CHAPITRE VI

MISE EN PERSPECTIVE DES FIGURES HORIZONTALES; CERCLE; ELLIPSE; COURBES. Mise en perspective d’une courbe

Si l’on veut mettre en perspective une courbe ou une figure horizontale, on

commencera par la simplifier en la ramenant à une série de lignes droites qui for-

meront un polygone, et on mettra ce polygone en perspective d’après les diverses

méthodes qui ont été exposées plus haut.

Il sera en général facile et toujours préférable de choisir des lignes droites tangentes à la courbe de manière à mieux guider le tracé. On devra déterminer sur chaque droite du polygone le point où elle est tangente à la courbe.

S'il s’agit d’une figure complexe, telle qu’une arabesque de parterre à la française (voir fig. 56), on aura intérêt, en général, à choisir une ligne de base de front

telle que EG d’échelle connue et à tracer deux ou trois séries de tangentes de direc-

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F1G. 56. — Pour mettre en perspective des lignes courbes, on se servira, de préférence au craticulage (fig. 39), des points principaux et surtout des tangentes en ces points. Ex. : Rr, S,s, U,u.

tions telles que les points de fuite soient accessibles. ôù pourra y ajouter ‘une série

de tangentes de front.’ RAR ELT ” 8 ù Lok ts à: as tte = L2 RER ue

Pour faire ce tracé on se servira de EG comme d’une sorte de hénee LC pour ramener la figure à dessiner dans le plan du tableau, et alors on la dessinera, en géométral, en tenant compte de son orientation par rapport au tableau.

Puis, toujours en géométral, on dessinera les tangentes des différentes séries. Dans l’exemple figuré à la fig. 56, l’une de ces séries, les lignes Uu,, Rr,, etc, sont perpendiculaires au tableau; et celles Ss, sont inclinées à gauche. AE

On détermine les points de fuite d’après la méthode ordinaire (voir p. 50 et suiv.) : celui des droites du premier système est évidemment le point P et celui du deuxième système est Fi,

Enfin, chacune des droites de chacun des systèmes rencontre la charnière EG en un point u,, r;, s, etc. d’où l’on tracera lés fuyantes en P, F;. Pour tracer les tangentes d’un quatrième système, qui serait de front, on se servira par exemple d’un des côtés limitant le parterre ou de son axe fuyant en F pour déterminer par son point d’égale résection RF ses points d'intersection avec les diverses tangentes de

front. On n’a figuré à la figure 56 que le tracé d’une des courbes pour éviter la confusion.

Très souvent, ce tracé suffira; si l’on veut plus de précision, il faudra déterminer les points de tangence. Le tracé serait fait à titre d'exemple pour un point N du deuxième système. On détermine d’abord (voir ‘p. 63 et suiv.) le point d’égale résection correspondant RF,; (pour les tangentes perpendiculaires au tableau ce serait le point P). On mesure sur le géométral la longueur de la tangente du point N, entre ce point et le point n, correspondant de la charnière EG. On la porte sur cette charnière à partir de n, et on joint à RF;,. On obtient ainsi en n le point E cherché, où la courbe vient au contact de la tangente. |

Le cercle est une des courbes que l’on a le plus souvent à mettre en perspective

et, à ce titre, il mérite une étude spéciale d'autant plus que ses propriétés géométriques mènent à des tracés très simples.

La méthode est toujours la même : circonscrire à la courbe un polygone de droites dont on connaît la direction. Mais la symétrie absolue en tous sens du cercle, lorsqu'il s’agit d’un cercle complet, fait qu’il sera toujours possible de lui circonscrire un polygone situé de la même façon, que ce polygone sera un polygone

: régulier et que le plus simple est de choisir le carré et au cercle dont deux côtés sont de front et les deux autres perpendiculaires au tableau (voir fig. 57), dont

aussi les ue sont égaux au diamètre du une

F1G. 57.— Carré | .

circonscrit à + F1c. 58 à un cercle.

. — Mise en perspective du cercle par le carré circonserit et les quatre points 1, 3, 5, 7.

On remarque immédiatement que le centre du cercle est au point de ren-

contre des deux diagonales du carré et que les points de tangence sont situés sur la

ligne de front et sur la perpendiculaire au tableau passant toutes deux par le centre.

Or, les deux diagonales d’un carré dont deux côtés sont de front font avec le tableau un angle de 45° et fuient par conséquent aux deux points de distance.

