I. — VERNIER

On mesure les longueurs au moyen de règles ordinairement divisées en millimètres, l'épaisseur inévitable des traits, jointe à leur multiplicité, empêchant, en général, de pousser la division plus. loin. Pour apprécier les fractions de millimètre, on a recours à un instrument auxiliaire, le vernie?' *.

268. Vemler an dixième. — Sur une petite règle, qu'on peut faire glisser parallèlement à l'arête de l'échelle métrique, prenons une longueur égale à 9 millimètres et divisons-la en dix parties égales, nous aurons le vernier au dixième. Chacune des divisions du vernier vaut yô ^^ millimètre, et la diflférence entre une de ces divisions et une division de la règle est de yô ^^ millimètre; par conséquent, si le zéro du vernier coïncide avec un trait de la règle, les traits 1, 2, 3, etc. du vernier seront distants des traits correspondants de la règle de ^, -j^, ^, etc. de millimètre, et le trait 10 du vernier sera sur le prolongement d'un trait de la règle, éloigné du premier de 9 millimètres. Que l'on déplace alors le vernier, les distances entre les traits du vernier et ceux de la règle vont changer. Si le déplacement est d'un nombre exact de dixièmes de millimètre,

1. Ainsi que l'a fait remarquer Lalande, dans sa Biographie astixmomiquej cet instrument doit réellement s'appeler vernier. On en trouve la première description dans l'ouvrage : la Construction^ Vusage et les propriétés du qv/idrant nouveau de mathématiques^ etc., du franc-comtois Pierrb Vernier, publié à Bruxelles en 4631. L'instrument donné en 1542, par le portugais Pedro Nunnez (Nonius), repose sur un principe différent.

MESURE DES LONGUEURS ET DES ANGLES

3 par exemple, le trait 3 du vernier sera sur le prolongement d'un trait de la règle; il y aura coïncidence entre eux, et la valeur du déplacement en dixièmes de millimètre sera précisément donnée par le numéro du trait où la coïncidence a lieu. Si, au contraire, ce déplacement n'est pas égal à un nombre exact de dixièmes dé millimètre, s'il est égal à ^"*" -f- a, par exemple (a étant moindre que ~ de millimètre), il n'y aura nulle part coïncidence entre un trait du vernier et un trait de la règle; mais le trait 3 du vernier sera distant du trait correspondant de la règle de la longueur a. Dès lors, la distance entre le trait 4 et le môme trait de la règle sera égale à -^ + a, c'est-à-dire moindre que 1 millimètre. Ce trait 4 se trouvera donc en deçà du trait suivant de la règle. Il y aura, dans ce cas, une division du vernier, et cette division sera évidemment la seule, tout entière comprise dans une division de la règle; de plus, la valeur du déplacement, à un dixième de millimètre près, sera donnée, soit par excès, soit par défaut, par le numéro de l'un ou de l'autre des deux traits qui forment cette division du vernier.

Il est maintenant facile de comprendre comment le vernier peut servir à la mesure des longueurs. L'une des extrémités de la longueur inconnue étant mise en coïncidence avec le zéro de la règle divisée, l'autre extrémité sera, en général, comprise entre deux traits de la règle; ce que l'on cherche, c'est la distance de cette

extrémité au trait

1S 19 SO «1 89 n U iS % tJ n 89 ZQ

rzi

qui la précède immédiatement. Pour l'obtenir, on fait glisser le vernier jusqu'à ce que son zéro soit en regard de cette extrémité.

La distance à évaluer, du zéro du vernier au trait de l'échelle métrique,

pouvant être considérée comme un déplacement du vernier, deux

cas vont évidemment se présenter.

1° Il y a coïncidence (fig. 178) entre un trait du vernier et un trait

de la règle. Il suffit alors de lire le numéro du trait du vernier où se

produit la coïncidence pour avoir exactement la longueur à mesurer;

dans le cas de la figure, elle est égale à 20°^"^ ,5. 2<* Il n'y a pas coïncidence (fig. 179). Il y a alors une division du

vernier comprise tout entière dans une division de la règle, et le

numéro de l'un ou de l'autre des traits du vernier qui forment cette

23A56 789 10 Fgi. 179.

division donnera la longueur inconnue, à un dixième de millimètre près, soit par excès, soit par défaut; dans le cas de la figure, elle est égale à 4"*", 4 par défaut, ou à 4""*,5 par excès, et cela à un dixième de millimètre près.

