SYSTK.ME HEXAGONAL. RELATIONS DE ZONES

La notation de cette pyramide, dont les faces sont tangentes aux intersections noctuelles des laces de a1, est donc b\.

Maintenant, une face [naij de a1, ayant son pôle but pu, et la face adjacente m, ou(ioio), donl le pôle est surpx', forment une zone-de symbole (on). Un protoisocéloèdre l>~i ou \oqqs\ fera partie de cette zone, si l'on a g — s = oou q^s. Ce sera donc la pyramide bx qui jouira de cette propriété.

Deux faces adjacentes de bl, ayant pour pôles : l'une (ion), situé surp'; l'autre (0111), sur pu', formeront une zone i n). à laquelle appartiendra le deutéroisocéloèdre ar ou (rrars), pourvu que — /• — r + î=oous= ir. C est la pyramide a2.

Enfin, on verrait de même que b\ forme zone avec une face de a' et les deux faces m dont les pôles occupent les deux extrémités du diamètre normal à pal.

Toute-, ces relations de zones peuvent être prévues géométriquement. En effet, soit SABCDFF fig. i ',i) la projection du protoprisme //<, couronné par la prolopyramide fondamentale bl , coupant Taxe sénaire à une hauteur qu'on prendra comme égale à l'unité de paramètre de cet axe. Considérons la face SAB, qui, tangente à l'arête AB, intercepte sur Cl> à partir de C et, par conséquent aussi sur A F à partir de F, une longueur égale à l'unité du paramètre des axes de première espèce, ayant pour symbole (101 1). La face déterminante de la deutéropyrainide fondamentale ) 112 ij doit avoir pour trace AC et couper d'ailleurs Taxe sénaire au même point que SAB. Donc SAC contient les deux intersections SA et SC de deux faces adjacentes bl avec leurs voisines. Mais ces intersections ne sont autres que les rencontres de ces deux faces bl avec des plans verticaux respectivement parallèles aux deux faces AB et BC de m. Donc deux cercles bhn de la ligure i »o, tels que celui qui va de y' à y' et celui qui, partant de ///./•', aboutit à mx'} doivent venir se croiser sur phlx au pôle a1.

Une deutéropyramide tangente à l'arête SB coupe les axes en ( '. et A', à des

distances doubles de l'origine. Son symbole est donc --n ou ( 1122 ). ce

qui correspond à a2. Ainsi a2 forme zone avec deux faces bi adjacentes. Enfin deux faces a'- adjacentes, telles que AC et FB, se croisent en H, au centre du

triangle équilatéral SAB, c'est-à-dire que SH = tt SK. Une protopyramide

tangente à l'arête SH coupe donc les axes, par exemple SA, à une distance

SA. = - a ■=. - a, a étant le paramètre. Le svmbole - devient ainsi - : 20U -; 1 q 5 l 9 i i

par suite, c'est b\ qui forme zone avec deux faces a1 adjacentes.

Fig. i',i.

Détermination de la forme primitive. Rapport d'axes. — Considérons un protoisocéloèdre 6"» ou \qâqs\, assis sur une arête b, laquelle intercepte, sur deux axes consécutifs de première espèce, deux longueurs égales entre

elles el avant pour valeur -. Si. dan- le plan de la hase p, on abaisse, du centre

de l'hexagone, une perpendiculaire sur cette arête b, sa longueur sera (le

triangle étant équilatéral) :

- . cos i<>( = - ■ - i 3.

( »r le rapport de la longueur - , interceptée sur l'axe vertical, à cette perpendiculaire, est justement la tangente de l'angle que la face bl fait avec le plan de la l>ase p. Soit x cet angle ; on a

icq

i « - sa. \ $

Supposons que le protoisocéloèdre 6' soit choisi pour déterminer la forme primitive, c'est-à-dire que l'on admette s= i et q = i . La formule devient