Cas général. — Mais
il n'en est plus de même lorsque les trois points A, 0, B ne sont pas en ligne droite. Nous allons chercher ce que devient alors la condition d'équilibre.
Soient (fig. 223) :
l la longueur commune des bras du fléau,
Fig. 223.
2çp l'angle qu'ils comprennent,
d la distance à l'axe du centre de gravité situé sur la bissectrice de Tangle AOB,
TT le poids du fléau,
P et P -h p les forces appliquées aux extrémités du fléau,
a l'angle dont le fléau s'incline pour atteindre une nouvelle position d'équilibre A'OB'.
Les trois forces w, P et P -h p, ayant une résultante égale à leur somme, ne peuvent se faire équilibre qu'autant que cette résultante rencontre l'axe de suspension ; son moment, ou la somme algébrique des moments des trois composantes par rapport à cet axe, est donc nul. Or les moments des trois forces P, tt et P-h/> sont respectivement
P/sin(ç + a), Trdsina, — (P + ;>)/sin(9 — a),
l'équation d'équilibre est donc
P/sin(9 4- «) + TC^sina — (P + p)/sin(9 — a) = 0.
En développant, réduisant et divisant tous les termes par cos a, on trouve déflnitivement
. pi sin 9
^ ^^ ~" (2 P 4- p) / cos <p + %cr
Telle est l'expression que nous allons discuter pour trouver la position d'équilibre du fléau et la sensibilité de la balance. Nous distinguerons deux cas suivant que cp est aigu ou obtus, le cas où il est droit ayant été traité précédemment.
/. cp est aigu. — Il peut arriver que le centre de gravité soit au-dessous ou au-dessus de l'axe, ou en coïncidence avec lui. Il est aisé de voir que, dans le second cas, le poids du fléau tend à faire tourner l'appareil en sens contraire, et qu'il faut par conséquent changer de signe le moment de la force tu, ou, ce qui revient au même, regarder d comme négatif.
1° d est positif. — Il est visible que a est inférieur à cp, car si oo néglige Turfau dénominateur, on trouve, en divisant par /,
tga <lg 9;
il y a donc toujours une position d'équilibre. Quant à la sensibilité,, elle est d'autant plus grande que, pour une même valeur de /), tg a est plus grand ; elle dépend donc de la fraction
/sin 9
(2P -hp) / cos 9 + ird •
Quand cp augmente, le numérateur augmente, le dénominateur diminue, la fraction augmente donc pour deux raisons. Elle aug-
mente également quand tt ou (/diminuent. Enfin, en divisant d'abord les deux termes par /, on voit que la sensibilité croît avec la longueur des bras du fléau.
^"^ à est nul, — Le centre de gravité est alors situé sur Taxe, et l'expression de a devient
Il y a encore une position d'équilibre, puisque Ton a
tg a < Ig 9,
mais la sensibilité est indépendante de la longueur du fléau, ce qu'il est très facile d'établir directement sur la figure, et elle est d'autant plus petite que la charge totale est plus grande. Toutes choses <3gales d'ailleurs, cette sensibilité augmente avec cp, et si © devenait droit, a le deviendrait aussi, et le fléau se placerait verticalement, comme on l'a déjà vu.
3° d est négatif, — Si l'on convient de représenter encore par d la valeur absolue de la distance OG, il faut alors écrire ainsi l'équalion qui donne a :
. pi sin 9
Pour qu'il y ait une position d'équilibre, il faut que a soit inférieur à <p, et comme cp est lui-même inférieur à un droit, il faut d'abord que l'on ait
(2P + p) / cos 9 — TT d > G,
et en outre
ce qui donne
p/ sin 9 ^ sin <p
(21* + p) / cos 9 — %d cos 9*
2P/ cos 9 — wrf > 0,
condition qui entraîne la première.
