IV. 3P

qrs

rs(j

srq qsr

rq s

qrs rsq sqr

srq qsr rqs

Cherchons dans quel secteur de la perspective devra tomber le pôle d'une face (qrs), telle que ses trois caractéristiques soient positives et que l'on ait q>r>s (i). Soient (lig. 172) Ox, Oy, 0^ les trois arêtes culminantes, Oy, par exemple, étant supposé en avant du plan qui contient 0: et Ox. Une face

(1) Cette condition, inverse de celle que nous avons admise pour le système cubique est justifiée par le désir de garder la même position au secteur des coordonnées positive-;

DE LAPI'.VREST, COIRS TE MINÉRALOGIE. T I

QRS, telle que l'on ait OQ=- plus petit que OR= - et cette dernière lon-

gueur plus petite que OS^-, est coupée

en PS p«ir le plan de symétrie ;0;,, normal à la face xQy. Sa normale ON doit donc tomber entre PS et QS, c'est-à-dire, en perspective ou en projection, dans le secteur xOz.. Une face (i 1 1), également inclinée sur les trois arêtes, aurait pour normale Taxe ternaire lui-même et son pôle tomberait en 0 sur la perspective de la ligure 171.

Scalénoèdre. — La position du pôle de la face déterminante (r/rs) étant ainsi établie, on reconnaît sans peine que les six pôles de l'hémisphère supérieur, dont trois appartenant à la demi-forme directe et trois à la demi-forme inverse, se groupent deux par deux autour des plans de symétrie, comme l'indique la ligure 171, donnant lieu à six faces qui viennent couper l'axe ternaire au même point, en formant une pyramide hexagonale. Cette pyramide coupe le plan normal à l'axe ternaire suivant un hexagone non régulier, résultant de la pénétration mutuelle de deux triangles équilatéraux symétriques, dont les côtés n'ontaucune relation avec les axes binaires. Les arêtes de cette pyramide, situées dans les plan- de symétrie, sont alternativement longues et courtes. Dans l'exemple choisi, qrs) étant dans le secteur ,rOx' , on voit aisément que les arêtes courtes sont sur les parties positives 0.r, Oy, Os et les arêtes longues sur les parties tives.

Quant à la portion de la forme située au-dessous du plan fondamental, elle ne peut être symétrique de la précédente ralalivement à ce plan, qui n'est pas un plan de symétrie. Les pôles inférieurs dérivent des pôles supérieurs par rotation autour des axes binaires, de telle sorte que, si l'on représentait lhémisphère inférieur seul, on aurait une ligure identique avec la ligure 171, mais avec les pôles groupés autour des parties négatives, dans les secteurs précédemment inoccupés. De la sorte, la seconde pyramide aura ses arêtes courtesur les plans de symétrie qui contiennent les arêtes longues de la première et réciproquement. Ainsi les deux pyramides devront se raccorder suivant des lignes inclinées, formant un hexagone en zigzag. I. ••- itéa decel hexagone rencontrent le plan fondamental sur les axes binaires, auxquels ils sont nécessairement perpendiculaires en leur milieu, et dessinent ainsi en projection un hex i{ çulier. La forme résultante, formée de douze

SYSTÈME RHOMliOEURIQlE. FORMES DIRECTES ET INVERSES

If,3

lie. 175.

triangles scalènes, porte ]<• nom de scalénoèdre (1). Le scalénoèdre peul être tigu, comme dans la figure 17!. ou obtus, comme dans la figure i~i.

Isocéloèdre. — Il y a un cas où Ihexagonc de raccordement dc> pyramides devient plan ci où les triangles scalènes se transforment en triangles isocèles. C'est lorsque les pôles (qrs) viennent se placer dans les plans qui contiennent à la lois l'axe ternaire et un axe binaire (fig. 17 > • Dans ce cas, en effet, les plans tangents à la sphère, menés par ces pôles, rencontrent le plan fondamental suivant uni' trace telle que AB, normale aux axes binaires et dont, par conséquent, la position n'est pas changée par une rotation de 1811 degrés autour de ces axes. Cette même rotation ramène le pôle symétrique de (qrs) dans le plan projeté en Oâ/. Alors. et par exception, le plan fondamental acquiert la même valeur que s'il ('tait plan de symétrie.

