CHAPITRE PREMIER

OBJET— CARACTÈRES — PROCÉDÉS DES SCIENCES MATHÉMATIÛUES ART. I. — Ol»j<*t et"tliTisîoii des sciences mathématiques.

§ 1. — Nature. — La science mathématique peut se définir : la science de la mesure des grandeurs^ ou simplement la science de la quantité.

Dans tout objet matériel on distingue la qualité et la quantité. Ainsi, entre le bleu et le rouge, il y a une différence de qualité; entre un mètre et un centimètre, il y a une différence de quantité, autrement dit, de plus et de moins.

La quantité est continue on discontinue. Les quantités sont discontinues quand, entre chacune d'elles et la quantité immédiatement plus grande ou plus petite, il n'y a pas d'intermédiaire, en sorte qu'on passe de Tune à l'autre par un saut brusque. Tels «ont les nombres, objet de l'arithmétique (1).

Les quantités sont dites continues quand on peut passer de l'une à l'autre par une transition insensible; par exemple, V espace qu'étudie la géométrie, et le mouvement qm est l'objet de la mécanique rationnelle. Ce sont les grandeurs proprement dites.

Une grandeur se mesure en la comparant à une grandeur de même espèce prise pour unité.

§ 2. — Caractères des notions et des vérités mathématiques.

1. Les sciences mathématiques n'étudient pas des notions simplement empiriques, comme Tout prétendu Hume, Stuart Mill et Herbert Spencer. De fait, jamais l'observation ne nous montre de cercle parfait, de ligne vraiment droite, de point sans étendue, ni même de nombre proprement dit, mais seulement des figures

(1) Notons que les nombres fractionnaires ne sont pas des intermédiaii'es entre d'autres nombres: ils constituent simplement un changement d'unité.

OAUACTKIŒS ET PHOCÉDÉS. o5l)

plus OU moi US irrégulières, des pluralités plus ou moins conl'uses.

D'autre part les notions mathématiques ne sont pas primitivement des intuitions immédiates que la raison tire d'elle-même par la réilexion et qu'elle détinit a priori indépendamment de toute expérience, comme le suppose M. Liard dans sa Locfique. Tout au contraire il faut dire que l'observation lui en a fourni la donnée première. Ce point assuré, il reste vrai que l'objet propre de ces sciences, ce sont des notions idéales, que l'esprit se crée à lui-même par voie de construction. La donnée première ne devient objet de science qu'après avoir été élaborée, idéalisée en quelque sorte par la raison. En réalité, le point, la ligne, le plan, l'angle, le cercle, etc., sont autant de limi/es que la raison conçoit à partir des données sensibles. La ligne est la limite vers laquelle tend une bande de plus en plus mince; le point est la limite vers laquelle tend une aire de plus en plus petite, etc.

2. De là l'impuissance de l'observation à étudier ces notions, .l'ai beau mesurer expérimentalement les rayons d'un cercle, jamais je ne pourrai conclure qu'ils sont tous, absolument, nécessairement égaux. Tout ce que je puis dire c'est que, dans tel cercle donné, les rayons que fai mesurés se sont trouvés ég-aux, à peu de chose près.

Sans doute il y a accord entre l'expérience et les vérités mathématiques, mais cet accord n'est jamais qu'une approximation, une tendance vers la limite idéale, laquelle, en aucun cas, ne saurait être atteinte ni réalisée. Aussi les formules mathématiques expriment-elles des lois, non du réel, mais du possible; de là leur caractère de nécessité et d'universalité.

3. On conçoit dès lors pourquoi, dans ces sciences, il ne saurait être question de causes proprement dites. Toute cause implique une action réelle, la production d'un ellet réellement existant; or les mathématiques, étudiant des rapports simplement possibles, ne peuvent remonter qu'à des principes, c'est-à-dire à des raisons idéales. La loi mathématique exprime donc un rapport, non pas entre une cause et un effet, mais entre certaines conséquences et certains principes. Ainsi cette loi, que dans tout triangle, la somme de deux côtés est toujours plus grande que le troisième, a pour raison ce principe, que d'un point à un autre la ligne droite est le chemin le plus court.