Supposons que /, cp et ir soient invariables dans la balance dont on s'occupe, mais qu'on puisse à volonté modifier la valeur de d\ l'inégalité précédente pouvant s'écrire
, ^ 2Pl ces 9 d < — ^,
on voit que, pour une valeur donnée de P, il y a pour d une valeur limite qu'il ne faudra pas dépasser si l'on veut avoir une position d'équilibre . Pour toute valeur de d égale ou supérieure à cette limite, on dit que la balance est folle, La sensibilité étant d'autant plus grande que le dénominateur de tg a est plus petit, il y a avantage à élever le centre de gravité de manière à ce qu'il s'approche
de sa position limite sans la dépasser toutefois. A cet effet, on tourne un écrou placé au-dessus du fléau, ce qui modifie la position du centre de gravité, de manière à rendre la balance presque folle.
Si l'on suppose au contraire la position du centre de gravité invariable, on voit que la balance ne pourra servir qu'autant que Ton aura
/ cos 9 '
c'est-à-dire que la charge sera supérieure à une limite déterminée, au-dessous de laquelle la balance deviendrait folle.
Dans le cas qui nous occupe, on peut d'ailleurs remarquer d'une manière générale, que la sensibilité diminue quand la charge augmente.
//. cp est obtus. — Introduisons dans la valeur de a, à la place de cp, son supplément cp', la formule deviendra
p l sin 9'
tg a =
Tcd — (2P-i- p)/cos 9"
OÙ d est positif. Pour servir aux pesées, il faut que la balance puisse prendre une position d'équilibre, a doit donc être inférieur à ©', ce qui exige d'abord que Ton ait
et en outre
ce qui donne
urf — (2P -h p) l cos 9' > 0,
pi sin 9' ^ sin 9'
Tzd — (2P -\- p) l cos 9' cos 9''
urf — (2P + 2/)) / cos 9' > 0,
condition qui entraîne la première. Elle peut s'écrire
(2P -f 2p) / cos <p'
Si l'on suppose encore le centre de gravité rendu mobile par l'emploi d'un écrou placé au-dessus du fléau, il y a toujours, pour une charge déterminée, une position limite du bouton pour laquelle la balance devient folle.
Si l'on suppose au contraire la position du centre de gravité invariable, on voit que la balance ne pourra servir qu'autant que Ton aura
2P + 2p < ~^, ' '^ ^ / cos 9 '
c'est-à-dire que la charge sera inférieure à une limite déterminée au-dessus de laquelle la balance deviendrait folle. Il est d'ailleurs à remarquer qu'ici la sensibilité augmente avec la charge.
Toute cette discussion met en lumière deux faits généraux importants :
1^ Si l'on place sur le fléau d'une balance un écrou mobile, destiné à faire varier entre certaines limites la position de son centre de gravité, il existe toujours une position du bouton pour laquelle la balance s'affole quand on la charge à ses extrémités de poids égaux ayant une valeur déterminée. En donnant à Técrou une position
Fig. 224.
voisine de cette position limite, l'observateur peut modifier à volonté Ja sensibilité de son instrument.
2® Si Ton fait varier les poids égaux appliqués aux extrémités de l'appareil, sa sensibilité ne reste pas la même, et pour profiter de toute celle qu'il comporte, il faut nécessairement modifier la position de Técrou. La sensibilité n'est indépendante de la charge qu'autant que les trois points A, 0, B sont en ligne droite ; or il est non seulement très difficile, sinon impossible, de réaliser cette condition, mais en admettant même qu'elle fût remplie pour une charge donnée, elle cesserait de l'être pour une autre, les bras du fléau fléchissant inégalement sous des charges inégales.
319. Balance de précision. — Cette flexion est d'autant plus à craindre que, pour se conformer aux indications de la théorie, on emploie un fléau long et léger. Mais comme on démontre, dans la théorie de Télasticité, que la flexion d'une barre de longueur donnée est d'autant moindre que le côté vertical de sa section est plus grand par rapport au côté horizontal, on a soin de découper le fléau dans une règle plate en bronze, et on lui donne la forme d'un losange allongé (fig. 224). On évide d'ailleurs ce losange intérieurement pour diminuer son poids sans altérer sensiblement sa résistance.
