RN — R'N' = NA — N'A', RR' — NN' = NN' + AA', 2NN' = RR' — AA

mais NN' est égal à II', donc

2ir = RR' — AA'.

Remplaçons AA' et RR' par leurs valeurs et divisons par II', nous aurons

relation qui permet de construire la courbe par points. Supposons le point P à rinfini; l'équation précédente se réduit à

Soit PAI (fig. 57) un des rayons incidents, IC la normale, IR le rayon réfléchi, et M le point correspondant de la caustique ; on a

Il en résulte qu'une circonférence, qui serait tangente en I à la section SS' faite par le plan de la figure dans le miroir et passerait par le point M, aurait un ditimètre égal au quart du diamètre SS' du miroir et serait par conséquent tangente aune circonférence ayant pour centre le point C et pour rayon la moitié du rayon du miroir.

Les angles MIC et ICS sont égaux entre eux, comme égaux tous deux à l'angle AIG; les arcs MD et DP' qu'ils interceptent respectivement sur

les circonférences ID et DC sont donc égaux. Par suite, la méridienne de la surface caustique est une épicycloïde engendrée par la

circonférence ID de rayon j roulant sur la circonférence CD de rayon

^. La partie BP'E de la courbe se rapporte au miroir qui serait

formé de l'hémisphère BSE, la partie BP"E, au miroir BS'E; les points P' et P" sont les foyers principaux de ces deux miroirs.

Si le point P (fig. 58) est situé à une distance finie sur l'axe principal SS', la méridienne est encore une courbe à deux points de rebroussement, qui sont les foyers conjugués de P dans les deux

miroirs S et S'; elle est tangente au cercle SS' aux mêmes points B et E que les tangentes menées du point P à ce cercle; et à mesure que le poinf P se rapproche du miroir, les trois p'oints B,P'', E

se rapprochent du sommet S'.

Quant le point P pénètre à Tintérieur du cercle SS' (fig.

59), la nappe de la caustique se dédouble ; sur la méridienne, on trouve deux nouveaux points de rebroussement, B et E, et quatre branches infinies asymptotes à deux droites.

Le point P continuant de se rapprocher du centre, Tangle des deux asymptotes se ferme en même temps que le point P" s'éloigne . Quand le point P est au milieu de CS' (fig. 60), c'est-à-dire au foyer

HS'— ->t--

Fig. 58.

Fig. 59.

principal du miroir S', les deux asymptotes se sont confondues avec Taxe SS' et la nal)pe ayant pour sommet P" a disparu à Tinfini. La courbe prend ensuite la forme indiquée sur la figure 61. Les

Fig. 60.

points B,E, P', P se rapprochent les uns des autres, et enfin, quand le point lumineux arrive en C, tout se réduit à ce même point.