VIII. 2P
qrs q r s
rqs rqs
qrs qrs
rqs rqs
Le centre de symétrie accompagnant toujours le plan principal, la colonne V a pour en-tête G, II. La septième est obtenue par le changement des signes de la troisième, ce qui revient à faire tourner qrs de 1800 autour d'un axe de première espèce, puis à repéter la nouvelle position relativement au centre.
Or ce mouvement produit le même résultat que si l'on prenait directement la position symétrique de qrs relativement au plan de symétrie auquel l'axe en question est perpendiculaire. Donc la colonne VII doit avoir pour en-tête iP et la colonne VIII, 2F.
Pour savoir dans quel cas les faces de la colonne VI devront appartenir à une forme mériédrique, il suffira de se souvenir que, le nombre des faces étant toujours ï, 8 ou 16, le nombre des colonnes à conserver doit toujours être pair.
Fig. i48.
1,,S SYSTÈMES CRISTALLINS
Le> seize faces de la forme oblique constituent deux pyramides identiques; raccordées, sur le plan principal, par un octogone non régulier, qui résulte 3e la pénétration mutuelle des deux carrés ABCD, A'B'C'D' (fig. 147). C'est ce qu'on appelle un dioetaèdre. Les (aces de ce dioctaèdre sont des triangles non isocèles donl les plus longs côtés coïncident, en projection, dans l'exemple choisi, avec les axes de première espèce.
Dans une perspective sléréographique sur le plan principal, les pôles se répartissenl conformément à la ligure 148, où la face déterminante (qrs) doit être dans le secteur x' Oy, si l'on veut que 7 soit plus petit que r, c'est-à-dire
nue la longueur ~Xa, interceptée sur O.r par la perpendiculaire au rayon OA,
soit plu- grande que la longueur -X«, interceptée sur Oy.
Formes restreintes. 1° Formes parallèles. i° A Va.re quaternaire :
Le symbole, correspondant à -=oc , est (Vo). Les pôles sont situés sur le
a cercle fondamental et la forme est un prisme octogonal indéfini, ayant pour base l'octogone non régulier de la figure 1.Î7.
2° Aux axes binaires de première espèce :
Dans ce cas, la face déterminante coupe le plan fondamental suivant une ligue parallèle à O.r ou à Oy. L'une des caractéristiques horizontales est nulle et la ferme prend pour symbole (70s) ou (ors). Les pôles, au nombre de huit, sont situés sur les plans de symétrie de première espèce. La forme est une double pyramide, ayant pour base commune un carré dont les côtés sont paral- I' tes aux axes de première espèce. On lui donne le nom de quadratoctaèdre (ou octaèdre quadratique) de première espèce, et encore celui de protopyramide. Parmi les diverses formes de cette série, on convient d'en choisir une, définie par l'inclinaison de ses faces, relativement au plan principal de symétrie, pour déterminer les paramètres des axes. On admet alors q — 1, s= 1, et la forme, «Je s v m Inde nu], est le quadratoctaèdre fondamental ou la protopyramide fondamentale.
; Alix axes binaires de deuxième espèce.
- 1 tint bissecteurs des angles formés par Ox et Oy, l'intersection di la le.- déterminante avec, le plan fondamental doit être à 45 degrés sur ces deux axes. Donc 7 = /- et le symbole est (rrs). Les pôles sont situés sur les plan- de symétrie de deuxième espèce et la forme est un quadratoctaèdre de deuxième espèce ou une devtéropyramide, c'est-à-dire une double pyramide, ,!,,i, t la base de raccordement est un carré parallèle aux axes de deuxième La tonne (i 1 1) est la deuteropymide fondamentale.
