F' OS

^^ \/ors

\ros 1 s or S\

ViVo

\osr

__^-^Ki sroJ

V^ArO \

/ rso/

Fig. 5l.

Forme parallèle aux axes quaternaires. Tétrahexaèdre. — La face déterminante de la forme doit être parallèle à un axe quaternaire, par exemple à l'axe des x, ioo. Donc son intersection avec cet axe est située à l'infini, ce

qui donne - — =c ou 5 = 0. Le symbole de la forme sera J ors {. Le pôle ainsi

défini ne peut être que sur le cercle sy,

qui est normal à l'axe i oo (fig. 5 1 . Les

pôles conjugués doivent tous tomber

dans les plans principaux de symétrie,

dont chacun est perpendiculaire à un

axe quaternaire. La forme comprend ioô£-

buit pôles dans chaque plan principal,

se groupant par quatre autour des

axes quaternaires, et par six autour

des axes ternaires, tandis que les faces

correspondantes se rencontrent deux

par deux ou en biseau sur les axes

binaires.

Chaque face, telle que ors, en rencontre trois autres, osr, ros, ros. Ces intersections sont d'ailleurs situées dans les plans de symétrie secondaires et sont symétriques les unes des autres. Chaque face forme ainsi un triangle isocèle. De plus, deux triangles contigus ors, osr, se touchent sur un axe binaire, suivant un biseau évidemment parallèle à l'axe quaternaire ioo. Donc les quatre triangles groupés autour de chaque sommet quaternaire dessinent une pyramide à base carrée, et les bases de ces six pyramides engendrent, par leur réunion, un cube parfait. La forme résultante est un cube pyramide ou tétrahexaèdre (i) (fig. 52). Les arêtes, au nombre de 3G, sont toutes situées dans les plans de symétrie secondaires.

(1) On donne souvent à cette forme le nom à'hexalelraèdre. Il nous a paru qu'il y avait lieu de réserver ce nom pour une forme mériédrique, qui est bien réellement un tétraèdre à pointements sextuples.

Si, dans le tableau des \S laces de la forme générale {qrs), on remplace q par zéro, on reconnaît que la première colonne devient identique avec la troisième, tandis que la seconde est reproduite parla quatrième.

Un létrahexaèdre i<»rs a deux sortes de dièdres : ceux des arêtes concourant

aux pointements quaternaires, donnes parla formule cos x

2, et ceux

des arêtes cubiques, avec cosy = ^- — i- Les tétrahexaèdres les plus fréquents

sont oi2 , oa5 . "i I . oi4), pour lesquels les dièdres ont respectivement pour valeurs : i ,'>'*' el i iî08'; i i9°3T et i33°36'; i54°9' et i»6°5a'ï i6o°i5';

et . . B

Forme parallèle aux axes ternaires. — La forme parallèle aux axes ternaires ne perd aucune de ses faces, les axes en question n'étant pas d'ordre pair. C'est donc un hexoctaèdre. Mais les caractéristiques q, r, s y doivent être assujetties à une équation de condition. Pour la trouver, remarquons que, si le pôle de la face déterminante doit se trouver dans le triangle BTz (fig. 53), l'axe auquel la face est parallèle ne peut être que celui dont la perspective aboutit en i 1 i .

! I - lors, la condition générale pour qu'une face (qrs) soit comprise clans une zone MNP étant

M 7 -+-Nr-+-Ps = o, cette condition devient

Ainsi la plus grande caractéristique en valeur absolue doit être égale à la somme des deux autres; de cette manière { 1 2.3 { et J i34 j sont des hexoc-

taèdres parallèles aux axes ternaires.

Il est facile de trouver, sur la sphère, le lieu des pôles dont les caractéristiques satisfont à cette relation. En effet, ces pôles doivent être sur un grand cercle normal à l'axe ternaire iii, qui est leur axe de zone. Or nous savons qu'à tout axe ternaire correspondent trois axes binaires qui lui sont normaux. Dans l'espèce, ces troix axes ne peuvent être que ceux aboutissant en A (ioi), en B (on) et en C (i io) ou D (i io) (fig. 53). Si donc, par les points CABD, nous raisons passer un cercle, ce sera la perspective du cercle de zone cherché. 11 existe, aur la figure, quatre cercles de ce genre, correspondant aux quatr îitués dans l'hémisphère supérieur.