UT UI VT = VD

et, comme UI P,E,

VF,-a:.

VF, -

d'où l'on tire

jr, = VF

La valeur de a?, est donc indépendante du rayon considéré; donc les directions de tous les rayons d'un faisceau incident parallèle à l'axe

rencontrent les directions des rayons réfractés correspondants sur un même plan perpendiculaire à l'axe et qu'on appelle plan principal. Le point Pj où ce plan rencontre Taxe est un point principal. Pour déterminer VFg, appliquons à la surface V la formule (3) du n° 104, en remarquant que T et Fg sont conjugués par rapport à cette

surface,

Fig. 111.

Portons la valeur de VFj, tirée de cette équation, dans l'expression de x^; il vient

En considérant un faisceau parallèle se propageant dans le milieu Wj, on trouverait de même un autre plan principal P^ (fig. 111) dont la distance UP, ou a;^ à la face U serait donnée par réquation

— tu — x»=:e i — H — •

128. 2"* Cas d'un nombre quelconque de surfaces. — Il est évident qu'il y aura toujours deux foyers principaux, F^ et Fg. Je dis qu'il y aura aussi toujours deux plans principaux. En effet, supposons l'existence de ces deux plans établie pour k surfaces; je vais

la prouver pour A' -f- 1 .

" ièir.e

iieme

"iB

Soient T (fig. 112) la ^*« surface, V la (A: H- 1) Sj? la direction d'un rayon incident parallèle à l'axe principal, IK la direction du rayon réfracté entre les surfaces T et V, KR sa direction dans le dernier milieu, F le second foyer principal et APle second plan principal pour k surfaces, Fj le second foyer principal pour k -\- i surfaces, B l'intersection de KR avec Sa?, et BP, une perpendiculaire à l'axe. Je dis que Pg est un point principal. En effet, on peut écrire successivement

Fig. 112.

PjFj PgB PA

VFo

VK — VK

PF VF*

Rapprochons les rapports extrêmes : VF^, PF et VF sont indépendants du rayon considéré, il en est donc de même de PjF,, et le point Pg est fixe.

Les deux plans principaux sont deux plans conjugués, et de plus, tout point lumineux Q,, situé dans Tun d'eux et résultant du concours de rayons qui se propagent dans le milieu correspondant, a son image Qg dans l'autre à la même distance de l'axe principal. En effet, le rayon incident qui aurait la direction QjQ^ parallèle à Taxe (fig.

113) donnerait le rayon réfractéQjFj, et le rayon incident

^iQv ^^^ passe aussi par le point Q,, donnerait le rayon réfracté Q1Q21 qui passe aussi par le point Q^.

Le segment PjPj, c'est-à-dire la distance du premier au second plan principal, s'appelle interstice du système.

129. Distances focales principales et distances conjuguées. — Nous appellerons distances focales principales, et désignerons par /*, et f^ les segments PjF^ et PgFj.

Nous appellerons distances conjuguées et désignerons par p, et pj les distances d'un point lumineux au plan principal Pj et de son image au plan principal Pj.

130. Construction de l'image d*un point avec les foyers et les plans

principaux. — Faisons maintenant abstraction des surfaces réfringentes pour ne plus considérer que les foyers principaux F^, Fj, (fig. 114) et les plans principaux P,, P^. Proposons-nous de cons-

Fig. 114.

truire l'image d'un point B^ situé dans le milieu n^. Soit BJ un rayon parallèle à l'axe principal; le rayon réfracté doit passer par le point Fj et rencontrer la direction du rayon incident sur le plan principal Pj*, nous pouvons donc tracer le rayon réfracté IFg. Considérons d'autre part le rayon incident BjF, .; le point K où sa direction rencontre le plan principal Pj est un point du rayon réfracté et celui-ci est parallèle à l'axe. L'intersection des deux rayons réfractés donne le point Bg, image du point B^.

131. Équation aux distances conjuguées et formule du grossissement. — Soit C le point de rencontre de B,I avec le plan principal Pj, D le point de rencontre de KB, avec le plan principal P„ et AjBj l'image de Fobjet A^B, perpendiculaire à Taxe.