L'une des faces d'une protopyramide étant (70s), la face adjacente est '075J. I ne formée par ces deux faces a pour symbole
— sq, — sqy 7" OU s, S, q
SYSTEME QUADRATIQUE. NOTATION DE LÉVTE
WJ
Pour qu'une deutéropyramide ) /■' /•' s' { fasse partie de la même zone, il faul d'abord qu'elle coupe Taxe quaternaire au même point que la première, c est-àdire que s' == s. Alors la condition devient — 2/-'s-h qs = o ou -ir' = q. I) après cela, deux laces adjacentes de la pyramide (101) forment zone avec une face
intermédiaire de la pyramide \-, -, i i ou \ 112 j.Dcmèmc, une face rrs) et la
Eace adjacente rrs) donnent lieu à la zone o, — irs,ir2 ou o, », /•. Pour qu'une protopyramide J <>'/•'>'{ en fasse partie, il faut (pion ail — sq -\-sr=<> ou // = /•. Ainsi deux faces adjacentes de J 1 1 1 ' font zone avec une face intermédiaire de )<>ii \ ou ) 101 {.
Deux pyramides d'ordre différent, et dont l'une est ainsi tangente aux arêtes de l'autre, sont dites conjuguées. Leur coexistence engendre un polyèdre analogue à celui de la figure 1 «9.
20 Formes normales. — 1 " .1 l'axe quaternaire:
Ce sont deux faces parallèles ou bases, de symbole (001). Aux aies binaires de première espèce:
On voit de suite que la forme est un prisme quadratique de première espèce ou protoprisme quadratique, de notation (100J.
i° Aux axes binaires de deuxième espèce :
C'est un prisme quadratique de deuxième espèce ou deute'roprisme quadratique (no).
FORMES COMPOSÉES, NOTATION DE LÉVY . PERSPECTIVE STÉRÉOGRAPHIQUE
Choix des axes. — Dans la notation de Lévy, la forme primitive du système quadratique est un prisme droit à base carrée. Mais ce prisme n'est pas le protoprisme (100) de la notation à trois caractéristiques. C'est le deutéro-
Kg. i5o.
Fig. l5l.
prisme (no). Les faces verticales (fig. i5o) sont notées m, tandis que la base est /;. Tous les angles ont une même valeur et sont marqués a. Les arêtes horizontales, parallèles aux axes de deuxième espèce, portent la notation b, les
arêtes verticales, parallèles à Taxe quaternaire, étant notées //. Ce sont les diagonales de la base qui représentent les axes de première espèce.
D'après cela, les troncatures devront être définies, non plus par les longueurs interceptées sur les axes de première espèce, longueurs proportionnelle-; <i - et -. mais par celles interceptées sur les axes de deuxième espèce.
9 '' Soient y', r' , s' les caractéristiques d'une face rapportées à ces derniers axes.
Si l'on considère fig. i5i) la ligne RQ, qui détermine la face, cette ligne coupe les nouveaux axes en R' et Q . Mais Ox' a pour paramètre la diagonale OC du earré construit sur les paramètres OA et OB de Ox et Oy. Donc on a, d'après un théorème connu :
D'autre part, OB pouvant être considéré comme la diagonale du parallélogramme OABD, construit sur OA, paramètre de Or, et OD, paramètre de Oi/',
on a :
OU '•' = — q -+- r. (B)
D'ailleurs, s' = s, puisque rien n'est changé à l'axe vertical. Ainsi, de la
connaissance de qrs), il est facile de passer à celle de (q' r' s'). Pour faire
l'opération inverse, il suffit de remarquer que, en combinant les équations (A)
et B), on obtient :
ou, en multipliant tout par i, pour avoir des caractéristiques entières,
q-=zq' — r r = (/' -f- r' s = 2s' .
Ces formules permettent de passer de l'un à l'autre des deux systèmes. Symboles des formes. — Cherchons maintenant les symboles des diverses formes. Le dioctaèdre est évidemment représenté par
-t-à-dire par bu + r br - 'i //*.
Ain-i ; i33 ' devient b~ b\ h\.
Lorsque q = s' (c'est-à-dire q -+■ rz= s), on se sert du symbole
Aiii<i ; i i'Vs devient a,
Pour /•' = * ou /• — qz=s, on prend le symbole
Aiii^i ; iW \ devient a. «
SYSTÈME QUADRATIQUE. TRONCATURES
En combinaison avec le prisme m et la l>ase p, le dioctaèdre donne, sur chaque angle a, deux facettes symétriques, placées comme celles du didodécaèdre du système sénaire. Avec le prisme seul, on obtient la pyramide à huit faces de la ligure i 5a.