Mais, en général, Tapproximation peut être poussée plus loin. Si les intervalles compris entre chacun des traits du vernier et le trait voisin de la règle étaient égaux entre eux, il est bien clair que la longueur inconnue serait exactement 4'"",4o; si ces intervalles diffèrent Tun de l'autre, on fera la lecture du côté du plus petit d'entre eux. A cet eflfet, on dispose au-dessus du vernier une loupe qui facilite la lecture et permet d'apprécier la grandeur relative des intervalles. Supposons que Tintervalle 8 — 4 soit moindre que l'intervalle 5 — 9; comme leur somme est égale àO"»™,l, Terreur commise sera moindre que tô™"*» ^^ sorte que, dans ce cas, la longueur à mesurer est égale à 4"^'«,4 à moins de o"*".

269. Cas iifénérai. — La théorie du vernier est maintenant évidente. Soit D la grandeur d'une division de la règle, d celle d'une

division du vernier, et - D l'approximation qu'on veut obtenir

dans la mesure des longueurs; la diflférence entre une division de la règle et une division du vernier devra être telle que

D — rf = i D, d'où

D (n — 1) = dn.

On prendra donc une longueur égale an — 1 divisions de la règle, et on la divisera en n parties égales pour constituer le vernier. Ce vernier présentera les mêmes particularités que le vernier au dixième ; deux cas différents seront encore à considérer, celui de la coïncidence et celui de la non-coïncidence. Dans le premier cas, la longueur inconnue se mesurera exactement; dans le second, on en

obtiendra la valeur avec une approximation égale à ^D, L'approximation croîtra donc avec n, et théoriquement elle sera indéfinie; mais physiquement elle sera limitée par l'épaisseur même des traits du vernier.

Le vernier s'emploie aussi d'une autre manière. Supposons, comme exemple, qu'on construise un vernier en divisant en 10 parties égales une longueur égale à 11 divisions de la règle. Une division du vernier est alors les j^ d'une division de la règle, et la différence entre les divisions de la règle et celles du vernier vaut rô"°; le vernier est encore au dixième. On aurait généralement

rf -^ D = " D,

MESURE DES LONGUEURS ET DES ANGLES

d'où

D (n + 1) = dn.

et ce vernier s'emploierait comme les précédents, à cela près qu'il devrait être divisé en sens inverse de la règle.

270. Application. — Quand le vernier est destiné à la mesure directe des longueurs, on le dispose comme un compas d'épaisseur.

La règle porte un talon A (fig. 181), contre lequel on fait buter la

fr ""

llll||illllll

iilllfrri'iV'

Fig. 180.

Fig. 181.

longueur à mesurer. Sur la règle glisse un curseur terminé aussi par un talon B; la figure 180 donne une coupe de l'appareil. Le curseur est percé d'une fenêtre dont l'un des bords, taillé en biseau porte les traits du vernier. Par cette fenêtre on aperçoit les divisions de la règle, tracées au milieu de sa largeur, en regard de celles du vernier. Le zéro de la règle coïncide avec celui du vernier, lorsque le talon B est en contact avec le talon A ; d'où il suit que la distance du zéro du vernier au zéro de la règle mesure à chaque instant la distance AB. Comme on peut construire des verniers permettant d'évaluer les distances à moins de toô™""» c'est-à-dire des verniers au âVî il est impossible de mouvoir à la main le curseur B. On emploie alors un second curseur L, adapté à la règle comme le premier, qu'on y peut fixer par une vis de pression D et qu'on relie au ver-

Fig. 182.

nier par une vis de rappel V. Cette vis sert à rapprocher très lentement le curseur mobile du curseur fixe ; elle tourne sans avancer dans une cavité sphérique (fig. 182) du curseur fixe, et déplace un écrou porté par le curseur mobile. Pour se servir de l'instrument, on desserre la vis de pression et on fait glisser à la main l'ensemble des deux curseurs, de manière que le talon B vienne presque toucher l'extrémité de la longueur à mesurer. On serre alors la vis de pression, et, en tournant lentement la vis V, on amène B à être exactement en contact avec cette extrémité.