11 est facile d'indiquer la condition à laquelle doivent satisfaire les caractéristiques q, r et s, pour que cette disposition soit réalisée. La face (qrs) fait alors partie de la zone dont l'axe est yy, perpendiculaire au plan Ox' . Cette zone comprend la face normale à l'axe ternaire, et dont évidemment les caractéristiques sont (111) et la face normale au plan fondamental, dont la trace est AH et dont, par conséquent, le symbole est (101). Son axe est donc fiai) ; par suite, on doit avoir :

— q -h ir — s = o ou q — %r -(-5 = 0.

Ainsi laioj est un isocéloèdre.

Formes directes. Formes inverses. — Remarquons maintenant que, dans les isoeéloèdres, les faces adjacentes de la pyramide font entre elles le même angle dièdre, aussi bien sur les plans Orque sur les plans 0.7'. Au contraire, dans un scalénoèdre, tel que celui de la figure 17'L deux faces adjacentes sur Ox, comme (qrs) et (srq), font entre elles un angle sensiblement plus ouvert que deux faces [qrs), (qsr), adjacentes suivant 0-. Les formes pour lesquelles les angles dièdres les plus ouverts des faces adjacentes ont leurs arêtes dirigées suivant les arêtes Ox, Oy, Oz du rhomboèdre générateur, sont dites formes directes, tandis que les autres sont des formes inverses. La limite commune des deux catégories étant formée par les isoeéloèdres, pour lesquels q-\-s=:i±r, les formes directes, dont les pôles sont compris dans le secteur xOx' , doivent avoir ry + s> ir. En effet, si le pôle tombait sur Or, les deux faces se confondraient en une seule et le symbole deviendrait (qss).

(1) Pour distinguer cette forme d'autres qui sont également limitées par des triangles scalènes, on l'appelle quelquefois scalénoèdre ditrigonal .

Comme on a q > .« dans le secteur xOz, il en résulterait g-f-s > 2s ou, ce qui revient au munie, puisque s = r, q •+- s > ar. Au contraire, sur G.-, la forme serai! /•'>-' et, avec r ; s ou aurait r -h s < ir ou 7 -4- s < ir.

Formes parallèles. — i° A l'axe ternaire :

Gel axe étant d'ordre impair, les formes de cette nature continuent à être à douze faces. Leurs pôles doivent d'ailleurs se trouver sur le cercle fondamental. La face déterminante esl normale au plan de ce cercle et intercepte, sur les trois axes, des longueurs qui, vu l'égale inclinaison de ces axes sur le plan fondamental, sont rigoureusement proportionnelles à leurs projections OQ, OR, < »S fig. i 76). D'ailleurs, comme la projection de l'axe 0; est la résultante du parallélogramme construit sur les deux autres, on ar/ + /' = s, La notation de la forme doit donc être

; qrq~T~r !■

La face (qrq -4- r) se répèle deux fois autour de l'axe ternaire, trois fois autour - ses binaires, ce qui donne six positions, dont le nombre est doublé par

l'intervention du centre et des plans de symétrie. Il en résulte un prisme indéfini, dont la section droite est un dodécagone non régulier-, semblable à celui que donnerait le système sénaire. C est le prisme dcdécagonal.

i° Aux ai es binaires.

Les pôles sont dans les plans de symétrie et les traces des faces tangentes à la sphère en ces pôles viennent dessiner sur le plan fondamental un hexagone régulier. Il y a trois pôles en haut, dans les secteurs de 60 degrés groupes autour des parties positives des axes, et trois pôles en bas, dans les secteurs négatifs. II en résulte une double pyramide trièdre, raccordée suivant un hexagone en zigzag et, la figure étant parfaitement symétrique, il est évident que chaque face, qui en rencontre quatre autres, a la forme d'un losange. Le polyèdre, qui d'ailleurs est n 1 1 parallélépipède, puis. pie ses laces sont deux à deux parallèles, est donc un rhomboèdre.

Il suffit de se reporter à la figure 168 pour voir que, dans ce rhomboèdre, tes trois axes binaires, parallèles aux diagonales horizontales des losanges, sont a 1 1 — i les perpendiculaires abaissées du centre sur les milieux des côtés de" l'hexagone en zigzag, hexagone dont les arêtes sont d'ailleurs, deux par deux, paral- [ les .iu\ ar< tes culminantes du rhomboèdre. Deux faces culminantes se rencontrent sur un plan de symétrie, qui esl normal à la troisième et contient l'axe ternaire. Les diagonales culminantes des losanges sonl donc |e^ trac< s, sur les plans de- faces, des plans de symétrie.

