H (90 - 4HT
On devra donc comparer l’épaisseur donnée par cette formule à l’épaisseur à la base du bajoyerdu sas et, si cette dernière est la plus faible, on n’obtiendrait pas une résistance suffisante en se contentant d’élever le mur d’enclave avec des parements verticaux sur une longueur de base égale à celle du bajoyer du sas ; on devra dans ce cas élargir cette base au droit de l’enclave et alors il paraît rationnel de conserver au mur d’enclave la forme générale du bajoyer, c’est-à-dire de donner un fruit à son parement caché. Ce n’est donc plus alors la
formule a = h'^/ qu’il faudrait appliquer; mais la formule calculée précé¬
demment :
w 6ali - 135a + V— 135ti* + 3600h2 + 150a% — ^375a2 X ~ 120 - 4,5h
dans laquelle a représente l’épaisseur au sommet, épaisseur que l’on choisira assez grande pour bien sceller les tirants des colliers et autant que possible de manière à former sur le couronnement, la continuation de l’alignement extérieur du mur de fuite dont le mode de calcul va être indiqué ci-après.
L’épaisseur -du mur à sa base est égale àx-f a.
Quant à la hauteur h, elle représente dans la formule précédente la hauteur de l’eau au dessus du radier, mais j’ai déjà dit que, dans l’application, il convient de lui donner pour valeur la hauteur H du mur.
En aval de l’enclave, le bajoyer prend le nom de mur de fuite; il comprend encore une ou deux coulisses pour poutrelles, son parement vu est nécessairement vertical ; son parement caché est aussi généralement vertical pour diminuer la surface des fondations ; sa longueur et sa largeur doivent être déterminées de manière à résister à la poussée des portes.
M. Mary rapporte dans son Cours de Navigation (année 1867, page 84) qu’il a eu occasion de voir trois écluses dans lesquelles les murs de fuite étaient séparés des murs d’enclave par une lézarde. Quand on emplissait le sas, la lézarde s’ouvrait et les murs de fuite s’inclinaient du haut vers l’aval ; puis ils revenaient en place quand on vidait le sas.
Ce retour en place est un accident heureux sur lequel on ne doit pas compter. On doit calculer d’une manière méthodique les dimensions du mur, de telle sorte qu’il ne puisse faire aucun mouvement, et que ses matériaux ne soient pas soumis à une pression supérieure à celle qu’ils peuvent porter.
Parmi les auteurs que j’ai pu consulter, Gauthey est le seul ou j’ai trouvé quelques
Mur de fuite de la tête d’aval.
indications sur ce calcul (Canaux de navigation , p. 64). Mais sa méthode me parait défectueuse : il ne tient pas compte de la composante transversale de la poussée des portes, il établit dans la maçonnerie une division arbitraire pour limiter le massif qui doit résister à la poussée ; enfin il se borne à calculer le massif qui doit résister à la composante longitudinale de telle sorte que son moment soit égal à celui d’un mur à plomb ayant une épaisseur égale à la moitié de la hauteur de l’eau et une longueur égale à la moitié de la largeur de l’écluse. La stabilité, dans le sens longitudinal, est ainsi assurée; mais la pression supportée par centimètre carré de maçonnerie est inconnue et la stabilité dans le sens transversal est négligée, il suppose probablement que la butée des terres suffit pour l’assurer.
J’ai essayé de trouver une solution plus satisfaisante.
Pour simplifier le calcul, je suppose que l’enclave est de forme rectangulaire en plan au lieu de présenter un chardonnet arrondi suivant la courbure définie précédemment ; je suppose en outre que la ligne mn parallèle au buse bb' représente la face d’amont d’un vantail et pénètre jusqu’au fond m de l’enclave. (PI. 1, fig. 9.)
Enfin je considère le cas le plus défavorable pour la stabilité des bajoyers, c’est-à-dire celui où les deux vantaux buttent l’un contre l’autre et ne prennent aucun point d’appui contre le buse du radier.
Quand le sas est plein un vantail de la tête d’aval se trouve soumis à trois forces, savoir : «
La pression Q qu’exerce l’eau sur la face d’amont m n,
La réaction N du vantail opposé, réaction qui est normale aux deux surfaces d’appui des poteaux busqués et par conséquent normale à l’axe de l’écluse,
La réaction Pi du bajoyer.
