part du foyer principal situé du côté

deialumièreiocidente, Ç m

et, se déplaçant dans !e même sens que P„ atteint en même temps -^ __ .

que lui la lentille. Le ,,""'• „

point P, devenant vir- !»»«(<* • '. \ . ' '„,, (5} tuel, P, devient réel et ^ 1. - " ^ s'écarte rapidement de '■*■' ' . la lentille, jusqu'à ce que P, atteigne de nouveau un foyer principal ^ fc)

(flg. 103-3, 4). A partir ,. ?

de ce momeot, le point

lumineux et son image p. ^^

sont virtuels, l'image

venant de l'infini au foyer principal de gauche quand le point lumineux va du foyer de droite à l'infmi (flg. 103-5,6).

Les diverses positions respectives d'un objet et de son image sont indiquées sur la figure 106. Un objet réel donne toujours une image virtuelle, droite et plus petite; Tobjet devenant virtuel, l'image est d'abord réelle, droite et agrandie, puis elle devient et reste virtuelle

Fi g. 100.

et renversée quand l'objet dépasse le plan focal ¥^, Quand l'objet virtuel est à une distance de la lentille double de la distance focale, l'image est symétrique par rapport au centre optique ; puis elle continue de décroître et revient dans le plan focal F, quand l'objet s'éloigne à l'infini.

120. Remarque. — Dans les miroirs, l'objet et son image se déplacent toujours en sens inverse sur l'axe de l'appareil; dans les lentilles, ils marchent, au contraire, toujours dans le même sens. Cette différence est liée à la différence essentielle de forme que présentent les équations

ou bien

i -h -, = Cte et

qq' = /î et

- — — = Cte

Pi Pi

121. Vérifications expérimentales. — Pour vérifier expérimentalement les conclusions que nous avons déduites, jusqu'à présent, des lois de la réfraction, on laisse pénétrer dans une chambre obscure, à Taide d'un porte-lumière, un faisceau de rayons solaires. En le recevant directement sur une lentille convergente, on voit les rayons converger dans le plan focal principal où se forme une très petite image du soleil. Cette petite image peut jouer le rôle de point lumineux vis-à-vis d'une seconde lentille, convergente ou divergente, qu'on placera à diverses distances, pour examiner les différents cas que nous avons passés en revue; on réalisera le cas d'un objet virtuel en plaçant la seconde lentille en avant du point de concours des rayons émergeant de la première.

Pour étudier les images fournies par un objet réel, on se sert d'une bougie qu'on déplace vis-à-vis de la lentille à examiner; pour

réaliser un objet virtuel, on forme, avec une première lentille convergente, une image aérienne de la bougie ; on peut alors placer la seconde lentille en avant de cette image. Si l'image à étudier est réelle, on la reçoit sur un écran; sinon, on la regarde en plaçant l'œil sur le trajet des rayons réfractés et on ne peut apprécier que son sens et son diamètre apparent, et non sa distance. Par exemple, si Ton regarde au travers d'une lentille divergente, on a l'illusion d'objets très éloignés parce que les images ont un faible diamètre apparent; mais ces images sont en réalité situées très près de la lentille, el un myope les verrait nettement.

Remarque. — Au point de vue de la vérification de la loi de Descartes, ces expériences ont une importance moindre que celles qu'on pourrait faire avec le prisme. En effet, tant que nous nous bornons aux rayons centraux, nous pouvons substituer à la loi de Descartes la loi

i = nvy

OU toute autre loi qui lui serait équivalente pour les faibles incidences.

122. Distance focale d'un système de deux lentilles. — Supposons deux lentilles minces placées l'une contre l'autre et soient /*/ et /*/ leurs dislances focales respectives. Un point lumineux placé à une distance p, de ces lentilles donne, dans la première, une image dont la dislance p est donnée par la formule

PÎ P~ / V

Ces rayons, rencontrant ensuite la seconde lentille, vont concourir à une distance p, qui satisfait à la relation

— ~"~" """" ~-^ 'itèi .

En ajoutant ces deux égalités membre à membre, on trouve

Les rayons se comportent donc commme s'ils traversaient une lentille unique dont la distance focale f^ serait liée à f ^ et f\ par

l'égalité

7ï ■" Ti "^ rv

L'inverse de la distance focale d'un système de deux lentilles placées Tune contre l'autre est égal à la somme algébrique des inverses des distances focales des lentilles. Il est facile de voir que la proposition s'étend à un nombre quelconque de lentilles.