SYSTÈME RHOMlîOKDKlQlE. FORMES COMPOsKI.-

Parmi tous les rhomboèdres d'une même espèce, on en «lioisit an, plus fréquent ou mieux marqué que 1rs autres, indiqué, par exemple, par trois directions de clivages identiques, et on en fait le rhomboèdre primitif cm générateur^ Bervanl à fixer la position des trois arêtes conjuguées 0.r, Oy, Oz.

Cela posé, il y a (Jeux séries de rhomboèdres : les rhomboèdres directs (qss , dont les pôles sont situés sur (>./•, Oy, Oz, et les rhomboèdres inverses (rrs), dont les pôles se projettent sur les parties négatives des mêmes lignes.

Lorsque les pôles arrivent sur le cercle fondamental, la forme se change en un prisme hexagonal, dont la notation devient (na); car alors les longueurs interceptées obéissent dans leurs relations à la formule du parallélogramme. (! est le prisme de première espèce, ses côtés étant parallèles aux axes binaires ( i).

Formes normales, i" A Ca.re ternaire :

La forme se réduit à une roupie de laces, ou bases, de notation (i i i) ; car tout plan parallèle au plan fondamental intercepte sur les trois arêtes des longueurs égales.

•i." Aux axes binaires :

La forme est évidemment un prisme hexagonal, dont la face déterminante, parallèle par exemple au plan yy, intercepte sur les trois axes des longueurs

respectivement égales à -, - , -, de telle sorte que sa notation est (ooq) ou (i(,i)-

C'est le prisme hexagonal de seconde espèce.

FORMES COMPOSÉES. NOTATION DE LÉVY PERSPECTIVE STÉRÉOGRAPHIQUE

Rhomboèdre primitif. — Dans le système deLévy, toutes les formes obéissant à la symétrie ternaire sont considérées comme

des dérivations, obtenues, par voie de troncature, sur

les angles ou les arêtes d'un rhomboèdre dit primitif.

Ce rhomboèdre, pour lequel on choisit, comme nous <tj

l'avons dit, la forme rhomboédrique le plus fréquente

ou celle que définissent les trois clivages identiques.

quand ils existent, est aussi celui qui détermine le

noyau ou parallélépipède générateur de l'assem- Fig. \--.

blage.

Considérons ce rhomboèdre primitif (fig. 177). Toutes ses faces sont identiques, les trois faces qui aboutissent à une extrémité a de l'axe ternaire dérivant les unes des autres par rotation de 120 degrés autour de cet axe,

(1) Quelques auteurs font de ce prisme le prisme de deuxième espèce, réservant le titre de première espèce au prisme qui est normal aux axes binaires.

tandis que chacune d'elles engendre une des faces aboutissant à l'autre extrémité par rotation autour d'un axe binaire. Elles doivent donc porter la notation p. Les deux pointements ternaires forment les angles a. Quant aux sommets de l'hexagone en zigzag, ils n'ont pas la même valeur que les précédents, auxquels ils ne peuvent être substitués, et ils peuvent seulement se remplacer les uns les autre- par rotation autour des axes binaire-. Ce -ont des angles e. Les arêtes culminantes, soit du haut, soit du bas, sont identiques et portent la notation b. Quant aux arêtes de L'hexagone en zigzag, bien qu'elles aient, comme rangées, le même paramètre que les précédentes, auxquelles elles sont parallèles, elles ne peuvent leur être substituées et doivent porter la notation d.

Le rhomboèdre primitif porte la notation p, qui correspond évidemment à On le défînil complètement par la valeur de l'angle dièdre que forment entre elles, sur une arête culminante l>, deux faces/? adjacentes.