Le fléau est percé en son milieu d'une cavité traversée par un parallélépipède en métal qui porte un plan d'agate sur sa face supérieure. Ce parallélépipède est fixé à l'extrémité d'une colonne verticale que supporte un pied muni de vis calantes destinées à rendre le plan d'agate horizontal. Enfin sur ce plan repose par son arête A un couteau d'acier qui traverse le fléau.
A la partie supérieure du fléau est disposé un pas de vis t le long duquel se meut l'écrou m dont on a parlé précédemment. Quelquefois on en emploie deux de diamètres très diff'érents; le plus grand sert à donner approximativement au centre de gravité la position voulue, et l'opération s'achève avec le plus petit. Le fléau porte à ses extrémités 0 et 0' deux couteaux I [fig. 225)
dont les arêtes sont placées K en sens contraire de celle du
couteau principal. Sur ces couteaux reposent, par des plans d'agate, deux étriers E destinés à supportei- les plateaux. La figure représente l'appareil vu de face et de profil. Les plateaux sont attachés en K à la partie inférieure d'une tige qui termine l'étrier. Il résulte de cette disposition que, l'appareil étant en équilibre, le centre de gravité du système formé par un plateau et les corps qu'on y a mis se trouve dans le plan vertical qui passe par l'arête du couteau de suspension ; on peut donc considérer les forces P et P -h/) (316) comme rigoureusement appliquées à ces arêtes.
On fixe au fléau (fig. 224) une aiguille S qui se meut devant un arc divisé, porté par le pied de l'appareil. Enfin la balance est placée
Fig. 22^.
dans une cage de verre MM, afin de la soustraire à l'agitation de Tair environnant.
Lorsqu'on fait une pesée avec une balance ordinaire, on se borne à charger l'un des plateaux de poids qui ramènent l'aiguille devant un repère fixe. Comme il existe toujours dans l'appareil des frottements assez considérables, on peut déterminer ces poids sans avoir à craindre des oscillations trop nombreuses; il n'en est plus de même pour les balances de précision. L'appareil, une fois écarté de sa position d'équilibre, n'y revient qu'après des oscillations nombreuses qui rendraient les pesées extrêmement longues. On a donc imaginé la disposition suivante :
On soulève le fléau au moyen d'une fourchette F que l'on peut élever ou abaisser à Taide du bouton B placé à l'extérieur de la cage. La partie supérieure du fléau porte des vis dont les pointes pénètrent dans des godets fixés à la fourchette. Deux butoirs qu'on voit un peu plus loin limitent le déplacement du fléau. En outre, pour que le, couteau I (fig. 223) ne s'émousse pas sous l'action des secousses qu'il éprouve lorsqu'on charge le plateau, la fourchette F porte à ses extrémités des godets dans lesquels s'engagent les pointes de deux vis fixées à l'étrier E. L'appareil est disposé de telle sorte que les plateaux soient soulevés avant le fléau, et comme il importe que la fourchette n'éprouve aucun déplacement latéral, elle est guidée dans sa marche par deux rainures verticales. La fourchette est soulevée lorsque la balance est au repos.
On se sert, pour les pesées, d'une boîte qui contient les multiples et les sous-multiples du gramme, de manière qu'on puisse reproduire tous les poids compris entre certaines limites. Cette boîte renferme, par exemple, un poids ou, pour parler plus correctement, une masse de 5 grammes, deux de 2 grammes et une de 1 gramme, qui permettent de former tous les nombres de grammes compris entre i et 10 inclusivement. Les multiples et les sous-multiples sont combinés de la même manière; on descend habituellement jusqu'au milligramme ou demi-milligramme. Un des moyens les plus simples pour se procurer les subdivisions du gramme consiste à prendre un fil de platine du poids de 1 centigramme et à l'étendre vis-à-vis d'une règle ; on le divise alors en parties qui soient entre elles comme 5, 2, 2 et 1; ces quatre parties donnent la série du milligramme.
320. Justesse. — Supposons le fléau en équilibre , l'aiguille se trouvant devant le zéro de l'arc divisé ; on dit que l'appareil est juste si deux poids égaux mis dans les plateaux ramènent l'aiguille à sa position première.