En particulier, la distance focale d'un système de deux lentilles convergentes identiques est la moitié de la distance focale des lentilles.

Deux lentilles de même distance focale en valeur absolue, mais Tune convergente et lautre divergente, ne dévient pas sensiblement les rayons lumineux.

123. Convergence d'une lentille. — On appelle convergence d'une lentille Tin verse de sa première distance focale. L'usage est de prendre pour unité de convergence la convergence d'une lentille convergente dont la distance focale est d'un mètre, et on a donné à cette unité le nom de dioptrie. On a donc la convergence d'une lentille exprimée en dioptries en prenant Tinverse de la distance focale exprimée en mètres : une lentille est de 2, 3, 4,... dioptries si sa

distance focale est de ^, ït, j^... de mètre.

La proposition démontrée au paragraphe précédent peut s'exprimer ainsi : la convergence d'un système de plusieurs lentilles minces accolées est égale à la somme des convergences des lentilles.

124. Détermination expérimentale des distances foeales. — Lentille convergente. — 1° L'expérience citée au u^ 121 peut servir à déterminer la distance focale d'une lentille; pour cela, en effet, on n'a qu'à mesurer la distance à laquelle les rayons solaires semblent converger.

2** A défaut du soleil, on placera devant la lentille et sur son axe principal un objet lumineux quelconque, par exemple la flamme d'une bougie ; on déterminera les distances respectives de l'objet et de l'image à la lentille, puis on calculera /^ par la formule

i — 1 = i 3** Pour faire ces déterminations avec précision, on a des instru-

Fig .107.

ments spéciaux appelés focomètres. Par exemple, dans le focomètre de Silbermann, la lentille L (fig. 107) est placée entre deux écrans translucides demi-circulaires A et B, qu'une double crémaillère permet de rapprocher ou d'éloigner de L de quantités égales, de sorte que la lentille est toujours au milieu de l'intervalle AB. L'un

des écrans, A, porte une division micromélrique qu'on éclaire à Taide d'une lentille convergente et d'une bougie. L'écran B porte une division disposée en sens inverse et qu'on regarde au travers d'une autre lentille convergente faisant office de loupe.

Quand A et B sont à une distance de la lentille égale au double de la distance focale principale, l'image renversée du micromètre A se superpose au micromètre B ; ou bien, si l'on dispose celui-ci en sens inverse, les divisions de l'image se placent exactement sur le prolongement des divisions de B. Quand ce résultat est obtenu, on mesure sur une règle divisée la distance AB qui est égale à quatre fois la distance cherchée.

¥ Une autre méthode, la méthode de Bessel, consiste à observer, dans une loupe munie d'un réticule, l'image réelle, fournie par la lentille, d'un micromètre ou d'un fil fin éclairé. Le micromètre et le réticule de la loupe sont fixes. Après avoir d'abord réglé la loupe de manière à voir distinctement son réticule, on déplace la lentille sur une règle divisée, de manière à voir de même l'image du micromètre. Les distinces p^ et p^ du micromètre et du réticule à la lentille satisfont alors à la relation

Pi Pi T\

La distance p^ — p^ du micromètre au réticule est une constante de l'appareil; si nous posons

P\ — P%— s, la première égalité devient

Pi "^ *-Pi fi

Cette équation est du second degré en p^ et donne les deux solutions

La distance d des deux positions de la lentille correspondant à ces deux solutions représente la différence des deux racines de l'équation; on a donc

d= yjs^ - 45A,

doù

La détermination de la distance focale se ramène donc à la mesure des quantités d eis.

Lentille divergente. — Le problème est plus difficile k résoudre pour une lentille divergente.

i^ On peut employer une méthode analogue à celle qui nous a servi pour le miroir convexe (67). On place devant la lentille un écran percé de deux petites ouvertures par lesquelles on fait arriver» à peu près parallèlement à Taxe principal, deux minces faisceaux de rayons solaires; ces deux faisceaux s'écartent l'un de l'autre après la réfraction; on les reçoit sur un écran qu'on place de telle façon que la distance des deux taches lumineuses qu'on y voit soit double de Técartement des deux trous. La distance de l'écran à la lentille est alors égale à la distance focale cherchée.