Perspective stéréograpbique du rhomboèdre. Angles et rapport d'axes. — L'angle pp de deux faces rhomboédriques culminantes étant

donné, appelons-le «. Les deux pôles adjacents du rhomboèdre primitif doivent être séparés l'un de l'autre par un arc de grand cercle égal à (- — a). Ces deux pôles sont d'ailleurs situés sur les parties positives de deux plans de symétrie, tels que Ox et Oy (Og. 178) et, par suite, l'arc de grand cercle qui les réunit doit passer par les extrémités /' et ./■' de l'un des axes binaires. Le problème à résoudre est donc celui-ci : Mener par ■>■' et x' un arc de cercle tel que la portion interceptée entre les traces des deux plans de symétrie soit égale à (- — a . Le reste du demi-cercle est alors - — (71 — y.) ou a. Par conséquent l'arc intercepté entre un pôle /; et l'extrémité x' par exemple, est égal à

-. Le pôle p doit, en résumé, se trouver à l'intersection de la trace py avec tii eercle décrit de .<■' comme centre, l'ouverture angulaire étant -'. H esl

facile de déterminer deux points de ce petit cercle sur le cercle fondamental, à égale distance de ./■'. En relevant l'un d'eux, on l'amène, sur le cercle ; i . en un point dont il esl aisé de trouver la perspective. On n'a plus qo -i tracer, par les trois points obtenus, un cercle, dont L'intersection avec la trace y donnera Le pôle /> cherché. On en déduira les autres pôles p et, en le- réunissanl deux à deux par d< - arcs de grands cercles, on formera un triangle sphérique équilatéral ppp, définissant entièrement la forme rhomboédrique et, avec elle, tout L'ensemble du système. Les trois sommets p corres- .1 respectivement à 100 , <>n> et 001 .

SYSTEME KHO.MBOKDKIQUK. TRONCATURES

Si l'on appelle a l'angle dièdre de deux lares culminantes /;, angle qui suffît absolument à définir le rhomboèdre, on s'assure sans peine que l'angle plan c de deux arêtes b est donné par la formule :

eus - y.

Par exemple, pour x= ioo° ï', on trouve x= ioi° 55'.

Quant au paramètre // de l'axe ternaire (celui que nous désignons d'ordinaire par c), si l'on prend pour unité le paramètre de< axes binaires, il se déduit du même angle ot par la formule :

d'où

<>n en retire, inversement

ï -f- cos ï

i -h cos a

— i cos a

cos % —

Modifications sur les angles culminants. — Toute modification de ce genre, devant remplacer l'angle a par un pointement plus surbaissé, est comprise entre deux limites extrêmes : i° les faces /; elles-mêmes: 2° la face de base, également inclinée sur les trois arêtes, et, par conséquent, tangente à l'angle a. Celte dernière a son pôle en 0. Dès lors, tous les pôles des facettes modifiant les angles a devront se trouver compris dans l'intérieur du triangle fondamental et, chaque face coupant les trois arêtes dans l'intérieur de l'angle trièdre, du même côté du sommet, les trois caractéristiques doivent être de même signe, étant toutes trois positives s'il s'agit de l'hémisphère supérieur.

La modification la plus générale est celle qu'on obtient à l'aide d'une facette qui intercepte à partir de a, sur les trois arêtes /; concourantes, trois longueurs

inégales, proportionnelles à -, -, -. Soit q > r > s. En portant -, qui est la

plus grande des trois longueurs, sur l'arête z ûg. 179), le point obtenu est

l'origine de deux facettes interceptant, l'une - sur z et - sur v, l'autre - sur

c et - sur i/. Mais ce qu'on a l'ait pour ; doii se répéter pour ./ et pour y. Il

en résulte trois roupies de Facettes (fig. 177), conduisant à un scalénoèdre de

notation

Ce s.alenoèdre correspond à la formule ) </rs j. La forme sera directe si les pôles tombent dans un angle tel epic ar'Os' (fig. 17V), c'est-à-dire dans l'angle formé par deux axes binaires adjacents à un plan de symétrie Opx. On aura alors j-t-s> »*\

A ette catégorie appartiennent

Si, au contraire, les pôles tombent entre Oy' et Oa', la forme sera inverse, avec j + s < ir, comme pour ; ','}i j == j b* ft£ 6{ { et pour J 5\-jl ! = J ftj-ôf *J {.

Si bs pôles viennent tomber sur les axes binaires, mais toujours à l'intérieur du triangle ppp, nous savons que la forme doit être un isoccloèdre et que <7-f-s = 2r. A cette condition satisfont J 3ai j, ) r|3a }, J 7 * 1 j, etc.

