe des ; à la distance - . q ' /• S
Convenons que l'octant xyz contiendra les coordonnées positives et prenons
pour règle de choisir, comme face déterminante de la forme oblique générale,
celle dont les trois coordonnées q, r, s sont positives et rangées en ordre
ascendant. Pour cela, il faudra que le pôle qrs tombe dans le triangle BT;. En
effet, imaginons le plan tangent à la sphère, mené par un des points contenus
dans ce triangle. 11 coupera évidemment l'axe des ./• plus loin que Taxe des y,
car, pour qu'il les rencontrât tous deux à la même distance, il faudrait qu'il lût
situé sur l'arc Tz. Donc on a :
- > - ou q < r.
DE LAPPARENT, COURS I1E MINERALOGIE
D'autre part. le> points de BT; étant situés entre le plan principal z.r et le plan bissecteur B1V du dièdre de zx avec le plan du dessin, l'axe des z est coupe plus près de l'origine que les deux autres.
Donc - < - ou s > r.
D'où q < r < s.
Principe de la recherche des pôles homologues. — Nous allons maintenant chercher tous les pôles homologues de celui qui représente la face qrs . Pour cela, nous nous souviendrons que le nombre de ces pôles, donné par la formule
est de ;«, dont a \ constituant la demi-forme directe et 24 la demi-forme inverse. Occupons-nous d'abord de la première. Nous en obtiendrons évidemment tous les pôles en faisant tourner successivement le pôle qrs, des angles voulus, autour des divers axes de symétrie. Mais on peut simplifier cette recherche. En effet, deux faces directement semblables à une troisième devant être directement semblables entre elles, on peut, après avoir obtenu certains pôles, homologues de qrs, les faire tourner eux-mêmes autour d'axes convenablement choisis et, quand on aura, de cette manière, obtenu 24 faces, dont 12 dans l'hémisphère représenté, on sera sûr d'avoir toute la partie de la demi-forme qui appartient à cet hémisphère. Il convient alors de choisir les rotations de manière à réaliser le plus simplement possible la transformation des caractéristiques q, r, s, lesquelles, étant rapportées à trois axes de symétrie, identiques entre eux, ne peuvent que permuter ensemble et changer de signes, sans que leur valeur absolue soit affectée.
Séparation systématique des éléments de symétrie. — Pour cristalliser dans le système terquaternaire, une particule cristalline doit posséder au minimum trois axes binaires de même espèce, rectangulaires entre eux, et quatre axes ternaires, disposés comme ceux de l'assemblage. Nous allons donc chercher les homologues directs de qrs, relativement aux axes quaternaires, considérés seulement comme binaires, puis relativement aux quatre axes ternaires.
Si Ion fait tourner le système de i8o,j autour de l'axe des x (fîg. 49), ce dernier ne changera pas, la partie positive de l'axe des y se substituera à la partie
négative et il en sera de même pour l'axe des z. Donc la longueur - , interceptée
>ur l'axe des r, restera la même, tandis que -et- deviendront et .
Le symbole de la face obtenue par cette rotation sera donc qrs. On verrait de
même qu une rotation autour de l'axe y donnerait le pôle qrs et, autour de l'axe z,
SYSTÈME CUBIQUE. FORME OBLIQUE
& x ÎÛO
le pôle qrs. De ces pôles, le premier qrs et le dernier sont seuls dans L'hémisphère supérieur. Maintenant, faisons tourner chacun de ces quatre pôles de \io° autour des axes ternaires compris dans les mêmes octants de la sphère. Une telle itev
rotation substitue simplement x à y, y à 3 et z à .r, c'est-àdire que les caractéristiques subissent une permutation tournante. Ainsi qrs tournant autour de l'axe iii, donne rsq et sqr.
De même qrs donnera rsq et sqi\ etc.
On peut donc, sous la rubrique 3L2, 4L3, Fip. 49.
former un groupe
comprenant douze pôles directement semblables, répartis en trois séries autour de chacune des positions du premier octant.
vTui— —
"/-rook
tjrs
rqs
sqr
rqs /
r(Js.
sqr
\ -f'f in
qrs
JloX • \ N. rsq \
qsr
/ rsq y
^ÎO^A
l rsl
qrs
; rs'i
qrs
) rs'l
qrs
l rsa
sq r
sur
<- sqr
Mais nous n'avons ainsi que la moitié de la demi-forme. Pour l'avoir entière, il faut maintenant restituer aux axes quaternaires la totalité de leur symétrie. Si l'on fait tourner qrs de 900 autour de l'axe .r, en se dirigeant de y vers z, on trouvera que .r ne change pas, tandis que - se substitue à y et y à -. Donc les nouvelles caractéristiques sont qsr, ce qui revient à permuter ensemble les deux dernières caractéristiques, en changeant le signe de la dernière. Effectuant cette transformation pour chacune des douze faces déjà obtenues, «on forme un nouveau groupe.
q sr
qsr
j <lsr I
rqs rq s rqs rqs
srq s rq srq srq
De cette manière, nous possédons 24 faces, toutes directement semblables entre elles et qui, par suite, composent la demi-forme directe. Quant à la demi-forme inverse, puisque chacune de ses faces est opposée par le centre à lune des faces de la demi-forme directe, on l'obtiendra simplement en changeant tous les signes des deux tableaux I et II, ce qui donnera deux nouveaux tableaux, III et IV. Or l'existence simultanée du centre et des axes '3L5 impliquant celle des plans principaux, le tableau III exprimera en réalité la symétrie relativement aux plans 3P*. On peut donc l'intituler C,3P\ Quant au dernier résultant d'une combinaison du centre avec une rotation de 900 autour des axes quaternaires, il équivaut à l'affirmation de l'existence des plans non principaux GP-. Il peut donc porter comme titre C,C>PJ.
Résumé. Analyse de l'hexoctaèdre. — En résumé, le tableau des 48 faces de la forme oblique générale peut être dressé comme il suit :
DEMI-FÛKME DIRECTE
DEMI-FORME INVERSE
3L«xs,4La