Ces trois forces sont situées dans un même plan horizontal ; elles se font équilibre. Par conséquent la somme de leurs moments, par rapport à un point quelconque de ce plan est nulle ; et en les transportant parallèlement à elles-mêmes à ce point, la résultante de deux d’entre elles est égale et opposée à la troisième.
Il est donc facile de déterminer l’intensité et la direction de la poussée R, produite sur le bajoyer.
Je désigne par :
1 la demi-largeur de l’écluse entre les murs de fuite de la tète d’aval,
e la profondeur de l’enclave,
a l’angle du buse avec une perpendiculaire à l’axe de l’écluse.
En égalant à zéro la somme des moments pris par rapport à l’angle m de l’enclave, on a:
où
N x (1 + e) tang a = Q x y ;
2 sin a
En construisant le parallélogramme des forces N et Q au point m, on a :
R* = Q* y N2 — 2QN sin a.
2 sin a
El en remplaçant N par sa valeur — ^ — cette équation devient après réduction :
2 sin «
Ainsi les réactions R et N ont une même intensité exprimée par :
2 sin «
On en conclut que la ligne mn prolongée, doit être bissectrice de l’angle qmR; ou en d’autres termes, que la poussée R du vantail contre le bajoyer fait avec la normale à l’axe de l’écluse un angle 2a, double de celui du buse.
Pour évaluer la pression Q je négligerai la pression de l’eau d’aval, pression qui a cependant de l’importance, mais qui peut être réellement nulle comme dans un port à marée, ou comme dans une écluse dont la tête d’amont a un mur de chute plus haut que le mouillage d’aval.
Je désigne par h la hauteur de l’eau d’amont au dessus du bas du vantail.
La pression Q exercée contre la face m n du vantail a pour expression :
d’où
2 ^ cos «
2 sin « 2x2 sin a cos a
sin 2a
La poussée R faisant un angle aigu égal à 90° — 2a avec l’axe de l’écluse, on serait peutêtre tenté de tracer les parements du mur de fuite normalement et parallèlement à la direction de R, mais l’existence de coulisses pour bâtardeaux en aval des portes, puis celle du mur en retour qui relie à la rive, ne s’accordent pas bien avec cette forme, et l’usage est de conserver au mur de fuite des faces parallèles ou normales à l’axe de l’écluse, il faut donc décomposer la poussée R, suivant ces deux directions.
La composante transversale a pour expression :
R cos 2a —
1 + e __ tang 2a
La composante longitudinale a pour expression :
R sin 2a =— (l + e) = F'.
J’observe en passant que la valeur minimum de la poussée R est donnée par 2 a = 90° Angle du buse, ou a = 45°.
Dans ce cas la composante transversale F est nulle, mais alors chaque vantail a une trop grande longueur.
Quand 2a = 45° ou a = 22°30', la composante transversale F de la poussée est égale à la composante longitudinale F'.
Calcul
du mur de fuite.
Pour les valeurs de a comprises enlre zéro et 22°30', F' est plus petit que F, tandis que pour des valeurs de a comprises entre 22°30' et 45°, F est plus petit que F'.
Sur la Haute-Seine on a admis tang a= = 0,25 d’où a = 1 4° 2' 10".
Sur la Marne on a admis tang a — 0,38461 54 d’où a = 21° 2' 1 5".
Bélidor avait admis tang a = 0,20 ; mais Gauthey trouve cette valeur trop faible, il dit que sur 26 exemples qu’il a recueillis, la valeur la plus commune de tang a est 0,33 et que la valeur moyenne entre toutes est 0 m. 25 c. ( Mémoire sur les canaux cle navigation, page 70.)
Pour calculer les dimensions du mur de fuite ABCD (fig, 9, pl. 1), je négligerai la cohésion qui s’exerce suivant la section mq à la jonction de ce mur avec le mur de l’enclave, je négligerai également la cohésion au droit de la section rs à la jonction du mur en retour et l’effort que peut supporter ce dernier mur; enfin je ne tiendrai pas compte de la poussée des terres s’il s’agit du bajoyer de rive. G’est-à-dire que Je calcul s’applique au mur de fuite du côté du large plutôt qu’à celui du côté de la rive. Ce dernier est moins chargé.