Si les pôles tombent sur les plans de symétrie [ou lignes médianes du triangle ppp), deux cas peuvent se présenter :

i° Les pôles tombent entre le sommet 0 et un sommet/?. La forme correspondante, de notation \ qss J, avec q > s, est une troncature interceptant, sur

une arête, une longueur-, et, sur les deux autres, deux longueurs égales -, plus 7 s

grandes que -. 11 n'existe, sur chaque sommet a, que trois facettes semblables.

ci l'ensemble Gg. 181 conduit à un rhomboèdre, plus surbaissé que/?, mais ayant se- arêtes dirigées comme celles du primitif/?, et par conséquent direct.

lit . . S ., (i

Sa notation, qui devrait être b'i b< b» , s'écrit, par abréviation, «% 1 exposant ■!■

étant toujours plus grand que l'unité.

Parmi les rhomboèdres directs, les plus fréquents sont :

) ')•>.•/ [ = aj, ) ',ii j.= a*, etc.

Fig. 1X1.

FiK. l8a.

Lorsque • augmente de façon .1 se rapprocher de la valeur de q, les trois

lu rhomboèdre tendenl .1 se confondre en une seule. A la limite (lig. 182),

SYSTEME RlIO-VMOÉDRIQl'E. TRONCATURES

on obtient les deux bases m) et (in , de notation >t\ el donl le pôle se confond avec le centre «lu cercle fondamental. L'autre limite est justement le rhomboèdre /', pour lequel - devienl infini et qui, par conséquent correspond au

-\ mbole nx .

i" Les pôles tombent sur le prolongement de <)/>, c'est-à-dire entre (> et le milieu du côté pp opposé à Op. Dans ce ras, le symbole du rhomboèdre est ]rrs\

avec r s. De chaque arête culminante, à la distance -du sommet, part une

facette placée symétriquement sur cette arête et interceptant, sur les deux autres, deux longueurs égales

ii -(tig. i83). Le rhomboèdre,

toujours plus surbaissé que le primitif (fig. 184)1 cs( '"" verse et a pour notation a'r,

I exposant " étant toujours

Fip. i83.

F,,, lo-

pins petit cpie 1 . A cette catégorie appartiennent (221 ) =a\,

|33ï} = o|, etc. La plus petite valeur de l'exposant correspond au cas où s = o. Alors le rhomboèdre devient tangent à l'arête b, combinaison que nous allons examiner dans un instant.

Modifications sur les arêtes culminantes. — Toute modification sur une arête h est parallèle à celle arête, c'est-à-dire à l'intersection mutuelle des faces adjacentes du rhomboèdre/?. Elle fait donc partie de la zone déterminée par ces deux faces adjacentes, c'est-à-dire que son pôle doil tomber sur le triangle fondamental, entre deux pôles p. De plus, la face déterminante ne rencontrant que deux arêtes, son symbole est )<yo(, ce qui se traduit par

b° b1' bv

Fig. i85.

Fig. 186.

Cela posé, sur les parties des côtes du triangle (fig. 180) comprises entre un pôle p et les deux axes binaires les plus voisins Ox' , OV, la forme, qui ne peut

être qu'un scalénoèdre (fig. iSC>), est direct-' et l'on a q > ir. Ainsi [3io}=è», {5io{=rJ . |5ao|r=*|.

Au contraire la partie compris.' entre Os' et Oy' donne lieu à des sealénoèdres inverses, pour lesquels on a q < ir, par exemple

|3ao| = *f, |53o} = ^.

I. limite commune des deux séries esl formée par les pôles situés sur Oz' , ^ Oy', lesquels correspondent à un isocéloèdi*e. Evi-

demment, pour ce dernier, on a q = ir et, par suite, la notation est b- ou 210).

La limite extrême des sealénoèdres directs étant p, pour lequel le symbole serait b" , celle des sealénoèdres inverses correspond au cas où le pôle tombe sur le plan de symétrie 0;, auquel cas on a évidemment un rbomboèdre dit inverse du primitif et correspondant à q = r, de sorte que son symbole est [no) ou bl fig. 187 .

Modifications sur les angles latéraux. — De telles modifications sont ssairement plus aiguës que le rbomboèdre primitif. Dès lors leurs pôles, pour 1 hémisphère supérieur, doivent se projeter en dehors du triangle fondamental, par exemple dans l'espace py'z'pblp. Dans ce cas, puisqu'il faudrait que le pôle fût situé en bx pour que la face correspondante fût parallèle à l'arête projetée en 0=, cette arête ne sera rencontrée que dans sa partie négative et, par suite, une des trois caractéristiques, pour les pôles de l'hémisphère supérieur, sera affectée du signe — .