Les triangles semblables KP,F,, KCBj donnent

or,

KPi = — AjBj et PjC = AiBi;

donc, en désignant par y, et y, les segments A^B^ et A,B„ on a

— 2^2 + yi Pi' De même, les triangles IP,Fj et IDB, donnent

— vi A

— Vi + Vî Pi

Ajoutons ces deux égalités membre à membre, et nous retrouvons Téquation générale

Au lieu d'ajouter, divisons membre à membre, et nous retrouvons l'équation

Vi h Pi

La considération des triangles F^P^K et F|A,Bj d'une part, F^PJ et FjAgBj d'autre part, nous donnerait

(3 bis) q, q^ = /; /i

^ ^ Vx 9i fi

132. Relation entre les distances focales. — Dans le cas de deux surfaces (127 et fig. 110), les distances focales sont données par les expressions suivantes :

En prenant le rapport et appliquant la relation qui lie les distances focales d'une surface aux indices (103), on trouve

Donc les valeurs absolues des distance focales sont entre elles comme les indices extrêmes.

Je dis que la relation s'applique à un nombre quelconque de surfaces. En effet, considérons un objet AiBj et son image A^B,. La combinaison des équations (3) et (4), entre lesquelles nous élimi-

nerons

^ ou -^ï donne

P.=A(i-^j et P.= A(i-f|).

Pour une autre droite A.\B\ et son image A',B'j, on aurait

d'où

et, en combinant,

P't — Pi ^ P'i — P^

Or p'j — Pj représente un segment l^ indépendant de Torigine des segments pj et p'j, p\ — p^ un segment /^ image du premier; écrivons

Si nous appliquons cette formule générale k une seule surface, nous savons que nous pouvons remplacer les distances focales par les indices qui leur sont proportionnels, en changeant le signe. Donc, en considérant les images successives formées dans les milieux intermédiaires, nous aurons

nxVxV'x nyy'

«îî^aVî

Rapprochons les deux rapports extrêmes et comparons avec Téga- Hté (5) ; il vient

133. Points nodanx ^ — A partir du foyer Fj (fig. 115) portons sur

Fig. 115.

Taxe une longueur F^Nj égale, en grandeur, direction et sens, au

1. La considération des points nodaux est due à Listing {Mémoires de Gœttingue, 1845).

il2 OPTIQUE

segment /g, à partir du foyer F, une longueur F, Nj égale au segment /*,. Les points Nj et Nj, ainsi définis, sont conjugués, car si, dans Téquation (3 bis), nous faisons g^ = f^ et ^, = /i, elle devient une identité. Donc, un rayon incident B,Nj, passant par N|, donnera un rayon émergent NjBj passant par Nj. Je dis, de plus, que ces rayons sont parallèles. En effet, considérons, sur ces rayons, les point conjugués B,,Bj, et soit AjjBj l'image de AjB,. Les expressions (4 bis) combinées donnent

.V2 A — Qi 2/1 ~ - 7i H- fi

c'est-à-dire

A,B, FgN, — F,Aa A^Fa -f F^N, AjN^ AiBi ■" - FiAi -f FiNi - AiF, + F^^[ - X:[R[-

Rapprochons les rapports extrêmes; ils nous montrent que les triangles rectangles AjBjNj et A^BjNj sont semblables, et les côtés B,Nj, BjNj parallèles.

Donc les rayons dirigés à Tincidence vers le point N^ ne subissent, en traversant le système réfringent, qu'un déplacement latéral, et passent tous par le point Ng. Ces points N, et N, s'appellent points nodaux. Leurs distances aux points principaux sont

Pi Ni = P2 N2 = /i -f A.

Les points nodaux peuvent être utilisés pour la construction des images : on tracera la droite BjNj et on mènera par N, une droite parallèle N^B,.

134. Points de Bravais. — On appelle ainsi les points de Taxe principal qui coïncident avec leur propre image. Les distances conjuguées d'un point et de son image doivent satisfaire k Téquation

Pi P% Si on appelles l'interstice Pj Pj (fig. 116) positif ou négatif suivant

que Pi est en avant ou en arrière de P„ on exprimera que le point et son image sont confondus en écrivant

Pi = Pi + e.

En résolvant ces deux équations par rapport à p^, on trouve

Pi = I [a + A - e ± V(/i + A-eP-f-4eA] .

Si la condition de réalité est satisfaite, les deux points indiqués par cette formule sont symétriques par rapport au milieu 0 du segment NjPj ou NjPi.

Un plan perpendiculaire à l'axe et passant par un point de Bravais est à lui-même son conjugué, mais le grossissement peut avoir une valeur quelconque : nous avons déjà vu, dans le cas d'une lentille mince quelconque (108), l'image se former dans le même plan que l'objet avec des dimensions différentes.

