V. — RÉFRACTION PAR UNE SURFACE SPHÉRIQUE

99. Rayons centraux. — Image cViin point. — Considérons une surface sphérique MN, de centre 0, de rayon r, séparant deux milieux d'indices n^ et n^\ et soit P^ un point lumineux placé dans le milieu

'. pj ■ r, pB^''-o""^ S r.

Fi g. 89.

d'indice n^. Nous nous proposons de rechercher si les rayons émis par P^ et réfractés par MN forment une image. Si cette image existe, elle sera nécessairement sur la droite P^O, qui représente un rayon passant sans déviation en S. Soit PJ un autre rayon quelconque, mais assez rapproché du premier pour qu'on puisse confondre les distances P,I et P^S. Prenons le plan de ces deux rayons pour plan de la figure. Soit IR le rayon réfracté et P, le point où sa direction rencontre P^O. Posons

îPj = sPi = />!, 1P2 = SP2 = P2, se = r.

Soient i^ et i^ les angles que font respectivement les directions IP^, IPj avec la normale 10 à la surface MN, o) Tangle lOS.

Le triangle P|OI, dans lequel les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés, donne

Pi sin (ù

Pi — r sin ij'

et le triangle PjOI,

P2 __ sin h) P2 — »' "^ sin ij*

En éliminant sin o) entre ces deux équations, on trouve (1) ni — :^ = !Ll — ^«

Pi Pi »*

Donc, à la condition de supposer, comme nous Tavons fait, Tangle w très petit, on trouve pour P, une position indépendante du rayon considéré PJ; P, sera une image, virtuelle dans le cas de la ûgure, du point P^ ; ces deux points seront foyers conjugués.

Nous avons établi la formule (1) sur une figure dans laquelle on supposait les trois points 0, P^, P^ situés d'un même côté de la surface MN. Il est facile, en examinant les différents cas qui peuvent se présenter, de vérifier qu'elle est générale à la condition de regarder /?j, pj, r comme représentant les segments SP^, SPj, SO comptés à partir de la surface réfringente. On peut, comme nous l'avons fait pour les miroirs, regarder ces segments comme positifs s'ils sont dirigés en avant de la surface, c'est-à-dire en sens inverse des rayons lumineux incidents : dans cette convention, r est positif ou négatif suivant que la surface présente sa concavité ou sa convexité à la lumière incidente, p^ positif ou négatif suivant que le point lumineux est réel ou virtuel, p^ positif ou négatif suivant que l'image est virtuelle ou réelle.