SYSTEME QUADRATIQUE. FORME PRIMITIVE

au symbole ) 101 (, rencontrer les axes OA et OB aux points A et B. Donc sa hce déterminante est projetée en OEF, c'est-à-dire qu'elle est tang <'T> a l'arête d'intersection de doux faces adjacentes de la protopyramide. D'ailleurs cette intersection OB est aussi celle des faces de la protopyramide fondamentale avec un plan vertical COB, parallèle à deux des faces du deutéroprisme de Lévy. Donc deux faces opposées de ce deutéroprisme font zone avec deux faces adjacentes de la protopyramide fondamentale et une face intermédiaire de la deutéropyramide fondamentale. On voit d'ailleurs que, si celte dernière es1 notée a1, ce qui suppose OE = OF=i, la protopyramide

définie par AOB interceptera, sur OE, une longueur 00 = - = -. Donc qz=zi

el comme le symbole est b], que d'ailleurs s = i, la protopyramide fondam ntale, avec ce choix d'axes, doit être notée b\.

On verrait de même qu'une protopyramide tangente à < >K, c'est-à-dire à 1 intersection mutuelle de deux faces adjacentes de la deutéropyramide o1, intercepti rait sur OE une longueur égale à l'unité et devrait être notée bl. D'ailleurs, OE étant aussi l'intersection des laces de a1 par un plan parallèle aux côtés AC et BD du prisme m, il y aurait zone entre deux faces opposées du protoprisme, deux faces adjacentes de a1 et une face intermédiaire de bl .

La ligure 160 représente la combinaison, réalisée dans la cassitérite ou oxyde d < tain, des deux prismes m et h1 avec les pyramides a1 et bl. Dans la figure 161, les deux prismes sont associes à la protopyramide b\, dont le sommet est tronqué par la base/;.

Détermination de la forme primitive. Rapport d'axes. — La symétrie quaternaire se reconnaît, dans les cristaux naturels, à l'existence de deux plans de s\ uiétrie identiques et rectangulaires l'un à 1 autre, auxquels s'ajoute un troisième plan, normal à tous deux et d'espèce différente. Il reste ensuite à déterminer ce qu'on appelle la (orme primitive, c'est-à-dire les dimensions du prisme quadratique fondamental. Il suffit pour cela de fixer ce

qu'on appelle communément le rapport - . c est-à-dire, dans

Fi?. 160.

Fi--. l6l.

Fig. ltji>.

notre notation habituelle, -, autrement dit la relation qui existe entre le pa-

ramètre des arêtes horizontales et celui des arêtes verticales.

Considérons un octaèdre quadratique qui, par sa fréquence, nous paraît mériter d'être regardé comme fondamental. S'il est établi sur les arêtes b, nous admettrons qu'il représente b\. Dans ce cas, soit ABCA' [fig. 162' la projection, sur un plan parallèle à m, de la moitié du cristal formé par m et bj. Le

rapport -r-rr. c'est-à-dire -v-p. est représenté par la cotangente de l'angle AFG.

Cet angle est la moitié de l'angle dièdre des deux faces AB et A'C, qu'on peut mesurer directement ou conclure de l'angle de AB avec la face verticale BC;

c'esf - b{ H sur m.

Mais si l'on se reporte à la ligure i5(), on voit que OG. qui n'est autre que BD fig. 1G2), est égal à OB ^ ou b s—-

Donc -V = col - b\b\ (sur m)

■ilt 2 "

ou y = \ 2 col - bjbj(*uv m) = \ 2 tg - b* i b1 - sur/?)

On trouverait de même (en se rappelant que la pyramide a1 a ses faces tangentes aux arêtes culminantes de b\) que

- = col- a* a* (sur //') =tg- rt1 a1 'sur p). h 2 ' ° 2 v ri

Ordinairement, on fait b = 1 ; alors le paramètre // de l'axe vertical c'est-à-dire c) est donné par l'une des deux formules :

A =z — cot- b\ £y (sur p), h = rot -a1 a1 (sur/?).

Si, au lieu des angles sur />, <in avait seulement les angles de deux faces adjacentes de b\ ou de a1, on se reporterait à la perspective stéréographique, où l'on voit -ans peine qu'on a

cos bj b^ adj. = cos2 pb^, cos ni a* adj. =r cos*pa*.

Or pb\, dans cette formule, est la moitié du supplémenl de l'angle vrai b\bjsuv p; de même, pà1 est la moitié- du supplémenl de I angle a1 a1 sur p. On remarquera seulemenl que, dan- les deux dernières formules, b\ b\ et a1 a1 désignent les anglee des normales aux faces correspondantes et non les dièdre- vrais. Le paramètre des axes de première espèce étant 1, celui des axes de l'autre

du < ané de base) esl évidemment — .

SYSTÈME QUADRATIQUE. FORMES MÉRIÉDRIQUES 155

§ 3 FORMES MÉRIÉDRIQUES

Série des formes. Polyèdres holoaxes. — La série des formes mériédriques du système quaternaire est exprimée par le tableau suivant :

Yur. holoaxe i. A4, 2L2, 2L'2

! 2. A.*, C II \ p0iyèdrea hémiaxes

A ' ' 1 principaux

Var. hémiaxes < 4. A* ;

ô. A2, 2L2, aP' ) Polyèdres liémiiixis