IV. P,P

q r s qrs

qrs qrs

q rs qrs

q rs qrs

L'axe vertical a été mis en évidence sous le signe A, et le plan perpendiculaire sous le signe II, à cause du plan de projection choisi; mais il est clair que

rien ne distingue A et que L ou L' eussent pu, au même titre, être choisis pour présider à la première colonne.

Octaèdre rhombique. — A chaque face qrs) correspond une face [qrs), symétrique de la première relativement à un plan de symétrie, ici le plan xz. Ces 'letix faces coupant l'axe Os au même point, il en résulte que la forme oblique se compose de deux pyramides quadrangulaires, symétriques relativement au plan xyt sur lequel elles se raccordent suivant un rhomhe ou losange RQR'Q'. Le polyèdre ainsi formé est un octaèdre rhombique (fig. 212) et la base rhombe a ses diagonales parallèles aux axes binaires O.c et Oy, tandis cjue la hauteur de l'octaèdre est dirigée suivant le troisième axe Oz.

Comme d'ailleurs les trois plans de symétrie et les trois axes ont la même valeur, ne différant les uns des autres que par les paramètres, on peut prendre comme plans de projections soit xz, soit yz, et toujours la forme sera un octaèdre rhombique, ayant, dans le second cas, sa base rhombe dans jcz et sa hauteur suivant Oy et, dans le troisième, sa base suivant yz et sa hauteur suivant Ox.

On remarquera que les deux faces SAB, S'AB de l'octaèdre rhombique, se rencontrant suivant AB, et les deux faces SDC, S'DC, se rencontrant suivant DC, forment, par leur ensemble, un prisme parallèle à AB, dont la section droite sérail le plan mené par SS' normalement à AB. De même, les quatre autres faces formeraient un prisme, ayant ses arêtes parallèles à AI) = BC. Ainsi l'octaèdre rhombique résulte de la pénétration mutuelle de deux prismes rhombiques, c'est-à-dire que ses huit faces sont réparties entre deux zones, ayant pour arêtes, l'une AB, l'autre BC. Mais on pourrait tout aussi légitimement les grouper autour des arêtes SA, SC, ou bien SB, SD, et dire, par exemple, que l'octaèdre est formé par la pénétration de deux prismes,

l'un, SAB, SBC, S AD, S'DC; l'autre, SAD, SDC, S BC. S'AB.

Protopyramides, Macropyramides, Brachypyramides. — Il reste maintenant a déterminer la valeur de- trois paramètres. Cette détermination dépend évidemment de l'arbitraire du cristallographe. <>n choisit celle des pyramides qui es! la plus fréquente dans les cristaux de la substance et on la considère comme déterminant la forme primitive du système, de telle sorte que, pour la fa<> QRS, on .1 OQ = a, OR = b, OS = c, a, b, c étant les trois paramètres. De cette façon, j = r = *= 1 elle symbole de cette forme, dite Protopyramide fondamentale, est j 1 1 1 '(.

Cela posé, ayant pris pour axe vertical la direction qui prédomine en général

SYSTEME MIOMlilQUE. PYRAMIDES, PRISMES

parmi les formes prismatiques de la substance, on oriente la protopyramide fondamentale de telle sorte que le plan vertical du laMeau passe par celle des diagonales de la base rboinbe ab qui a le plus grand paramètre. < bi donne à cette dernière le nom de macrodiagonale et l'on en fait l'axe des ./-, tandis que l'axe des y est formé par la brachydiagonale (1).

Cette orientation une lois adoptée, toutes les pyramides pour lesquelles, .s étant quelconque, q = /•. de sorte que leur symbole est } rrs [.

coupent le plan des xy suivant un losange semblable au losange fondamental.

Elles ne diffèrent de la pyramide primitive que parce qu'elles sont plus ou moins surbaissées et on les groupe sous le nom de protopyramides.