S^3. — Division des sciences mathématiques. — Comme nous l'avons vu plus haut, p. 543, on distingue les mathématiques pure.v et les mathématiques appliquées. — Les premières étudient la quantité, sans aucune préoccupation utilitaire; les secondes se

5'oO LOGIQUE.

servent des malliémaliques dans le développement des sciences de la nature : mécanique, astronomie, physique.

1. Les mathématiques pures constituent diverses sciences partielles, selon qu'elles étudient d'mie manière plus ou moins abstraite la quantité continue ou discontinue.

a) Dans V ordre de la quantité discontinue :

a) U arithmétique étudie les nombres sous leur forme la plus déterminée.

Si L'algèbre substitue aux nombres déterminés des symboles plus généraux signifiant les relations des nombres, quelle que soit leur valeur numérique déterminée.

y) « Enfin, dit P. Malapert, en considérant les relations qui peuvent unir les variations corrélatives de deux quantités dont l'une est fonction deTautre, on constitue une science plus abstraite et plus générale encore que l'algèbre proprement dite : c'est la branche des mathématiques qui a reçu le nom de calcul des fonctions. »

b) Dans l'ordre de la quantité continue, la géométrie étudie les figures tracées dans l'espace.

2. L'étude de la quantité discontinue et celle de la quantité continue ne forment pas deux sciences étrangères l'une à l'autre. Descartes, écrit encore P. Malapert, l'a montré par la découverte de la géométrie analytique ; « il a fait voir qu'une figure géométrique peut être représentée par une équation, de telle sorte qu'en suivant les variations des grandeurs dont l'équation exprime le rapport, on connaît les variations de la figure elle-même. Enfin l'invention par Leibniz et Newton du calcul infinitésimal a permis la mesure des grandeurs continues, par le choix d'une unité susceptible d'être toujours plus petite que n'importe quelle Ijuantité donnée (infiniment petit de n'importe quel ordre). »

AKT. II. — Caractères et procédés des sciences mathématiques.

§ 1. — Caractères des sciences mathématiques.

Les mathématiques sont appelées sciences exactes, et cela pour plusieurs raisons.

i. Comme elles ne sortent pas de la sphère de l'idée pure, rien ne vient gêner la rigueur absolue et vraiment idéale de leurs conclusions.

2. D'autre part, s'en tenant aux notions très abstraites et, par suite, très simples, de grandeur et de quantité, leur objet est, par là même, très clair et très précis. Aussi, en dépit du préjugé contraire, les sciences mathématiques sont-elles, en soi, les plus faciles de toutes, les seules qui ne supposent le concours d'aucune autre science.

1,A ni.llMTlON MAÏUKMATigUE. 501

3. De plus, se bornanlà l'étude du;jos,f////e, les rapports qu'elles étudient sont nécessaires absolument ; leur certitude revêt ainsi un caractère métaphysique qui satisfait pleinement l'esprit, et qui offre toujours la ressource de la démonstration par l'absurde.

4. Ajoutons que la méthode déduclive, dont ces sciences font principalement usage, est d'un maniement plus facile et plus sûr que la méthode inductive.

3. Enfin, la langue mathématique, composée d'un petit nombre de signes très simples et très clairs, permet toujours de substituer le signe à la chose signifiée, sans équivoque ni confusion possibles.

Autant de raisons de la parfaite exactitude et de la rigueur absolue qui caractérisent les sciences mathématiques.

§ 2. — Procédés de la méthode mathématique.

1. La méthode d'une science dépend de son objet. Or les sciences mathématiques ayant pour objet des notions idéales, dépourvues d'existence réelle, la raison devra tout d'abord se les créer à elle-même en les définissant.

2. L'objet étant donné par la définition, il s'agit d'en déduire rationnellement les propriétés, les lois, les conséquences particulières que cette définition renferme ou suppose.

3. A son tour, cette déduction ne peut s'opérer qu'en vertu de certains principes absolument évidents appelés axiomes.

\. Enfin, l'ensemble de ces procédés constitue la démonstration, terme ultime des sciences mathématiques et résumé de leur méthode.

Donc, définition, axiome, déduction, démonstration, tels sont les quatre procédés essentiels de la méthode mathématique (1).