Antres formes de l'équation fondamentale. — Remplaçons

dans l'équation (1), n, et n^ par leurs valeurs en fonction de f^ et /*,, il vient

Pi Pi

Appelons q^ et q^ les segments F^P^ et F,P,; on aura toujours

Pi = Qi+ A et Pt = gi + fr

Remplaçons 'p^ et p, par ces expressions dans l'équation (3), et nous aurons \ équation de Newton^ qui a la même forme que celle que nous avons établie pour les miroirs sphériques (56) :

(3 bis)

9i 9i = A fi-

105. Construction de rimante d'un point avec les foyers. — Soient F, et Fj (fig. 90) les foyers principaux d'une surface sphérique MN

Fig 90.

séparant deux milieux d'indices n^ et Wj. Soit B^ un point lumineux situé dans le premier milieu. Un rayon B,I, parallèle à l'axe principal, doit se réfracter suivant la direction IF, passant par le foyer principal du second milieu. Le rayon B^K, passant par le foyer principal F, du premier milieu, se comporte comme s'il venait du point F, et se réfracte, par conséquent, dans une direction KBg parallèle à l'axe principal. L'intersection B, des deux rayons réfractés représente l'image du point Bi.

Les deux points B, et B, doivent être en ligne droite avec le centre 0 de la surface MN et, si ce centre était donné, on pourrait aussi l'utiliser pour construire l'image B,.

106. Image d'un objet. — Une droite A^B^, située dans un plan

REFRACTION DE Lk LUJVIIERE 87

perpendiculaire à Taxe principal, aura pour image une droite AjB^ située dans le plan focal conjugué.

On appelle grossissement le rapport d'une dimension de Timage perpendiculaire à Taxe principal à la dimension homologue de l'objet.

Les triangles semblables KSF,, KIBi donnent

KS Sb\

KS -h SI"" IBi*

Or

KS = — A2B2 et SI = AiBi.

Appelons y^ et y^ les segments A^B, et A^B^; la proportion précédente devient

— 2/i4- 2/i Pi'

De même, les triangles ISF, et IKB, donnent

— y\ -i- Vi Pi En divisant membre à membre, on trouve

^^ I/i h Pi ^hPi'

En considérant les triangles FjSK et FjA,Bp ou bien FgSI et FjAjb^, on trouve les expressions souvent plus avantageuses

(ibis) ^*=-ii = ^.

Les distances y^ et y, sont de signes contraires quand Tobjet et l'image sont de part et d'autre du point 0, />, et p, quand elles sont de part et d'autre du point S; par suite, l'équation (4) montre que l'objet et l'image sont tous deux en dedans ou tous deux en dehors du segment OS.

107. Remarque. — En ajoutant membre à membre les égalités que nous avons divisées pour obtenir l'équation (4), on retrouve la formule aux distances conjuguées (3), ou bien, des expresssions (4 bis) on déduit la formule (3 bis). Il suit de là que, si Von admet a priori Vexistence des images, en la regardant, par exemple, comme un fait expérimental, la construction précédente suffit ensuite pour établir les formules (3) et (3 bis).

108. Discussion. — La discussion des équations (3) et (4) ne présente aucune difficulté. Il y a quatre cas à distinguer, suivant que la surface réfringente est concave ou convexe, et l'indice n^ plus grand ou plus petit que l'indice 71^.

Prenons comme exemple le ces d'une surface concave, avec un premier milieu plus réfringent que le second (fig. 91). Soit Aj B^ un objet se déplaçant de telle sorte que son extrémité A^ décrive Taxe principal et son extrémité Bj une parallèle BJ à Taxe principal. La droite IFg sera le lieu de Timage B^^ du point Pj; le point B^ sera

Fig. 91,

entièrement déterminé par la rencontre de l'axe secondaire Bfi avec IFg et la construction indique immédiatement les positions, les dimensions et les natures respectives de l'image et de l'objet.

Ainsi, placé en avant du foyer F^, l'objet donne une image réelle et renversée. Quand la distance gf, de l'objet au foyer Fj est égale à la distance focale /\, q^ = fç^ei l'image a les mêmes dimensions, en valeur absolue, que l'objet.

Placé dans le plan focal F^, l'objet donne une image à l'infini.

Dans l'intervalle F^O, l'objet donne une image virtuelle, agrandie, et plus éloignée de la surface réfringente que l'objet.

En 0, l'objet et l'image sont dans le même plan, mais avec des dimensions différentes.

Entre 0 et S, l'image est toujours virtuelle et agrandie, mais plus près de la surface que l'objet.

Sur la surface MN, l'image et l'objet sont confondus.

Enfin, un objet virtuel donne une image réelle, droite et plus petite que l'objet.

Calculons la distance de l'image à l'objet :

A1A2 = AiFj + F,S + SF2 + F2A2 = - gi - /; -f- /-^ + q^.

La dérivée de cette distance s'annule quand les distances q^ et q^ sont égales en valeur absolue : la solution

et

îa = — V^"— /i/*2

correspond à un minimum, en valeur absolue, de la distance d'un objet réel à son image réelle; la solution

et

correspond à un maximum, en valeur absolue, de la distance de l'objet à son image dans l'intervalle OS.