La question se trouve donc réduite à déterminer la largeur x et la longueur y du massif rectangulaire ABGD ayant une hauteur connue H au dessus du radier en aval du buse et
• Il
poussé par deux forces agissant à une hauteur -y au dessus du bas de la porte; l’une de ces
forces que je représente par F est dirigée perpendiculairement à la longueur y et a pour valeur :
1 + e iang2«
L’autre force est dirigée perpendiculairement à la largeur x et a pour expression :
La force F peut être remplacée par une autre égale et parallèle, agissant à la même hauteur et passant par l’axe vertical du parallélipipède que forme le bajoyer, il en est de
même de la force FC Cette substitution fait naître deux couples dont la différence — - -
tend à faire tourner le bajoyer sur sa base autour de son axe vertical et dont il paraît inutile de s’occuper.
Le massif ABCD (fig. 9, pl. 1), dont il s’agit de déterminer la longueur y et l’épaisseur x, a pour poids en tonnes :
P = 2xyli.
Si on prend les moments des forces P et F par rapport à l’arête longitudinale BC de la
base, et si on représente par u la distance mesurée sur la base, à laquelle la résistance de ces deux forces passe de l’arête BG, on aura :
P X 2 F X— 3px 2ph
ep
J’observe ici que le bras de levier -jj- de la force F ne se compte qu’au dessus du niveau
du buse, tandis que la porte descend un peu au dessous de ce niveau, de sorte que h ne représente pas ici tout-à-fait la hauteur immergée de la porte, mais la différence est peu importante et je la néglige.
Supposant que u < -— , et il est facile de prouver qu’il en sera ainsi tant qu’on aura 4 H <w,
la pression par mètre carré exprimée en tonnes dans lê voisinage de l’arête BC a pour expression ;
- 2 P __ 8H*x*y 3 " uy 3Hx2v — Fh
De même en considérant les moments des forces F' et P autour de l’arête DC on aura :
8H2y*x W — 3Hy2x - F'h ’
Ces deux équations donnent x et y en fonction de H, h, F, F' et w, on trouve :
oF*h
F/H(3w - 8H) ôîF'2h
FH(3o - 8H)
et remplaçant F et F' par leurs valeurs, il vient :
2H(3ü> - 8H) tang2 2«
v» us C3(l -f- e) tang 2X } ^ 2H(3ôj - 8H) •
On voit sur ces formules que x et y sont proportionnels à h, que — = tang 2a —
comme on devait s’y attendre, de sorte que quand a est plus petit que 22° 30' la longueur y doit être moindre que l’épaisseur x.
En appliquant ces formules à des écluses déjà construites et en supposant w = 60T, on reconnaît qu’elles donnent des dimensions notablement plus faibles que celles admises en exécution, et c’est sur la longueur y du mur de fuite que la différence est la plus prononcée.
Ainsi, aux écluses de la Marne, on a : h = 4 m. 5, 1 = 3 m. 90, e= 0,60, tang 2 a = 0,9
et H = 3,80, introduisant ces chiffres dans les formules précédentes, on trouve : x = 2,7 1 et
y = 2,44, tandis qu’en exécution on a adopté : x = 3 m. 70 c. et y = 4 m. 30 c.
Et cependant on se souvient que j’ai admis les hypothèses les plus défavorables : j’ai
négligé la cohésion à la jonction du bajoyer avec le mur d’enclave à l’amont et avec le mur
en retour à Pavai, j’ai négligé la résistance du mur en retour, j’ai supposé nulle la pression
d’aval, je n’ai pas tenu compte de la butée des terres pour le mur de rive ou du relèvement
du radier de la passe pour le mur du large, enfin j’ai supposé que les portes ne prennent
pas d’appui sur le buse, m.
Il faut donc en conclure que, dans la pratique, les constructeurs donnent au mur de fuite en largeur et surtout en longueur, un notable excès de résistance, si on admet w = 60T. C’est du reste ce que je constaterai encore tout à l’heure.
Si on veut trouver une formule se rapprochant des dimensions habituelles, le mieux me semble de calculer les valeurs de x et de y qui donnent l’égalité des moments autour des deux arêtes de la hase du mur de fuite, et ensuite de multiplier ces valeurs par des coefficients empiriques.