Soit RQR'Q' (iig. 21 3) le losange fondamental. Toute pyramide J qrs j, pour

laquelle on a - > - ou q < r, coupera le plan xy suivant un rhombe R^^R'jQ',,

allongé dans le sens de la macrodiagonale. On lui donnera, pour cette raison, le nom de macropyramide. De ce nombre seront, par exemple, les formes | i2i \, J i3i j, î riîj, | a3 1 J, etc. Au contraire, si l'on a q > r, la base rbombe RjQjR'ïQ'j sera allongée dans le sens de la brachydiagonale et donnera lieu à une brachy pyramide, telle que \ 3n J, ) i±\ j, j 211 j, \ j i i j, etc.

Formes parallèles. Prismes et dômes.

i° Formes parallèles à l'a.i e vertical :

Les formes correspondantes sont la limite des pyramides } qrs j, lorsque, la rencontre avec Taxe vertical s'éloignant de plus en plus de l'origine, s tend vers zéro. A ce moment, la pyramide inférieure et la pyramide supérieure se confondent en une seule, dont toutes les faces sont directement semblables, et forment un prisme \ qro j, ayant pour section droite le rhombe qr de la figure 211. Ce prisme est dit orthorhombique. Les prismes pour lesquels on a q < /•, et qui sont la limite des macropyramides, sont des macroprismes. Les brachy prismes correspondent à q y r. Enfin, si q :=zr==i, on a le protoprisme ) 1 10 {, limite des protopyramides.

20 Formes parallèles à l'arc Ox :

(1) C est ce qu'a fait Miller. Naumann a procédé de façon inverse. Les notations correspondant à cette seconde manière de faire sont indiquées dans les tableaux qui terminent cet ouvrage.

Rien d'essentiel ne distinguant les trois axes binaires, toute forme parallèle à 1 un quelconque d'entre eux est prismatique comme celle qui vient d'être définie. Cependant on convient d'attribuer le nom de dûmes aux prismes dont les arêtes sont parallèles au plan horizontal xy.

Cela posé, la forme parallèle à l'axe Or, et dont le symbole est évidemment - snte un dôme allonge suivant la macrodiagonale, c'est-à-dire un macrodôme. Celui des macrodômes pour lequel r = i=i est le protomacro* dôme ) <>i i |.

3° Formes parallèles h l aie Oy :

De même, les dômes ]q*>s[. allongés suivant la brachy diagonale, deviennent ichy dômes t et la forme ; ioi \ est le protobrachydôme.

Formes normales. — Les formes respectivement normales aux trois axes sont de même essence, se réduisant à deux faces parallèles, qui servent à limiter les prismes ou les dômes ayant pour arête l'axe auquel la forme est normale. Cependant on réserve le nom de bases aux deux faces de la forme ) mu ;. normale à l'axe vertical, tandis que la qualification de pinacoïdes est appliquée aux deux autres formes normales. Celle qui est normale à Oy, et qui, par conséquent, est allongée suivant 0.r, est le macro pinacoïde } oio }.

L'autre est le brachy pinacoïde \ ioo{.

Chacune de ces formes est la limite vers laquelle tendent respectivement, d'un côté les macroprismes, de l'autre les brachyprismes, lorsque deux faces adjacentes en viennent à se confondre.

FORMES COMPOSÉES. PERSPECTIVE ST É R ÉO G R A P H I QU E . FORMES MÈRIÉDRIQUES

Forme primitive de Lévy. — Dans le système de notation de Lévy. la forme primitive du système terbinaire est le protoprisme orthorhombique J i io J, c'est-à-dire le prisme qui a pour hase le rhombe construit sur les paramètres des deux axes binaires horizontaux. La hase de ce prisme (fig. ■-> i i , qui n'est autre que sa section droite rhombique, est notée p. Les faces verticales, identiques entre elles comme également inclinées sur les plans de symétrie, sont des faces m. Il y a deux catégories d'angles : les angles obtus a et les angles aigus e. Les arêtes de la base, (■gale- entre elles eoiinne sv iin'l riques relativement aux - binaires, Boni Dotées b, les axes binaires hori- ,\ étant r. présentés par les diagonales du rhombe. Enfin il y a deux ries d'arêtes verticales : les arêtes a- des angles dièdres aigus et les

SYSTEME 1UI0MBIQI "K. TRONCATURES

arêtes // des angles ol)tus, les unes el les autres étanf parallèles à l'axe binaire vertical et possédant par conséquent le même paramètre, bien qu'elles n'aient pas la même valeur cristallographique ; car elles ne peuvent être substituées les unes aux autres en vertu de la symétrie du polyèdre parallélépipédique.

