AVEC LES AUTRES SCIENCES

Mais ces notions d'où viennent-elles ? comment se formentelles en nous ? Voilà des questions qui ne sont nullement mathématiques, mais purement philosophiques. Et la manière dont ces questions sont résolues par la philosophie, influe sur les sciences mathématiques d'une manière toute directe. Pour n'en citer qu'un exemple, les notions de fini et d'infini coexistent dans l'esprit, l'une est inséparable de l'autre. Nous concevons tout à la fois les nombres finis et l'infini en nombre, les étendues finies et l'espace infini, les forces finies et une cause infinie. Or une école ])hilosophique du dernier siècle a cru que l'infini n'était qu'une répétition du fini, c'est-à-dire qu'elle a réduit les deux notions à une seule : que s'en est-il suivi en mathématiques ? qu'on a essayé de proscrire toute méthode et toute démonstration qui supposait l'idée d'infini, ce qui, dans les parties élevées de ces sciences, a amené des difficultés considérables et s'est fait ressentir jusque dans les éléments, en géométrie, par exemple, où la théorie des parallèles et le postulatum d'Euclide sont devenus insolubles, et où l'on a substitué aux démonstrations par l'infini des démonstrations par l'absurde, qui ont ensuite été démontrées absurdes elles-mêmes. (Voir M. Gouré, Examen de Legendre, et le Dictionnaire des Sciences mathématiques de M. Montferrier, articles Infini, Philosophie, etc.)

De plus, en mathématiques, on procède par définitions ; mais qu'est-ce que les définitions, et quelles conditions doivent-elles remplir? On s'appuie sur des axiomes; mais qu'est-ce qu'un axiome, et à quoi distingue-t-on un axiome d'un théorème ? On déduit les théorèmes par le raisonnement; mais qu'est-ce que le raisonnement, et quelles sont les qualités d'un bon raisonnement ? Ce sont là autant de questions qui appartiennent à la philosophie et qui cependant intéressent évidemment les sciences mathématiques.