La modification la plus générale résulte de deux facettes, interceptant, -m

l'arête culminante b, la même longueur- et, sur les deux arêtes d, les longueurs - et - (fig. 1 88). Il en résulte un scalénoèdre :

qrs

; b*dFd ,

direct quand q — s > rir, comme

iiâ j = { h\ d> d\ ; et ; 8aï | = { b* d\ d\ ;. et inverse quand q — s * *r, comme pour 1 3aï ' — I b* dk-di '

I. - sealénoèdres directs de cette série ont leurs pôles dans les triangles b*pz . blpy' , tandis que les pôles des sealénoèdres inverses tombent dans l'espace y'WbH'.

SYSTÈME RHOMROEDRIQUE. TRONCATURES

Lorsque 7 — s = ■>./-, la forme esl un isocéloèdre, dont le pôle tombe sur < h'.

Outre Ir et s'.

Lorsque s devient égal à r en valeur absolue, le scalénoèdre résultant jçrrj, direct quand 7 — r ar, ou 7 3r, ou 2 > 3, prend la notation abrégée e,r De

ce nombre est ^=5 lu j. Parmi les scalénoèdres inverses figurent e,= { 211 [,

e., = ) 3aa j, etc. Quanl à la forme c8> qui correspond à 7 = 3r 0117 — r = ar, f c'esl un isocéloèdre (3u), situé sur Os'.

Le lieu «les pôles jçrr} = e, ou | jrg j = eP est facile à trouver; en effet, une

face déterminante de ; 7/v j, interceptant (lig. 189) deux longueurs égales, EC sur l'arête EA = i et ED, El)' sur les arêtes EE' et EE" = rf, est nécessairement parallèle à la diagonale AE' du [rhombe AEE', laquelle n'est autre que l'intersection d'une lare p avec le plan de symétrie <•■

dtS-'

j-L-l^ti'

Fig. 189.

Fig. 190.

opposé, qui passe par AE"'A'. Donc, toutes les faces homologues des divers scalénoèdres que nous cherchons forment zone entre elles et leurs pédes doivent se trouver sur un même cercle. Ce cercle étant d'ailleurs le cercle de zone dune face/» et du plan de symétrie opposé, doit passer par le pôle p et par le point y', pôle du plan xx, qui est le plan de symétrie normal à la face p. Ainsi c'est sur le cercle pointillé y ' py' que se trouvent tous les pôles cherchés et e8 est à l'intersection de ce cercle avec 0^' (Gg. 190).

Les scalénoèdres directs } qrr \ ont pour limites, d'un côté ez, de l'autre p^ex, tandis que les inverses vont de e3 au pôle y', qui correspondrait à et>.

Quand les pôles tombent sur le cercle fondamental, la forme, de symbole ! 'Ir['l +" r) ' est un prisme dodécagonal lig. 191), de notation :

) b'/ - y (lr d [ •

Ainsi { ai3 } = { b^d\ ;.

Si les pôles sont situés sur le plan de symétrie Oz, il n'y a, sur chaque angle c.

qu'une seule facette, interceptant - sur la partie négative de l'arête b et - sur

chacune dos deux arêtes </ (fig. 192). La forme )rr$\, parallèle à la diagonale horizontale des faces /», est un rhomboèdre inverse aigu (11g. i9'J),dont la notation devient e'r.

Pig. 191.

La plus petite valeur de s est zéro, auquel cas le rhomboèdre, tangent à l'arête onfond avec b\ qui correspond ainsi à e°. Au delà, l'exposant de e va en croissant jusqu'à sa limite extrême, qu'il atteint quand le pôle coïncide avec z. A ce moment, la forme est le prisme hexagonal de première espèce, parallèle aux axes binaires. Sa notation est (rrar on 1 iH), puisque la longueur interceptée sur l'arête Os peut alors être représentée par sa projection, laquelle est liée aux deux autres par la relation ordinaire du paralkilogramme, q -h /' = s.