Toute modification de la forme primitive doit s'obtenir par troncature des angles ou des arêtes. La face déterminante sera définie, dans le cas le plus général

(fig. ai5), parles longueurs 0Q = — ,. a', OR = ->. a ,

qu'elle intercepte sur deux arêtes horizontales b, de

même paramètre a . et par la longueur 0S=— ,. c' .

Fig. ai5.

interceptée sur l'arête verticale g- ou //. de paramètre c'. La notation de la troncature devra doue se déduire du symbole \q'r's [, rapporté à trois axes, dont l'un est l'axe vertical de la notation de Miller de telle sorte que c' =zc , tandis que les deux autres, non rectangulaires entre eux, sont les diagonales du rectangle ab et ont, pour valeur paramétrique, a' = \ a- -{- b~. Dans ce cas, nous connaissons les relations qui unissent les caractéristiques q . r' , s' à '/. r. >'. et qui sont :

q' = ç-f-r r' = — ij -\- r s' = s.

Ce point établi, passons en revue les diverses espèces de modifications.

Modifications sur les angles. — Chaque angle est remplacé par deux facettes, puisque les deux arêtes b concourantes sont de même valeur et doivent être modiliées de la même façon. S'il s'agit d'un angle a, les longueurs interceptées étant proportion-

nelles, sur les arêtes b, à — et —, sur l'arête //, à — , la

forme doit être notée :

i i i ! b* b? Ir '.

II est facile de voir (tig. -nG) qu'elle doit se composer de huit faces, quatre à quatre concourantes, et donner pi» 21,;

lieu à une pyramide allongée suivant la macrodiagonale

ou macropyramide. En exprimant qf, /•', s' en fonction de </, r, s, le symbole devient

correspondant à ; t/rs j avec «y < r.

Sur les angles e, la modification, de même (orme générale, prendrait le symbole

} br bi' o> j = | hq -r In + T o - J;

correspondant à ; qrs [ avec- </ > r. Ce serait une brachypyramidè (fig\ 217). } 2'ii { = fr1 £i //' et ) i3i î = 6î £{ /'l son! des macropyramides , tandis que J 3 1 1 ; = bk b$g* et ; ïi'\ \ = bl b{ g*s sont des brachypyramides.

Quand on a r — q =z s, comme dans ; 1 3a { = l>\ b\ //j, la macropyramtdc correspondante s'écril a „ dans ce cas, ar

De même une brachypyramidè avec q — r = s, comme ; 3ia |, s'écrit et, par

exemple er

Fi,. 217.

Fig. 219.

Si l'on a q' = r', la modification, sur les angles a comme sur les angles e, ne se compose que d'une seule facette symétrique et conduit à un prisme indélini horizontal ou dôme. Les dômes des angles o, ou macrodômes (lig. 218), correspondent à la fuis à ) /■' r' s' ( et à J ors ' et doivent avoir pour symbole

; b" brl h" \

ou, par abréviation, a •'. Mais s' =z s et r' = — q -}- r = r, puisque, dans celle

hypothèse, q = o. Donc le symbole des macrodômes est a'' et le prolomacro- | 011 ; a pour symbole a*.

Les dômes des angles e ou brachydômes (lig. 21g) correspondront à ) q' q1 s' { ou J 70s j. Leur symbole sera

l .L 1 i * b'i' bu' g? = e>r = eu,

:>■ q' =n q -f- r = q -b o = q. Ainsi le protobrachvdôin • ; 101 'sera notée1.

