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SYSTEME CUBIQUE. UEXOCTAÈDRE
La forme oblique du système terquaternaire comporte, comme on peut s'en
assurer sur la figure \9, des pointements à huit faces autour des axes quaternaires, à six faces autour des axes ternaires, à quatre faces autour des axes binaires. Chaque face, telle que qrs, n'en rencontre que trois autres, rr/s, r/sr , </r.-i. Elle a donc la forme d'un triangle, dont les cotés sont tous situés dans les plans de symétrie. D'ailleurs les triangles se groupent six par six dans chaque octant, de telle sorte que la forme peut être considérée connue un octaèdre, dont chaque face aurait été remplacée par une pyramide sextuple. De là le nom, qui lui a été donné, d 'hexoctaèdre, synonyme de solide à 48 faces. On peut aussi, en prenant pour point de départ le groupement de huit triangles autour d'un axe quaternaire, la regarder comme un cube, dont chaque face aurait été remplacée par une pyramide à huit pans. Suivant que cette dernière est plus ou moins surbaissée, la figure du polyèdre s'éloigne plus ou moins de l'apparence d'un cube.
La ligure 5p représente un hexoctaèdre. Les axes quaternaires aboutissent aux points Q. les axes ternaires aux points T, les axes binaires aux points B. On voit ainsi que chaque point B est le centre d'un losange, chaque point T le centre d'un hexagone d'apparence triangulaire, chaque point Q le centre d'un octogone quadratique.
A chacun des côtés des \8 triangles qui constituent les faces de l'hexoctaèdre (qrs) correspondent des valeurs spéciales pour l'angle dièdre de deux faces triangulaires adjacentes. Ces angles dièdres se calculent à l'aide des formules suivantes :
i° Pour l'arête qui va d'un pointement quaternaire (IV) au pointement ter-
naire» III ) : cas x '=, -g-
iqr
ternaire IV) au pointement binaire (II : cos y
Pour l'arête qui va du pointement qua- . , vn . — 3° Pour l'arête
q' -h i- -t- s' qui va du pointementlernaire(III)aupointementbinaire (II : eosz = .J ., -,.
Ces formules sont établies dans l'hypothèse q < r < s.
Les hexoctaèdres les plus fréquents sont indiqués dans le tableau suivant, avec les valeurs de leurs angles dièdres, énumérés dans le même ordre que précédemment :
HEXOCTAHUHKS
DIÈDRES
x = IV ù III
y = IVàH
z = \\\ à II
[qrs) — (ia3) . . .
Représentation terquaternaire de la particule complexe. — La connaissance que nous avons de l'hexoctaèdre va nous permettre de donner une représentation géométrique précise de ce que peut être la particule complexe ou particule cristalline d'un cristal cubique holoédrique.
Cette particule possédant tous les éléments de symétrie de l'assemblage, si, par son centre de gravité, nous faisons passer ces divers éléments et qu'autour de ce centre nous concevions une sphère, celle-ci sera coupée par les éléments de symétrie comme l'est, dans la figure 48, la sphère représentative de l'hexoctaèdre. Chaque triangle devient la base sphérique d'une pyramide dont le sommet coïncide avec le centre de symétrie, dont les trois faces planes sont respectivement un plan principal et deux plans ordinaires de symétrie, enfin qui a pour arêtes un axe quaternaire, un axe ternaire et un axe binaire.
Cette pvramide délimite donc un espace à l'intérieur duquel ne se trouve aucun élément de symétrie. Si nous y installons, d'une façon quelconque, un groupe de molécules chimiques d'un corps susceptible de symétrie cubique, ce groupe formera exactement la particule fondamentale ; et celle-ci, répétée relativement aux éléments de symétrie qui définissent le contour de la pyramide, engendrera les autres positions, dont l'ensemble constitue la particule complexe.
Ainsi la particule complexe d'un cristal cubique doit être conçue comme formée de quarante-huit alvéoles ou particules fondamentales, chacune occupant l'intérieur de l'une des ',8 pyramides groupées autour du centre. 2.4 de ces particules sont identiques entre elles, mais diffèrent par leurs orientations ; ce sont celles qui correspondent aux 24 triangles dérivés directement de qrs par rotation autour des axes. Les 24 autres, aussi identiques entre elles, sont aux premières ce qu'un objet est à son image vue dans un miroir.
D'une façon générale, dans quelque système de symétrie que ce soit, la représentation de la particule complexe comporte simplement l'installation d'une' particule fondamentale dans chacun des alvéoles polyédriques entre lesquels se divise la sphère représentative de la forme générale oblique.
Si, au lieu de choisir la sphère, on prend le noyau même de l'assemblage, ici le noyau cubique, les éléments de symétrie, menés par le centre et prolongés jusqu'à la rencontre des faces du cube, engendreront 48 cellules polyédriques, dont chacune est une pvramide ayant pour sommet le centre, pour base un triangle rectangle isocèle formant la huitième partie d'une face du cube, et, pour arêtes 1 ulminantes, un axe quaternaire, un axe ternaire et un axe binaire. Chacune de ces cellules, qui abrite une particule fondamentale, constitue, dans le système cubique, le domaine fondamental de M. Schœnflies, l'ensemble >!• - ,8 cellules formanl !<• domaine complexe du même auteur.
