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nappes du cône mais sera parallèle à une des génératrices, celle de front (voir
au plan de front du spectateur, le tableau ne rencontrera encore qu'une des deux
fig. 64) ŒA. | te : ° SLR
trice, on a l'équation suivante, où a est la moitié de la distance du foyer a wa directrice ou, ce qui revient au même, la distance du sommet de la courbe à la directrice ou au foyer :
x LEE on =1J0,
La parabole est une courbe à Ne branches infinies, qui s’éloignent toujours de l’axe en tendant à lui devenir parallèles, mais sans asymptotes. Toutes les paraboles sont semblables entre elles. On pourrait imaginer des instruments permettant de tracer d’une manière continue la parabole. L.
L’hyperbole est une courbe telle que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes appelés foyers et situés sur l’axe passant par les deux sommets soit constante.
Algébriquement, si on rapporte la courbe à deux axes de coordonnées rectangulaires confondus avec ses deux axes de figure on a l'équation suivante,’où a est la moitié de la distance des deux sommets c et m le rapport de la distance des foyers à a des sommets : ES,
e= (m1) jf + (ba 0; ‘ | | Je.
L’hyperbole est une courbe à quatre branches infinies qui s’éloignent toujours de CE des deux sommets et se rapprochent de deux lignes obliques passant par la rencontre des 2 axes et tendant à
leur devenir tangentes à l'infini, ce sont les deux asymptotes dont l’obliquité se mesure par Pexpression 1 ?
nr" R -
Si on considère un cône ayant pour section droite une des trois courbes du second degré, toute section plane de ce cône sera aussi une de ces trois courbes. Par exemple, un cône à section droite elliptique ou circulaire sera recoupé suivant une ellipse par tout plan rencontrant toutes les génératrices
d’une seule nappe, suivant üine parabole par un plan parallèle à une génératrice et suivant une hyperbole par tout plan rencontrant toutes les génératrices maïs dans les deux nappes du cône.
Dinecrmaiece p. me ne een mtene le
PEANPSE
PAR ABOlËEEN
AY PERDBOLE
Fic. 63. — L’ellipse est une courbe telle que la somme des distances des points m à deux points fixes F et F’ soit constante. La parabole est une courbe telle que la somme des distances d’un point m à une droite, directrice, et à un point F soit constante. L’hyperbole est une courbe telle que la différence des distances d’un point m à deux points F et F’ soit CLS L
| V ; AD y L Be SET <
FiG. 64. — L'image du cercle est une parabole si le plan de front de Œ est tangent au cercle. (A pourrait se déplacer sur la ligne —.-.-—.).
Fi. 65. — L’image du cercle est une hyperbole si le plan de front de Œ coupe Je cercle. | La deuxième branche de l’hyperbole est l’image virtuelle de ce qui est en arrière de AB. ce
PE VA Re RE) te a
Et la courbe Tate image du cercle, sera une parabole dont l'axe « est. < 143 parallèle à la génératrice de front. (
CA
Enfin, si le cercle recoupe le plan de front du spectateur, le tableau rencontrera les deux nappes du cône formées par les rayons visuels “PECPIERRSS dits et par leurs prolongements (voir fig. 65).
Et la coutbe d’intersection, image du cercle, sera une pyperes dont des asymptotes seront parallèles aux deux génératrices de front
Dans une série de cas particuliers, un cercle aura pour image un cercle; un. seul peut s'exprimer simplement : Dans le cas où le plan du cercle est perpendiculaire au tableau et où le centre du cercle est dans le plan principal perpendiculaire à celui du cercle. Si l'angle « du rayon visuel du point du cercle le plus éloigné avec le rayon visuel principal est tel que l’on ait la relation :
D?’ 19° a AR ou, après transformation : h? 4:D:
où r est le rayon du cercle, " rare n du centre du cercle, A4 EM de A et
h la hauteur et D la distance principale, l’image du vence sera un Tee
Pour le démontrer, je figure en ON le St et le point de. vue en projection par exemple horizontale, et en A’0/B/Œ le cercle et le point de vue en projection verticale. Le tableau TT’ est supposé tangent au cercle. Si cela n’est pas : :
F1. 66. — LT certains cas PAU Vimage du cercle sera un cercle.
en réalité, la similitude des images de front entraîne la généralisation de la démons-
Fe ration.
ee
cercle.
L'image du cercle est une ellipse (voir plus haut).
Si une ellipse a deux diamètres perpendiculaires égaux, elle devient un cercle.
