LA DÉFINITION MATHÉMATIQUE

La nature et les règles de la définition en général ont été exposées en Logique formelle (p. 496) ; nous n'avons donc à nous occuper ici que de la définition propre aux sciences mathématiques.

On définit un objet réel pour s'en former une idée exacte; en ce cas, la définition est une copie qui doit se conformer fidèlement à l'objet. Mais on peut aussi définir un objet simplement possible pour lui donner une sorte d'existence idéale ; en ce ( as, la définition est un modèle auquel l'objet est nécessairement

(1) La (l(Hluclion ayant été éludiée en détail dans la Logique lormellc (pp. 51fi el siiiv.), il n'y a pas lieu d'y revenir ici.

COURS nv. imiii.osoi'Iiif;. — t. i. 36

conforme; telle est la définition malhématique. De là découlent les caractères qui la distinguent de toute autre définition.

i. La définition mathématique se formule, non pas d'après l'observation pure (Voir plus haut, p. S60), et par description, comme dans les sciences naturelles, mais par construction, c'està-dire en indiquant comment s'engendre l'objet idéal qu'il s'agit d'étudier;

Ainsi, en arithmétique, le nombre 2 se définit : le nombre obtenu en ajoutant l'unité à elle-même ; le nombre 3 : l'unité ajoutée deux fois à elle-même, etc. En géométrie, toutes les figures se créent au moyen de trois éléments, qui sont l'espace, le point, et le mouvement abstrait. La ligne est engendrée par le mouvement d'un point dans l'espace; la circonférence est la ligne engendrée par un point qui se meut dans un même plan en restant toujours à égale distance d'un autre point fixe nommé centre; le cercle est la surface engendrée par la révolution d'une droite se mouvant dans un même plan autour d'une de ses extrémités, etc.

2. L'objet ainsi défini étant une forme construite par l'esprit sur les données de l'expérience, il s'ensuit que les diverses propriétés qu'elle possède sont, non pas des éléments qui, par voie de synthèse, ont servi à la constituer, mais des conséquences qui en dérivent et qu'on obtient par voie d'analyse.

3. Il s'ensuit encore que la définition mathématique est en soi indiscutable : pourvu qu'elle n'implique aucune contradiction qui la rende inconcevable, rien ne saurait autoriser à la rejeter ou à la contester.