= Si donc on connaît le ne O d'un cercle et son rayon r à l'échelle de ce

centre, on arrive tout de suite à la construction donnée par la figure 58 : Par le point O on construit le diamètre de front 1-5, par les deux points 1 et 5 on mène les

; fuyantes en P, qui sont donc des perpendiculaires au tableau et par conséquent æ deux des côtés du carré circonscrit. On trace ensuite par le centre O une des diago-

nales qui fuit en D et donne par intersection les points dd qui sont deux des sommets” du carré. Pour compléter la figure, il suffit dès lors de tracer les côtés de front

de qui achèvent la mise en perspective du carré, puis la fuyante en P passant par O

qui est le diamètre du cercle perpendiculaire au tableau et donne les deux derniers points de tangence 3 et 7.

PO a ainsi quatre De du cercle et les tangentes en ces points. Cela suffira

lorsque la courbe à tracer est de petites dimensions. Dans le cas de courbe plus

Fi. 59. — Cercle (2

TR inscrit Fig. 60. — Mise en perspective du cercle

EU Co

dans deux carrés. par les deux carrés circonscrits et les huit points 1 à

grande, il sera utile d’avoir une plus grande précision. Il sera facile de tracer par

une méthode toute analogue les quatre points sur les diagonales en construisant le a

carré circonscrit dont les côtés font 45° avec le tableau (voir fig. 59).

Pour réaliser facilement cette construction, on tracera d’abord les points ‘a-a au moyen d’un coup de compas de centre o et de rayon oe, et on mènera par les deux points À les fuyantes aux deux points de distance (voir fig. 60) et on obtient en = 2-6 et 4-8 les quatre points situés sur les diagonales et où les fuyantes en D sont tangentes au cercle.

On peut aussi (voir fig. 61), et ce sera surtout intéressant dans le cas de plusieurs cercles concentriques, trouver les points de diagonales en se servant du point d’égale résection des lignes à 45° : Rp. Il suffit de mener par 1 la fuyante en Rp pour avoir les points 3 et 4 par où on doit alors mener la tangente fuyant en D. Ceci économise la petite construction AB, mais fait mener deux fuyantes au lieu d’une.

En définitive, on a ainsi 8 points et leurs tangentes; c’est, la plupart du temps, suffisant.

La courbe obtenue sera donc généralement une ellipse et en tout cas une des trois courbes du second degré : ellipse, parabole ou hyperbole (1).

Fi. 61. — Mise en perspective de cercles horizontaux concentriques.

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1648 Fic. 62. — L’image du cercle est une ellipse (parfois un cercle) si le plan de front de Œ on. % ne rencontre pas le cercle.

L'ensemble des rayons visuels d’un cercle constitue un cône du second degré dont toutes les sections planes sont une courbe du second degré et, entre autres, l'intersection de ce cône visuel et du tableau est une courbe du second degré.

Si le cercle est placé entièrement en avant du plan de front du spectateur, le

tableau ne rencontrera qu’une des deux nappes du cône et en rencontrera toutes les génératrices (voir fig. 62). La courbe d’intersection, qui est l’image du cercle, sera une ellipse ou parfois un cercle. Le petit axe de cette ellipse fuit en un point de l’horizon toujours, sauf le cas de déformation choquante, assez voisin du point P et situé De du même côté du plan visuel vertical principal que le centre; le cercle est tangent

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(1) Je rappelle les définitions géométrique ct algébrique de ces trois courbes, du second degré : ne ss L’ellipse est une courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points — fixes appelés foyers et situés sur son grand axe soit constante.

- Algébriquement, si on rapporte la courbe à deux axes de coordonnées rectangulaires confondus avec ses axes de figure, on a l’équation suivante, où a est le demi grand axe et b le demi petit axe de l’ellipse :

: LE b2x2 + a2y2 — a2b2 = 0, L’ellipse est une courbe fermée que l’on peut tracer d’une façon continue avec des instruments spéciaux. | | La parabole est une courbe telle que les deux distances de chacun de ses points à un point fixe âppelé foyer et à une droite fixe, perpendiculaire à l’axe, appelée directrice, soient égales.

Algébriquement, si on rapporte la courbe à deux axes de coordonnées rectangulaires Pun étant - confondu avec l’axe de figure et l’autre étant tangent au sommet de la courbe et parallèle à la direc-

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