Les prismes octogonaux sont produits par des biseaux placés sur les arêtes h ei interceptant, sur les deux arêtes b,
des longueurs proportionnelles à —et — . Leur notation est
//'' ou //'-'/
Fig. i-".'.
Ainsi { 120 j devient A3
Les protopyramides de Lévy sont déterminées par des faces parallèles aux
arêtes b et interceptant : sur l'autre arête b, — , : sur l'arête //, — . Leur symbole
est donc
D'autre part, dans la notation à trois caractéristiques rapportées aux axes de première espèce, ces faces appartiennent à des deutéropyramides de notation \ rrs j, dérivées de \ qrs J où rj = r. Dans ce cas particulier, la formule (A)
donne ç'=2r. Donc le symbole ht' devient bir. Ainsi la protopyramide fondamentale de Lévy, répondant à la deutéropyramide \ ni j, a pour symbole b\. La ligure 1 53 représente une protopyramide en combinaison avec la base/) et le prisme m. Dans la iigure i54, la protopyramide est complète.
Fig. i53.
Fig. i55.
Fif.-. i56.
Les deutéropyramides de Lévy sont des troncatures symétriques opérées sur
les angles a et répondent évidemment au symbole (/•' r' s') ou a7. D'autre part, elles représentent les protopyramides ) q o s \ ou ;<)/-s{ de l'autre système.
Dans ce cas, r'= — q-+-r = o-\- /■=/■ et s' = s. Donc a? se transforme en aï, ei ainsi la deutéropyramide fondamentale a1 répond à la protopyramide fondamentale [onjoujioi}.
Les ligures i55 ei 1 36 représentent les combinaisons d'une protopyramide et d'une deutéropyramide.
Quant au deutéroprisme de Lévy, il est évident que sa notation est //' et qu'il correspond au protoprisme ; 100 }.
Relations de zones. — Lorsqu'une pyramide ar est combinée avec le prisme //>, les faces de cette pyramide sont des losanges. En effet, chacune d'elles, telle que SA8G (fig. 1 5^), rencontre la l'ace adjacente SBDE suivant un plan de symétrie de première espèce, c'est-à-dire parallèle à une lace m. L'intersection mutuelle SB est donc la même que celle de SABG avec un plan vertical, parallèle à la face m aboutissant à AG. Donc cette face m elle-même doit être coupée par SABC suivant une ligne parallèle à SB. Donc SABC est un parallélogramme. D'ailleurs ce parallélogramme doit être symétrique relativement à la trace SG d'un plan de symétrie de première espèce. Donc c'est un losange.
La ligure i58 représente la perspective stéréograpbique du système quadratique sur le plan principal de syinétrie. Une fois qu'on a choisi la position du pôle b\ = }iii(, il suffit de joindre ce pôle au pôle A1 le plus voisin pour obtenir, par l'intersection de ce cercle avec la ligne joignant p à l'autre pôle adjacent //', le pôle de la pyramide a1. Le cercle de zone de deux faces a1 adjacentes fournit le pôle £' et la jonction de bl avec A1 adjacent donne un cercle contenant le pôle a2. Ces diverses relations peuvent être vérifiées à l'aide des formules des zones.
Mais on peut aussi s'assurer directement qu'une fois que le proloprisme a été choisi, la deutéropyramide fondamentale doit avoir ses faces tangentes aux ^ intersections mutuelles des faces de la protopyra-
mide fondamentale. En effet, soit ABCD (fig. i5<j) le protoprisme de Lévy, c'est-à-dire le deutéroprisme de Miller et celui qui, par conséquent, intercepte sur les axes OA et OB des longueurs égales à l'unité du paramètre de ces axes. Soit OABCD la projection orthogonale de la protopyramide fondamentale, laquelle, par hypothèse, coupe l'axe quaternaire àunc distance du plan de la base ('-gale à l'unité du paramètre de cet axe. La deutéropyramide, qui doit venir couper l'axe quaternaire au même point, doit en outre, puisqu'elle est une protopyramide de Miller et répond
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