135. Plans anti-principaux. — La condition que l'image soit égale à l'objet et de même sens peut s'exprimer, d'après les équations (4), par l'égalité

Pi - A -

ce qui donne Pi = 0 et, par suite, p^ = 0. Les plans principaux ont donc seuls cette propriété, que nous leur avions déjà reconnue (128). La condition que l'image soit égale à l'objet, mais de sens inverse, s'exprime par

Pi — fi

ce qui donne p^ = 2/^ et, par suite, p, = 2/*,. Les plans conjugués déterminés par ces expressions portent le nom de plans anli-pr'mci' paux.

136. Application anx lentilles minces. — Une fois l'existence des plans principaux établie, les constructions et les calculs qui ont suivi ont eu la plus grande analogie avec ce que nous avions fait pour les lentilles minces.

Dans celles-ci, les plans principaux se trouvent confondus sur Ta lentille mince. Les points nodaux sont confondus aussi et représentés par le centre optique. Un axe secondaire d'une lentille mince se trouve brisé, en quelque sorte, dans une lentille épaisse, en deux segments parallèles passant respectivement par les deux points nodaux.

Les points de Bravais sont toujours réels dans une lentille mince, et situés à des distances de la lentille 0 et /i -+-/s : ce sont le sommet et le centre optique.

Les plans anti-principaux ne présentent aucune particularité nouvelle dans les lentilles minces.

137. Cas de réflexions. — Supposons qu'une des surfaces sphériques que nous avons toutes, jusqu'à présent, considérées comme réfringentes, soit envisagée comme surface réfléchissante. Les résultats obtenus dans l'hypothèse d'une réfraction sont encore applicables : il suffit, comme nous l'avons déjà vu (100), de supposer, dans les

formules établies, les deux indices consécutifs égaux et de signes contraires.

En particulier, les foyers principaux et les plans principaux subsistent, comme il serait facile de le vérifier en substituant une réflexion à une réfraction dans la démonstration du n** 127.

L'existence des plans principaux entraîne l'exactitude des formules (3) et (4).

Considérons maintenant la démonstration générale de la formule (2) du n« 132.

La formule (5),

est toujours applicable; mais si nous l'appliquons à une réflexion, les distances focales f^ et /g sont égales et de même signe et le signe — subsiste. Dans la série des rapports

il y aura donc autant de changements de signe que l'on considère de réflexions.

Si le nombre des réflexions est pair, par exemple si l'on considère la lumière transmise par un système optique en tenant compte de réflexions à l'intérieur, il n'y a rien à changer à ce qui précède, et l'on a toujours

fi n

%Mais si le nombre des réflexions est impair, si l'on considère, par exemple, la lumière* renvoyée par un système optique en tenant compte de réflexions intérieures plus ou moins nombreuses, le dernier rapport est précédé du signe — , et il vient

/i = îîi.

les distances focales sont de même signe, et les foyers situés du même côté par rapport aux plans principaux.

138. Cas d'une seule réfle^don. — Un cas particulièrement important est celui dans lequel on considère les rayons réfléchis sur la face postérieure d'un système optique, réfractés une seconde fois au travers des surfaces déjà traversées et renvoyés finalement dans le premier milieu.

11 ne peut y avoir, dans ces conditions, qu'un seul foyer, car les rayons ne peuvent que d'une seule manière traverser les surfaces réfringentes et se réfléchir sur la surface réfléchissante. Pour la

même raison, il ne peut y avoir qu'un plan principal. Le système est donc équivalent à un simple miroir sphérique.

Soient A, B, C, M (fig. 117) les surfaces constituant le système considéré, SIKLML'K'rS' la marche d'un rayon réfléchi au sommet M de la dernière surface. Cettç marche est symétrique par rapport à Taxe et les directions SI, S'I' d'incidence et d'émergence se rencontrent sur Taxe en un point M'. C'est en ce point que doit se trouver le miroir équivalent au système; or ce point est l'image du point M formée par les rayons de retour.

Considérons encore un rayon dont la direction, entre les surfaces G et M, passe par le centre 0 du miroir M; ce rayon doit revenir sur lui-même; donc le point 0', où ses directions d'incidence et d'émergence rencontrent l'axe, est le centre du miroir M' ; or ce point est aussi l'image du point 0 formée par les rayons de retour.

Le milieu du segment M'O' sera le foyer du système.

Prenons pour exemple une lentille mince étamée à sa face postérieure.

Soient M (fig. 118) son sommet, 0^ et Of les centres de ses deux faces, n son indice. Elle est équivalente à un miroir sphérique dont

Fig. 117.

Fig. 118.

le centre 0', image du point 0, dans la surface du centre Oj, est déterminé par l'équation (99)

"Mô; . MO' ~ MO. •

Le miroir équivalent serait plan si MO' était infini, ce qui donne

MO, n— 1