L’équilibre des forces P et F autour de l’arête longitudinale donne l’équation :
Px __ Fh 2 3 ’
l’équilibre de P et de F' autour de l’arête transversale donne :
Py __ F'h 2 ~~ 3 '
Remplaçant P par sa valeur 2xyH on tire de ces deux équations :
Or si on multiplie la première de ces valeurs par le coefficient 1 ,5, et la seconde par le coefficient 2, on a des expressions qui s’accordent bien avec les dimensions admises dans la pratique.
On pourrait donc adopter les formules empiriques :
ou en remplaçant F par-^- x et F' Par -tt x (1 + e
6H tang2 2a
et
(l + e) tang 2« 6H
En appliquant ces formules aux données numériques des écluses de la Marne telles que je viens de les rappeler, on trouve :
x — 3 m. 60 et y = 4 m. 40
Valeurs à peu près identiques à celles admises en exécution.
Il est nécessaire maintenant de se rendre compte de la charge qui sera la conséquence des formules empiriques que je viens de donner. Le calcul peut être fait en conservant leur caractère général et il conduit à des résultats très-simples.
Je désigne comme précédemment par u,, la largeur de base qui sépare de l’arête longitudinale BG la résultante transversale et par W, la pression par mètre carré, en tonnes, le long de cette arête BC.
Je désigne également par u2 et w2 les éléments analogues relatifs à la résultante longitudinale et à l’arête d’aval DC,
on a :
x Fh
Ul=T Hp~
On sait d’ailleurs que P — 2xyH et
3FÏT
d’où P = 2 y 3FF'Hh2, substituant cette valeur de P on en déduit
u< =~ — ou u, = 0,3888. ..x
Ainsi l’adoption des formules précédentes aura pour conséquence de faire passer la résultante transversale à une distance de l’arête un peu supérieure au tiers de l’épaisseur x. Il en résulte que la pression sera donnée par la formule :
oL =
xy
remplaçant u, par sa valeur 0,389x et ——par 2H, on a :
b, = 2 (2 — 3 x 0,389) x 2H ou wj ==: 3,33 x H.
On trouvera par un calcul analogue :
Cette valeur de u2 étant supérieure â~ la pression cs2 sera donnée par l’équation :
Substituant u2 = 0,42y et
— = 2H, on trouve :
xy
cô2 = 2,86 x H.
En faisant H = 5 m. 08 c. on trouve s, — 16T,58 soit 1 k. 658 par centimètre carré et ex, = 1 9T, 3 1 , soit 1 k. 931 par centimètre carré, pression inférieure à celle que l’on peut atteindre en exécution.
• J’observe pour mémoire que la fig. 9, pl. 1, n’est qu’une figure de démonstration, et qu’il faut se reporter à d’autres dessins pour trouver les formes exactes des maçonneries. , .
Remarque J’ai admis dans les calculs numériques précédents, que le mètre cube de maçonnerie ,sur , pèse 2,000 kilogrammes et que la pression limite par centimètre carré, peut être fixée à pression limite 6 kilogrammes, soit sur les maçonneries, soit sur le sol de fondation ; mais il sera necesde la maçonnerie, saire de se rendre compte dans chaque cas particulier de la densité et de la résistance à l’écrasement des matériaux employés, aussi bien que du sol sous jacent.
11 est évident que si la maçonnerie est faite avec du basalte, dont la densité est 2,6 et qui ne s’écrase que sous une pression de 595 kilogrammes par centimètre carré, on devra adopter des dimensions différentes de celles nécessaires pour un mur composé de vergelé dont la densité est 1 ,42 et qui s’écrase sous une pression de 24 kilogrammes par centimètre carré.
D’après M. l’ingénieur en chefKrantz, le poids d’un mètre cube de maçonnerie ordinaire en calcaire dur ou en granit est d’environ 2,300 kilogrammes, savoir :
Pour un volume réel de 0 m. c. 67 de moellon à 2,500kg . l,675kg
— de 0 m. c. 33 de mortier à l,900kg . 627
Total . 2,302kg
En réalité le poids de la maçonnerie est très-variable ainsi que l’indique le tableau suivant, extrait de l’ouvrage intitulé : Carnet de l’ingénieur pour 1872.