Modifications sur les arêtes. — Une modiGcation sur les arêtes b se fait

par une facette parallèle à chaque arête b et, par conséquent interceptant des

longueurs 9 sur les deux autres arêtes b, parallèles entre elles, qui abou-

1 à la première. Soit . le coefficient de ces longueurs ; le symbole, répon

dant à ) m j, sera &», et comme('=«, q' =zq-t-r^2,rf r étant, dans ce cas,

égal à 7. la Dotation deviendra //-■ ou I/-1'.

oit d'ailleurs que la fornifl est une protopyramide li^-. 220 . La protopyramide fondamentale J 1 1 1 ; prend pour symbole b\.

SYSTÈME KHOMBIQIE. TRONCATURES, ZONES

Deux arêtes b venant aboutir sur un angle a au même point qu une arête A, une facette parallèle à // et interceptant, sur les arêtes horizontales, des longueurs proportionnelles à — , et - . doil se répéter deux fois.

L'arête h est donc remplacée par un biseau qui, réuni au biseau opposé, donne un macroprisme lig. -in) (le notation

De même une modification parallèle aux arêtes t; donne

un bracliyprismc (lig. 222) noté <;> =g'i r'

Enfin il est aisé de voir que le macropinacoïde lig. 223), qui est la limite du macroprisme, quand q' = r'1 doit être noté A1, tandis que le brachypinacolde (fig. 224) doit avoir pour notation g1.

Fig. 23

Pig. 222.

On remarquera que, dans ce système de notation, les trois plans de symétrie correspondent respectivement à p, A1 et g-1.

Perspective stéréographique. Relations de zones. — Pour représenter le système terbinaire en perspective stéréographique, on choisit (fig. 2-25) pour plan fondamental le plan de la base rhombe, dont la normale se projette au centre p. Alors les pôles des faces du protoprisme viennent en m, m, m, m, sur la circonférence du cercle de perspective, où leur position se détermine par la connaissance de l'angle m\m. Les pôles A1 du macropinacoïde viennent au milieu des plus petits arcs mm et les pelles g1 au milieu des plus grands.

Les arêtes b étant les intersections des faces m avec la base p, sont les

arêtes des zones mp. Par conséquent, toutes les protopyramides doivent avoir leurs pôles sur les deux lignes mp. Ceux des macropyramides tombent dans

g - leurs mpm <[ut ont pour bissectrice h1, tandis que les brachypyramides s'échelonnent sur les arcs mgim.

Les macrodômes auront évidemment leurs pôles sur phl, les brachydômes sur pg1. Le- pôles des macroprismes tomberont sur le cercle entre un point m et le pôle h* le plus voisin, tandis que ceux des brachyprismes s'échelonneront entre m et g1.

L'une des protopyramides ayant été choisie pour déterminer la forme fondamentale ; lit ;. qui définit les trois longueurs d'axes, la mesure de l'angle des lu- pyramide avec p ou avec m permet de placer le pôle b\. Alors le cercle g* b- rencontrera ph* en a1, pôle du protomacrodôme. Cela fait, il suffira de tracer le cercle allant de a1 au pôle m le plus voisin pour rencontrer pm en bl et pg* en e1, pôle du protobrachydôme. Puis le cercle b1 g1 donnera a1, et le cercle ma* donnera b- et e-, tandis que mb\ donnerait e~ et a\. Toutes ces relations seraient faciles à justifier à l'aide de la formule des zones. Quant à une

démonstration directe, nous nous bornerons à .^T\^^ faire voir que a1 doit être en zone avec deux faces

L ^"~--^ A adjacentes de b\ et avec les faces du brachypina- ^"~\^ ^^ coïde g1.

S^>1^~ Soit SABCD (lig. 226) la projection de la pro-

topvramide fondamentale \ 11 1 ( = £4 sur le plan Fip. 1 l- , , ,

de sa base rhombe. Pour qu un macrodôme, parallèle a la diagonale AC, intercepte sur l'axe vertical et sur SB les mêmes longueurs que SABCD, il faut qu'il soit tangent à l'arête projetée en SB, c'est-àdire parallèle à 1 intersection mutuelle de deux faces b\- Mais cette intersection est aussi celle des deux faces b\ avec le plan vertical DB, lequel n'est autre que le plan de symétrie parallèle au brachypinacoïde. Donc ce dernier forme zone avec deux laces de b\, adjacentes à un angle a, et avec la face intermédiaire du protomacrodôme.