La disposition que nous venons de décrire est toujours celle que Ton emploie, quand on veut adapter le vernier à un instrument de précision. Nous la retrouverons dans le baromètre et dans le cathétomètre.

271. Vernier elrenialre. — Le vernier peut encore servir à la mesure des arcs de cercle, qu'ils soient divisés en millimètres ou en degrés. Sa construction repose toujours sur les mêmes principes. Ainsi, par exemple, un cercle étant divisé de 10' en 10', on veut construire un vernier qui donne les 10'^

Un intervalle angulaire de IC étant la soixantième partie d'un intervalle angulaire de 10', l'approximation que Ton veut obtenir est de ^ ; on prendra donc un intervalle égal à celui de 59 divisions du cercle, et on le divisera en 60 parties égales.

Une disposition analogue à celle de la figure 181 est d'ailleurs adaptée au vernier circulaire, que l'on rencontre dans le graphomètre, le sextant, le théodolite, etc.

272. Application. — Nous décrirons seulement le comparateur, dont le principe est intéressant à connaître. Cet instrument sert à apprécier, avec une approximation bien supérieure à celle du vernier, la différence entre deux règles de longueurs très sensiblement égales, mais ne donne pas la valeur absolue de ces longueurs.

Un levier coudé horizontal AB (fig. 183) est mobile autour d'un

Figr. 183.

axe vertical 0. L'extrémité B de la grande branche porte un vernier qui parcourt un arc divisé, et l'extrémité A de la petite presse normalement, sous l'action du ressort R, une pièce C mobile dans une coulisse. Si cette pièce n'éprouve que de faibles déplacements, on pourra toujours la considérer comme normale à l'extrémité A, et prendre l'arc décrit par cette extrémité pour mesure des déplacements.

Pour que l'instrument puisse servir pour des longueurs dont la valeur absolue soit très différente, on le dispose, comme le montre la figure, sur une table qui porte un talon fixe D. Entre G et D, on place successivement les deux règles à comparer, et on note la position du zéro du vernier dans les deux cas.

Soient :

D la longueur d'tone division de l'arc.

MESURE DES LONGUEURS ET DES ANGLES

-D rapproximation du vernier,

m le rapport des distances OB et OA, 8 le déplacement du vernier,

on apprécie (269) un déplacement de B égal à g- D, ce qui correspond

il 1

à un déplacement de A égal à ^ — D; —8 est donc, à 5 — D près,

la différence des deux longueurs. Généralement, Tare est divisé en demi-millimètres, le vernier est au dixième et le grand bras vaut dix fois le petit : Tinstrument rend donc sensible une différence égale à j^-^ de millimètre.

Pour obtenir la valeur de rw, il suffit d'opérer avec deux règles dont la différence de longueur soit exactement connue d'avance.

n. — VIS MICROMÉTRIQUE.

La vis sert surtout à mesurer avec précision les petites distances. Ses propriétés dérivent de celles de Vhélice que nous allons étudier.

273. («éuératton et propriétés de rhélice. — Soit un cylindre de révolution ABKL (fig. 184). Après l'avoir ouvert suivant une de ses génératrices, développonsle sur un plan, nous obtiendrons un rectangle BADF.

Au moyen de droites parallèles à la base AD, divisons ce rectangle en un certain nombre de rectangles égaux; menons les diagonales de tous ces rectangles et enroulons de nouveau la feuille sur le cylindre; ces

diagonales y traceront une courbe continue, Vhélice^ qui se compose de spires évidemment superposables Tune à l'autre et en nombre égal à celui des rectangles partiels.

Pour plus de clarté, nous limiterons, dans ce qui va suivre, l'hélice à une de ses spires, la spire AGE, par exemple. Le point de départ A est Vorigine et CD le pas de l'hélice, AP est Vabscisse curviligne et MP V ordonnée du point M de la courbe.

Théorème. — L'ordonnée d'un point de Vhélice est proportionnelle à son abscisse curviligne.

Fig. 184,

On a, en effet, en déroulant le cylindre,

Désignons par :

h le pas de l'hélice, R le rayon du cylindre, Tégalité précédente deviendra

MP m£ CD