Si donc j'établis les conditions pour que BC’ — KL j'indiquerai celles nécessaires pour que l’image du cercle soit un cercle.
| KT Te 2r En effet : —— = — = — n effet D Ne NŒ?:
Mais: = VA — A KL 228 | ee: VAT ri D OUT donc CB p Var D'autre part : : CH da ME 5 Donc : ATAQ IS Se Diou: ga — :
Il ne faut pas croire que si le spectateur est à l’extérieur d’un cercle, l’image de ce cercle est, par cela même, une ellipse. Il se peut que ce cercle soit tangent où même recoupe le plan de front du spectateur.
Vi —r —r?
é :[ne-faut pas croire non plus que la courbe représentant un cercle ait un axe de symétrie vertical, sauf le cas où le centre est dans le plan visuel vertical prinfee Erreur trop fréquente. FRE
DRE, Bit ne faut pas croire enfin que le ne de lellipse qui figure un cercle est l'image du centre du. cercle : ce n’est jamais exact et c’est une erreur trop fréquente
aussi.
Pour diviser un cercle en parties égales ou pour obtenir un certain point déterminé du cercle, ou devra mettre en perspective le ou les rayons correspondants en les faisant fuire au point de fuite voulu et en portant sur eux la longueur du rayon. Ce sera par exemple le cas d’un dallage avec rosace circulaire.
On peut, en ce cas, avoir intérêt à ne pas employer strictement la méthode exposée ci-dessus : S’il s’agit d’un cercle de centre connu et divisé en 8 par exemple à partir d'un point M quelconque, on mènera OM, ce qui déterminera F; on en
déduira F90 et les deux F45 et on pourra facilement dessiner les deux carrés Circons-
crits en s’ingéniant à n’employer que les points de fuite accessibles (fig. 67).
Si l’on veut diviser un cercle en 6 parties égales, on ne lui circonscrira pas de
KL et BC’ sont deux diamètres perpendiculaires entre eux de l’image du
Fic. 67. — Mise en perspective d’un cercle divisé en huit parties égales à partir d’un point +
perspective d’un cercle divisé en six parties égales à partir d’un po
Vu”
carré, mais un hexagone obtenu par deux triangles équilatéraux. On déterminera les points de fuite F, F60° F120° ou F30° F90° suivant les cas et on tracera les TES en se servant de diamètres (fig. 68).
Et de même on appliquera la méthode générale qui ‘consiste à circonscrire un polygone à la courbe à dessiner en l’adaptant au problème particulier et à ses données, de manière que le tracé soit le plus simple et le plus rapide : la méthode des huit points qui a été exposée plus haut (p. 71) n’a rien d’absolu comme l'ont mon- tré les quelques exemples ue ci-dessus.
> Je veux profiter de cette occasion pour vous rappeler une fois de plus qu’il en est ainsi de toute la perspective : il n’y a pas de règles absolues et intangibles, vous devez au contraire, en face de chaque cas particulier, vous ingénier à trouver le tracé le plus rapide et le plus simple en ‘vous souvenant des grandes méthodes géné-
rales que je vous indique, tel que l'emploi des points de fuite, des points de résection, etc. 1% ”
Done, exercez-vous à développer votre RU TRAUE en faisant de nombreuses Dos.
Avant nier les courbes autres que le cercle, je veux encore vous dire un mot. de la mise en perspective des arcs de cercle.
Par exemple, si vous re mettre en perspective un des piliers d’une voûte circulaire, vous aurez à dessiner un arc de cercle de quelques degrés seulement. Il serait évidemment complètement inutile de faire l’épure du cercle complet et vous FA vous contenterez par exemple de faire le tracé des deux points extrêmes et du point milieu avec sa tangente.
S'il s'agit d’un demi-cercle comme pour mettre une niche en perspective, il vous faudra de préférence faire l’épure de mise en place du rectangle circonscrit et des deux lignes à 45° rayonnant du centre.
<s ui Les courbes à mettre en perspective ne seront pas toujours des cercles : elles SA peuvent être quelconques au point de vue géométrique et dès lors je ne puis vous L donner d'autre indication que la méthode générale de la page 69. Mais il peut se trouver aussi que ce soit des courbes géométriquement définies. Les seules qui puis-
sent amener quelques réflexions intéressantes sont celles du second degré.
| si s’agit d’une ee les méthodes à appliquer seront exactement celles du cercle, avec cette différence que le polygone circonscrit ne sera pas un polygone régulier tels que le carré et l’octogone ou le triangle équilatéral et l'hexagone. Ce sera e un rectangle si l’on choisit les côtés parallèles aux deux axes de l'ellipse; ou si l’on