Relations angulaires. Rapport d'axes. — En appliquant à la figure 11 > les règles de la trigonométrie sphérique, on trouvera facilement les relations ingulaires qui unissent les pôles des formes fondamentales. Ainsi, dans le triangle rectilatère pb{ //', on a

cos b\ //' =sin pb±. cos mhl ;

de même, le triangle pb\ g4 donne

cos br, A'1 = tin pb\. cos mg* .

< >n aurait de même

cos ma ' = sin pn * . cos m/i ' .

Bien entendu, les angles dont il est ici question ne sont pas ceux des faces . orres pondantes, maie ceux des normale* h ces faces.

SYSTEME RIIOMBIQUE. FORMES MKRIKURIQUES

Appelons a, b, c les paramètres des trois axes, a s'appliquanl à labrachy-

diagonale, b à la macrodiagonale et c à l'axe vertical. On a l'habitude de prendre /> pour unité, auquel cas le rapport devienl a ; \ : c. Pour fixer ce rapport, on choisit arbitrairement une protopyramide, à laquelle on donne le symbole b\ = ) iii \. On mesure l'angle obtus de la lace b\ avec la base/? et, si Ton prend le supplémenl aigu tic cel angle, en le désignant par /?&!-, il esl aisé de voir qu'on a :

tg pbj. cos m » := c, tg pb ! . s in m^[ = - .

Mais ici mg* est la moitié de l'angle obtus mm (i).

D'ailleurs, en assignant à mg* la même valeur, il est évident qu'on a :

Formes mériédriques.

a = cot mg1.

i" Polyèdres holoa.res hémisymétriques.

ibi-

La forme oblique )'jrs[, perdant la moitié de ses faces, se transforme en une pyramide à quatre faces non parallèles, ayant la forme d'un tétraèdre irrégulier ou sphénoïde. Aucune autre forme n'est affectée par ce genre de mériédrie, réalisé dans le sulfate de magnésie (fig. 227), où deux faces b1 forment, au-dessus du prisme m, une sorte d'hémidôme, tandis qu'au-dessous deux autres faces b1 constituent un hémidôme inverse du premier.

i" Polyèdres hémiaxes.

11 faut que deux des axes binaires disparaissent, sans quoi l'axe horizontal conservé, réuni à l'autre, entraînerait l'existence du troisième. D'ailleurs il ne peut pas v avoir de centre, car la présence du centre, combinée avec celle des plans, restituerait

tous les axes, à moins de retomber, par le symbole A2, C, II, dans le cas de la symétrie simplement lunaire. Enfin on ne peut pas garder les trois plans ensemble, car l'un d'eux, normal à l'axe conservé, restituerait le centre. Le seul symbole possible est donc A2, P, P'.

Cette réduction ne saurait affecter les formes parallèles à l'axe conservé, lesquelles, étant normales au plan supprimé, ne souffrent pas de sa suppression.

Toutes les autres formes sont affectées et, comme il est aisé de le voir, donnent lieu à des cristaux hémimorphes, puisque, à supposer, par exemple,

(1) Ces formules diffèrent à quelques égards de celles qu'on trouvera dans le Traite d>: Mallard. Cela tient à ce que les formules du Traité s'appliquent aux réseaux polaires et ne font intervenir que les suppléments des angles des faces.

A.2 vertical, il n'y a pas d'éléments horizontaux de symétrie, relativement auxquels un pointement puisse être répété.

as est réalisé dans la topaze et surtout dans la calamine. Le plus souvent cette substance se présente en cristaux prismatiques très allongés suivant -', et offrant, d'un côté la base p, de l'autre la moitié de la brachypyramide eM fig. aa8