De motu gravium naturaliier acceleraio

ECOULEMENT DES LIQUIDES

à la sortie, on a, quel que soit le liquide^

Torricelli avait donné la loi qui précède comme un résultat purement expérimental; après lui Newton, Varignon, et surtout Daniel Bernoulli, se sont efforcés de donner de cette loi des démonstrations rationnelles, en la rattachant aux principes admis en mécanique. Mais leurs démonstrations ne sont pas à l'abri de tout reproche ; on y suppose toujours que le liquide n'éprouve de la part de la paroi aucun frottement, que les diflférents filets liquides sont sans actions réciproques, et qu'ils ont, au sortir de V orifice^ des vitesses égales^ toutes perpendiculaires à la paroi; dans ces conditions, la loi de Torricelli est une application immédiate du théorème des forces vives.

Considérons, en eflfet, un vase ABCD (fig. 410) que nous supposerons cylindrique et de section S, percé à sa partie inférieure d'un orifice CD de section s. Soit h la hauteur du niveau AB au-dessus de l'orifice à l'époque t^ h-h dh la hauteur du niveau A'B' à l'époque t -h dt, CDC'D' le volume du liquide écoulé pendant le temps dt et que nous imaginerons sous forme de cylindre de section s et de hauteur g. Pour nous placer dans un cas général, nous ne supposerons pas que les pressions extérieures sont les mêmes en AB et en CD et nous les appellerons h^ et k^^ en les évaluant en hauteurs du liquide qui s'écoule. Soit u. la masse spécifique de ce

liquide, g la gravité, v la vitesse d'écoulement à l'époque ^ et u la vitesse avec laquelle s'abaisse le niveau AB.

Si nous remarquons que le travail de la pesanteur est le même que si la masse ABA'B' avait été transportée en CDC'D' (358), nous aurons pour l'expression de ce travail

ss^gh.

La pression h^ produit une force Sh^i^g dont le travail est et la pression h^ une force h^ikg dont le travail est

— shi^ge.

D'autre part, la force vive du liquide à l'époque t est

S/ijxM^

;^ff^

Fig. 410.

et la force vive à Tépoque t -h dt est

Écrivons que la demi-variation de la force vive est égale à la somme des travaux des forces, divisons les deux membres de Téquation par S ( — dh)i>. ou par la quantité égale sejA, et ne gardons que les termes finis, il viendra

Or

^ (t;« — wî) -. hu ^=:g (h + Ao— /ij).

- = g, d'où du =: ^ dv.

Substituons, on a

Supposons « = S et, pour simplifier, hç^=z k^] c'est le cas d'une colonne d'eau tombant dans un tube cylindrique, et nous devons retrouver la loi de la chute des corps. L'équation se réduit en effet à

dv

-'^dK=^^ ou bien, en appelant H la hauteur primitive du niveau supérieur,

Supposons maintenant ^ négligeable et, a fortiori ^, il vient

t;8 = 2sr (A + Ao - A,).

Le coefficient de ^g dans celte expression se nomme la charge sous laquelle a lieu Técoulement.

Si la pression à Torifice est la même que celle qui existe à la surface libre, on a simplement

v2 = 2gh,

ce qui est la formule de Torricelli.

Si la différence ^, — h^ est due au poids spécifique du milieu ambiant, on aura, en appelant ix'la masse spécifique de ce milieu,

(/il — /io)tx = /l{l'

et, par suite.

Il reste maintenant à savoir dans quelle mesure les frottements dont nous n'avons pas tenu compte sont effectivement négligeables

ECOULEMENT DES LIQUIDES

et, pour cela, nous chercherons à vérifier expérimentalement la formule de Torricelli.

556. Vérlflealion expérimentale. — A cet effet, il importe de pouvoir maintenir, pendant toute la durée de Técoulement, le niveau du liquide à une hauteur constante dans le vase ; c'est ce qui va nous occuper d'abord.

1* Appareils à niveau constant, — On peut obtenir ce résultat de bien des manières : par exemple, au moyen d'un trop-plein, et en faisant arriver à la partie supérieure du vase, avec une faible vitesse, une quantité de liquide un peu plus considérable que celle qui s'écoule pendant le même temps par Torifice inférieur ; on bien encore au moyen d'un appareil fort ingénieux imaginé par de Prony, et connu sous le nom de flotteur dedeProny. ABCD (fig. 441)

fijr. 411.

Fig. 412.

est un réservoir rectangulaire muni d'une plaque de cuivre mince, percée à différentes hauteurs d'orifices de différents diamètres que Ton peut déboucher à volonté; l'eau qui s'écoule par ces orifices est amenée dans le réservoir mobile X par le tube of M et N sont des flotteurs rectangulaires liés entre eux par des tringles et supportant, au moyen des tiges p et q^ le réservoir mobile X destiné à recevoir l'eau qui s'écoule du vase ABCD. Avec cette disposition, les flotteurs M et N supportent un poids constamment égal à celui de l'eau écoulée ; ils s'enfoncent donc d'une quantité telle que le nouveau volume d'eau qu'ils déplacent soit égal à celui de l'eau écoulée, et le niveau reste constant.

2*^ Expériences de vénfication, — Soit ABCD (fig. 412) un vase où le niveau du liquide est maintenu constant, 0 un orifice en mince paroi; il se produit par l'orifice un jet continu de liquide dont la forme peut servir à vérifier la loi de Torricelli. En effet, considérons une molécule liquide à sa sortie de l'orifice, et soit v la vitesse horizontale dont elle est animée; au bout du temps ^, elle aura parcouru, dans le sens horizontal, la longueur vt^ et, en outre, sous

Taction de la pesanteur, la longueur -1 ^^' dans le sens vertical; de sorte que, par rapport aux axes Oxet Oy (fig. 413), ses coordonnées

seront

d'où

ar == v/, y = k gt^.

équation d'une parabole dont Taxe est vertical et dont le sommet est

^^^^ 3^ enO.

\ On

On en déduit

Fig. 413.

jr3 t;2 = 27 f-.

Il suffira donc, comme Ta fait Bossut, de recevoir le jet sur un plan horizontal abaissé de y au-dessous de Torifice de sortie, de mesurer

son amplitude horizontale x et de comparer la valeur i— , ainsi donnée

par l'expérience, à la distance h de Torifice à la surface libre, pour s'assurer de l'exactitude de la formule

En opérant ainsi, on a trouvé que la parabole décrite par la veine

liquide correspondait à une vitesse

V = 0,98 t^2gh,

et même à une vitesse

V = 0,993 k^2fh,

dans le cas de vitesses très faibles. Une vérification à 4^0 ou à xÎt P^^ suffit évidemment ici, à cause de la difficulté avec laquelle on détermine le point de sortie du jet. Ces expériences ont d'ailleurs été faites avec le mercure pour lequel la résistance de l'air est à peu près sans influence. D'après les équations qui précèdent, on a

Fig. 414.

ECOULEMENT DES LIQUIDES 495

de telle sorte que, si Ton change A en jy et y en A, Tamplitude^ horizontale reste la même. Il en résulte évidemment que, si, sur la paroi d'un vase ABCD (fig. 414), on perce deux orifices 0 et 0', tels que