SYSTEME HEXAGONAL. COMBINAISONS

prisme sont des laces///. Tous les angles. Identiques entre eux comme points de concours d'une arête verticale et de deux arêtes horizontales parallèles à lieux axes binaires de première espèce, sont notes <>. Les arêtes horizontales s'appellent b et les arêtes verticales, parallèles à l'axe sénaire, c'est-à-dire à la hauteur Au prisme, reçoivent la notation //.

Les axes binaires de deuxième espèce sont les lignes joignant de deux en deux les sommets '/ .

Le didodécaèdre résulte d'une double modification sur les angles a, substituant à ces angles une couple de facettes (lig. 1 3 7 i qui interceptent, sur les arêtes b, deux longueurs proportionnelles à

— et - et, sur l'arête //, une longueur proportionnelle à - . q r o i i s

La notation doit donc être

Pig. i33.

Fig. ,.(;.

\bï

Ainsi, } ial'j J s'écrit b{ b\ //£, et ; i')\-± [, bl b± //}.

Le prisme dodécagonal résulte de la substitution, aux arèles //, d'une couple de faces verticales, dont chacune intercepte sur les arêtes b les deux longueurs

exprimées par - et - . On lui donne pour notation

/*"= lr

On convient de prendre r > q. J ia3o ; s'écrit //-.

Le protoisncclol-dre a ses faces parallèles aux axes binaires de première espèce, c'est-à-dire aux arêtes b. Chaque arête de la base se trouve ainsi remplacée par une facette tangente (fig. i38), dont les trois coefficients d'intersec-

1 1 1 tion sont -»—>-• 0 q s

Le symbole devrait donc être

On le simplifie en écrivant i

b* ou b'i .

Fig. i38.

Le denléroisocéloèdre est parallèle aux axes binaires de deuxième espèce, qui sont les lignes joignant de deux en deux les sommets de l'hexagone de base.

Fier. i3g

Chacune de ses faces est donc une troncature symétrique sur les angles «

i ii,:. interceptant, sur les arêtes />. deux longueurs égales, définies par -

et. sur l'arête A, une longueur proportionnelle à — . La notation sera ar .

j 1 121 \ est a1, et \ ii\\ \ est a\.

Nous avons dit que les bases avaient pour notation/? et que le symbole du protoprisme est nt.

Quant au deutéroprisme, il n'est évidemment qu un

cas particulier du prisme dodécagonal, celui où r:=q.

Sa notation est donc //'.

Perspective stéréographique. Relations de zones. — La figure 140

représente une perspective stéréographique du système hexagonal sur un plan

normal à l'axe principal. On voit du premier coup d'œil les positions que doivent

occuper les pôles des formes/?, m, //'. Les prismes dodécagonaux ont leurs pôles

sur le grand cercle fondamental. Les protoisocéloèdres, parallèles aux axes de première espèce, sont par cela même normaux aux plans de symétrie de même espèce. Les perspectives de leurs pôles doivent donc se trouver sur celles des axes de deuxième espèce.

Inversement les perspectives des axes de première espèce sont les lieux des pôles des deutéroisocéloèdres.

La figure met en outre en évidence certaines relations de zones, sur lesquelles il est bon d'insister un peu.

Rappelons d'abord que, pour fixer la valeur du paramètre de l'axe principal relativement à celle des paramètres es 1. inaires, il suffit, parmi toutes les deutéropyramides de notation a\ d'en choisir une, pour laquelle on admet que s=i et /• = 1 . Ce choix étant fait et la position du pôle a1 étant ainsi déterminée par la connaissance de l'angle que fait, avec la base p, cette face choisie pour représenter a\ toutes les notations d>> autres faces vont s'ensuivre.

IKuy faces "' adjacentes, par exemple celle dont le pôle esl sur pu, qui a pour notation nâi), el celle dont le pôle est surjoy et qui s'exprime par ji 211 \,

forment une zone dont l'axe, calculé d après une formule connue, a pour sym-

bole il; La condition pour qu'un protoisocéloèdre bï ou [oqqs], avant son pôle sur / partie de cette zone, sera

— 2ç-+-3« = o ou s = -f/.

l'il-'. 140.