Mais on peut aussi le voir directement avec une grande facilité, en projetant normalement le rhomboèdre sur le plan des axes binaires (fig. 1 9 ^» ) ■ En effet, une troncature parallèle en même temps aux axes binaires et à l'axe ternaire pourra être définie par une trace telle que BC, laquelle, étant la diagonale du rhombe de projection ABCE, intercepte en bas, sur les arêtes AB et AC, deux longueurs se projetant en AB et en AC et, en haut, sur le prolongement AE de la troisième AD, une longueur projetée en AF = - AE = -AD. Ainsi le rapport des longueurs inter- • |.i >■«., qui est le même que celui de leurs projections, comme nous l'avons déjà dit, est de 1 à - . Donc la notation du prisme est c2. Par suite, pour tous les

rhomboèdres directs installés sur les angles e, on doit avoir - < x ou s < ir.

Le prisme e1 étant parallèle aux axes binaires, comme le sont les faces du

rhomboèdre, l'intersection de chaque face p avec la face e2 qui a son pôle sur le

même rayon doit être horizontale, comme l'est la diagonale du rhombe qui

définil l'axe binaire. La combinaison de p avec e- a donc la forme représentée

dan- la ligure n,'*.

Quanl au rhomboèdre e1 ou (m), il est clair que sa face déterminante est

formée par la réunion des diagonales culminantes de deux faces p adjacentes

SI SI ÈMB RHOMBOÉDRIQUE. TRONCATURES

sur l'arête b. Donc son pôle doit se trouver sur le cercle pe$' , à son interseclio I avec ( ): (fig. 196 .

Mais il y a encore d'autres modifications sur les angles e. Ce soni celles dont les pôles se projettent dans les triangles tels que /" ':• ■ Dans ce cas, il est visible qu'une seule des caractéristiques est positive.

Fig. 195.

Fig. 196.

A cette série, qui ne comprend que des formes directes, puisque tous les pôles

sont dans le secteur .r'oz', appartiennent les scalénoèdres ) qrs [ ou bïdfd* , qui

ne dillerent pas, comme position générale,, de ceux de la série précédente, mais ne comportent pas de formes îsocéloédriques.

La même série comprend les rhomboèdres directs ) qss \ ou es , dont les pôles sont situés entre p et x, comme e"° = ) ni j, les symboles ayant e- pour limite inférieure et p = ex' pour limite supérieure.

Modifications sur les arêtes latérales. — Il nous reste à examiner les modifications sur les arêtes latérales d.

La plus générale se compose de deux facettes, l'une et l'autre parallèles à une arête d, et dont l'une

intercepte (fig. [97) EC:

Fig. 197.

Fig. 198.

sur l'arête 6 = AE et

ED=- sur l'arête rf=EE

ou, ce qui revient au même, sur l'arête inférieure J = A'E'. Alors il faut que l'autre facette intercepte - sur EA et - sur E A'. Le biseau résultant (fig. 198) donne lieu à un scalénoèdre

Fie- vj-j-

Fig. aOO.

car les deux arêtes coupées le ><>nt l'une dans sa partie positive, et l'autre

dans sa partie négative. Les scalénoèdres de cette série sont tous parallèles ans arêtes de l'hexagone en zigzag du rhomboèdre primitif, c'est-à-dire à l'intersection de deux faces p non issues d un même sommet ternaire. Mais les - de cet hexagone sont, nous le savons, situées dans des plans verticaux parallèles aux plans de symétrie. Donc, les scalénoèdres en question forment zone avec une face p et le plan de symétrie non perpendiculaire à cette face, par exemple Oy ou Oz. Donc leurs pôles sont sur les cercles passant par p et

les pidcs x' et :■' des plans 0- et Oy, dans les parties pr' et pz' . Ainsi se trouvent enfin employés les prolongements des côtés du triangle fondamental.

Ces scalénoèdres, parallèles aux arêtes de l'hexagone en zigzag, ont reçu d Ilaiiv, au moins pour ce <pii concerne la chaux carbonatée ou calcite, le nom de scalénoèdres métastatiques. On les reconnaît aisément, quand le clivage a fait naître sur leurs sommets aigus des troncatures, dont les arêtes d'intersection avec les faces scalénoédriques sont exactement parallèles k celles de l'hexagone en zigzag (fig. 19g .

Pour simplifier, on donne à ces scalénoèdres la notation ds . Ainsi J 201 { = d1.

Les limites des symboles sont comprises entre p = dx et s', pour lequel le

scalénoèdre se transformant en un prisme, le prisme de deuxième espèce, les

deux faces adjacentes suivant d se confondent en une seule, auquel cas q = s

el le symbole devient diz=\ 101 j.