2° On peut encore combiner avec la lentille divergente une lentille convergente dont la distance focale soit assez courte pour que l'ensemble soit convergent. On détermine la distance focale du système des deux lentilles, et on applique la formule (122)

On peut éviter l'emploi du focomètre, si l'on dispose d'un jeu de lentilles de 1, 2, 3,... dioptries, en cherchant laquelle de ces lentilles on doit associer avec celle qu'on étudie pour avoir un système de convergence sensiblement nulle; si une combinaison donne une convergence négative et la suivante une convergence positive, on aura, en prenant la moyenne, la convergence cherchée à une demidioptrie près.

Quand un système a une convergence à peu près nulle, il est difficile de reconnaître, à la seule inspection de l'image, si le système

Fig. 108 a.

Fig. 108 6.

est convergent ou divergent. On le reconnaît aisément, au contraire, au caractère suivant, qui est très sensible. Soit Aj un point d'un objet placé devant une lentille 0 légèrement convergente (fig. 108 «); son image virtuelle A, est un peu plus éloignée que lui de la lentille. Transportons le centre optique de 0 en 0'; l'image viendra de Aj en A'g, en se déplaçant en sens inverse de la lentille. Si au contraire, la lentille est divergente (fig. 108 ô), l'image A^ est plus rapprochée de la lentille que l'objet, et un déplacement 00' de la lentille produit un déplacement k^k\ de l'image dans le même sens. En regardant ainsi une ligne droite dont les extrémités puissent être aperçues directement, et faisant aller et venir la lentille, on verra

facilement si la partie qu'on aperçoit par réfraction se déplace dans le même sens ou en sens inverse.

125. Eclalrement produit par une lentille. — Nous n'avons considéré jusqu'à présent que la position et la grandeur des images fournies par les lentilles, sans nous occuper de leur éclairement. Considérons maintenant une len- Fig. io9.

tille mince MN de surface S, vis-à-vis de laquelle se trouve, à la distance pj, un écran KL; prenons sur cet écran un élément A^, de surface œ, et proposons-nous d'évaluer son éclairement e. Si q désigne la quantité de lumière qui se propage dans le faisceau MNA„ nous aurons (7)

Or toute la lumière réfractée que reçoit A^ passe, avant de traverser la lentille, par l'élément conjugué A^, de surface c^ et situé à la distance p,, et, si nous négligeons les pertes par réflexion ou par absorption, g est la quantité de lumière que l'élément Aj envoie A la lentille.

Premier cas. — Supposons que l'objet lumineux soit précisément en Aj, c'est-à-dire cherchons l'éclairement de son image. L'angle MAjN est en général assez petit pour qu'on puisse appliquer la formule de Lambert (10), de sorte qu'en appelant K l'éclat de l'élément Aj de l'objet, on a

D'autre part, les surfaces Cg ©t a^ sont liées entre elles par la relation (113)

On en déduit

KS

Pi

Il en résulte que l'éclairement de l'élément A^ est le même que celui que produirait une surface lumineuse d'éclat K ayant même position et même grandeur que la lentille ; si, en particulier, on met l'œil en A^, la lentille doit apparaître comme un cercle d'éclat uniforme et égal à K.

Second cas. — Supposons l'objet lumineux à une distance de la

lentille a différente de p^ et soit S' la surface de la partie PQ de cet objet qu'intercepte le cône MAjN. La quantité de lumière q est celle qui se propage dans le faisceau PQA^ et si K' désigne Véclat moyen de PQ, on a

K' or. S'

D*autre part,

S^(a-Pi)»

On en déduit

résultat analogue au précédent.

En particulier, si Tobjet lumineux est une surface d'éclat uniforme, assez étendue pour occuper toute la région PQ, Téclairement est le même que celui que produirait une surface de même éclat substituée à la lentille.

Remarque, — Pour tenir compte des pertes par réflexion ou par absorption dans la lentille, il suffirait de multiplier l'éclairement calculé plus haut par un coefficient de transmission dépendant de la lentille considérée.

Il est clair que les considérations qui précèdent s'appliqueraient également à un miroir et même à un système optique quelconque.