AI IB ^ AK , KB

Des points A et B comme centres, décrivons les arcs de cercle infiniment petits KP, IQ; l'égalité précédente peut s'écrire

Fig. 68.

OU, en appelant a l'angle PIK, p Tangle IKQ,

COS g C08 ^

Cela posé, considérons un plan RS (fig. 69) tangent à la surface au

point cherché 0.

D'après ce qui précède, une droite quel^ conque CD, menée dans ce plan par le point 0, fait avec OA et OB des angles a et p tels que le rapport de leurs cosinus soit constant. Menons par A et B des plans respectivement perpendiculaires à OA et à OB ; soient C et D les points où les intersections EF, GH de ces plans avec le plan RS rencontrent CD; on a

d'où

OA = CD COS a et OB = OC cos p.

Op OA COS p OC ■" OB ' COS a'

donc ^ est constant et les droites EF, GH sont parallèles. Or, si

XOX' représente la normale à la surface au point 0, ces deux droites sont respectivement perpendiculaires aux plans AOX, BOX'; donc ces deux plans se confondent. Les directions OA et OB satisfont donc à la première loi de la réfraction (73).

Enfin, si MN représente en particulier l'intersection de la surface par le plan AOB, a et p sont les compléments des angles i et r d'incidence et de réfraction, qui satisfont, par conséquent, à la relation

sin i V

sin r t?'

Or, d'après ce qui a été dit plus haut, le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction d'un rayon lumineux est précisément égal au rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux.

1. Cette première partie de la démonstration a été établie d'après Fermât.

Donc le trajet de la lumière, compté sur le rayon lumineux, d'un point du premier milieu à un point du second, est celui de plus courte durée.

Un raisonnement en tout semblable au précédent permet d'établir que, dans la réflexion^ la lumière va dans le temps le plus court du point de départ au point d'arrivée, en rencontrant la surface réfléchissante.

79. Déviation dn rayon. — La déviation A est donnée par la relation

Pour étudier la variation de la déviation avec l'incidence, prenons la dérivée de A par rapport à i :

"31 "" ûfT'

mais, en dérivant la formule (1) par rapport à i, on a

dv cosi = n cosr -p,

dr j. cos i

di n cos 7*'

Portons cette valeur dans l'expression de la dérivée de A et remplaçons r en fonction de t, il vient

dA . /i — sin^ i ~SÏ ~ \ n'^ — sin=i i*

80. Angle limite. — Premier cas. — Supposons n plus grand que l'unité, la lumière passant, par exemple, de l'air dans le verre.

La formule (1) montre que r croît en même temps que i, mais moins rapidement. La figure 70 montre les directions de rayons réfractés correspondant à un certain nombre de rayons incidents dont les incidences croissent en progression arithmétique de 0° à 90*^. Si l'on fait dans la formule i = 90°, on trouve pour r une valeur particulière l donnée par l'égalité

sinl = — .

Cet angle est le plus grand que puisse faire le rayon réfracté avec la normale ; on l'appelle angle limite.

Par exemple, pour un verre d'indice ^,

Pour l'eau, dont l'indice est k,

La dérivée de la déviation est positive ; de plus, elle va toujours

en augmentant, de la valeur 1 pour i = 0, à la valeur 1 pour

i = 90^* : la déviation va en augmentant avec i d'autant plus rapidement que i est déjà plus grand.

81. Second cas, — Supposons n plus petit que l'unité, la lumière passant, par exemple, du verre dans Tair; r croit en même temps quel, mais plus rapidement; la même figure représente le phénomène ; il suffit de supposer la lumière marchant en sens inverse.

Poursin i=n (soit, pour le verre, i = 41^» 48'), sin r = i , 7' = 90^, le rayon sortirait en rasant la surface. Pour toute valeur de i supérieure à cet angle limite /, la formule donne pour sin r un nombre plus grand que 1. L'expérience montre que, dans ce cas, il n'y a plus de rayon réfracté : le rayon réfléchi subsiste seul.

La valeur absolue de la déviation est r — i et sa dérivée par rapport à i, 1/-= ^-j^. — 1, croit encore de plus en plus vite, de 1

à rinfini, quand i varie depuis zéro jusqu'à /.

82. Constraeiion du rayon réfracté. — Supposons qu'on donne la surface réfringente, l'indice de réfraction n et un rayon incident SI (fig. 71). Du point I comme centre, décrivons dans le plan d'incidence une circonférence lA de rayon 1 et une autre IB de rayon n. Prolongeons le rayon incident jusqu'à sa rencontre en D avec la seconde et menons par le point D une tangente jusqu'à sa rencontre en E avec le plan tangent à la surface réfringente au point I. Enfin, menons à la circonférence lA la tangente EC ; IC sera la direction du rayon réfracté. En effet, les triangles ICE, IDE donnent