Combiné avec p fig. 200 . ce prisme présente des faces en forme de parallélogrammes.

Formes birhomboedriqu.es. — Si l'on joint (lig. 201 un sommet ternaire A du rhomboèdre aux milieux M et M' de deux arêtes d consécutives, on obtient une face triangulaire isocèle A M M . appartenant à un rhomboèdre inverse, de notation

r avec la condition -=2><- OU r = 2S, puisque

EM = EM' = - EA. C'est donc <4.

Or les faces A MM' de ee rhomboèdre, combinées les portions restantes AMM des laces//, engendrent une pyramide hexagonale isocéloédrique, ayant pour base un hexagone régulier, dont les côtés

SYSTEME RHOMBOEDRIQUE. UIUHOMBOÈDRES

sont parallèles aux diagonales horizontales des rhombes, c'est-à-dire aux axes lunaires. Les Formes p et e\, dont la réunion donne ainsi une pyramide régulière, sont dites birhomboédriques. La forme qui résulte de leur association est un birhomboèdre, et si ses faces paraissent géométrique menl égales, au point de donner lieu à un pseudo-isocéloèdre, on s'aperçoit, en général, de leur différence intrinsèque, soit parce que les trois faces de p dominent, sur un pointeinent, relativement aux trois faces de ej, soit parce que la série des faces p possède des propriétés physiques différentes de celles des faces e-?,.

D'ailleurs la ligne AM, intersection mutuelle d'une face/) et d'une face e|, est contenue dans le plan qui passe par Taxe ternaire et par l'axe binaire aboutissant en M. On peut donc la regarder comme l'intersection de la lace y; avec le plan mené par l'axe ternaire et l'une des deux traces <>./'. Os', les plus voisines de p. Donc il est permis de dire que la lace e4 = AMM', qui contient celte ligne AM, fait partie de la /one comprenant la face p et le plan Oz' . Donc le cercle passant par p et par le point e2 = y, pôle de Os', coupera en e\ la trace Oz fig. 196). C'est ce même cercle pe\ adjacent qui vient couper en d- le lieu py' des scalénoèdres métastatiques.

Les faces birhomboédriques, tangentes à la même sphère et devant couper Taxe ternaire au même point, doivent avoir leurs pôles à la même hauteur au-dessus du plan des axes binaires. Par conséquent, sur une perspective stéréographique, les points/; et e\ se trouvent sur un même cercle, décrit de O comme centre. De plus, les faces p et e\ étant parallèles aux axes binaires, lesquels sont tous contenus en direction dans les faces du prisme e2, la combinaison pe-e\ donne un prisme hexagonal, coiffé par deux pyramides régulières et dit prisme bipyramidé lîg. '202).

Isocéloèdres. Faces rhombes. — Remarquons maintenant (pie les faces adjacentes d'une forme birhomboédrique, ayant leurs pôles sur deux plans de symétrie consécutifs, ne peuvent venir se couper que sur les plans bissecteurs des angles de ces derniers. Leurs intersections mutuelles sont donc situées sur les plans passant par l'axe ternaire et les axes binaires, lesquels plans contiennent les pôles des isocéloèdres. Ainsi tout isocéloèdre est symétriquement placé sur l'intersection de deux faces birhomboédriques adjacentes, de

telle sorte que, sur une combinaison de p, e\ et e-, il dessinerait un quadrilatère symétrique.

Supposons qu'un isocéloèdre symétrique sur l'arête projetée en A fiig. ao3) soit en outre astreint à faire partie de la zone qui comprend la face SAB de p et la face, projetée en AF, du prisme e2. L'intersection de SAB avec la face

Fig. 202.

verticale AF est parallèle à celle de SAB avec le plan vertical, parallèle à AF, et qui passe par l'arête SB; en d'autres termes, la zone formée de SAB et de AF a SB pour axe. L'isocéloèdre satisfaisant à cette condition coupera donc SAB suivant Gl parallèle à SB et la tare AF suivant AU parallèle à Gl. Le quadrilatère AAG1 sera donc un parallélogramme à côtés égaux, c'est-à-dire un rhombe. Aussi la lace de cette forme, quand elle se rencontre à l'état de troncature sur l'ensemble p, c\. c-, porte-t-elle le nom de face rliombe.

FORMES MÉRIÉDRIQUES

Polyèdres holoaxes hémisymétriques. — Le symbole est