Pour trouver la condition de justesse d'une balance, supposons Tappareil chargé de deux poids égaux, P et Q, et supposons que
PESAiNTEUR
Fig. 226.
Taiguille revienne à sa position première. La résultante des forces P et Q doit passer par le point 0 (fig. 226), puisque l'équilibre n'est
pas modifié ; on a donc
Pa: = Qy,
X et y étant les distances des g points de suspension A et B à la verticale du point 0, et l'on en conclut
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour la justesse d'une balance est que les distances des points d'attache des plateaux au plan vertical passant par Vaxe soient égales^ lorsque V aiguille est au zéro.
Pour vérifier si cette condition est remplie, on procédera de la manière suivante :
L'aiguille étant au zéro, on chargera les plateaux de deux poids P et Q qui ramènent l'aiguille à sa position première, d'où Tod conclura
Vx z= Qy.
Puis on changera les poids de plateaux et on verra si l'aiguille revient encore à sa première position, ce qui donnera
Py = Q.r, et, en ajoutant membre à membre ces deux égalités,
d'où
et, par suite.
P (^ + s/) = Q (^ + yh
On comprend aisément que la condition de justessie soit beaucoup plus difficile à remplir que les conditions de sensibilité dans la construction des appareils. Une balance n'est généralement pas juste, et on opère d'ailleurs comme si elle ne l'était jamais à l'aide des méthodes suivantes qui donnent des résultats dépendant uniquement de la sensibilité.
321. Méthode de Borda. — La plus simple est celle des doubles pesées que l'on doit à Borda. On place dans l'un des plateaux le corps que l'on veut peser, on lui fait équilibre dans l'autre avec de la grenaille de plomb , des rognures de cuivre , des corps non hygrométriques, etc., c'est ce qu'on appelle la tare. On enlève le corps et on
le remplace par des poids marqués qui ramènent l'aiguille au zéro. La somme de ces poids représente le poids du corps, sauf une correction dont il sera parlé plus loin (471).
322. Méthode d'inversion. — La méthode d'inversion, qu'on emploie rarement, consiste à placer le corps dont on cherche le poids P dans l'un des plateaux et à lui faire équilibre dans l'autre avec des poids marqués Q ; on a donc (fig. 226)
On change le corps de plateau, et on lui fait équilibre avec de nouveaux poids marqués Q'; on a donc
et, en multipliant ces deux égalités membre à membre, il vient
p = y/QQ\
323. Marche d'une opération. — Chaque Opération exige quelques précautions. Quand on approche de la position d'équilibre qherchée, on doit arrêter les oscillations des plateaux, refermer la cage de la balance et abaisser de nouveau le fléau pour reconnaître le côté vers lequel il penche.
11 n'est pas toujours possible d'amener l'aiguille au zéro avec un nombre entier de milligrammes, l'addition d'un milligramme faisant, à un moment donné, passer l'aiguille de la w'^"*® division de droite à la n''®™® division de gauche; dans ce cas, une fraction
de milligramme égale à — : — ^ la mettrait au zéro.
On peut encore déterminer cette fraction , et mettre l'aiguille exactement au zéro, à l'aide d'un petit cavalier en fil de platine qu'on peut déplacer sur une tige horizontale graduée fixée au fléau : ce cavalier, de poids p, placé à une distance a? du plan ver-
tical passant par l'axe, est équivalent à un poids -jp placé k l'extrémité du fléau.
On a souvent à faire des pesées consécutives d'un corps dont le poids varie, en chimie par exemple. A cet effet, la balance est munie de doubles plateaux que l'on voit sur la figure 224, et voici comment on procède.
On met, dans l'un des plateaux inférieurs, un poids certainement supérieur à celui que le corps peut atteindre, et on lui fait équilibre dans l'autre avec de la tare. Cela posé, et sans toucher à la tare, on place le corps dans ses états successifs sur le plateau supérieur, en modifiant les poids marqués placés dans le plateau inférieur de
manière à rétablir chaque fois l'équilibre . Les diflférences entre le premier poids et les poids suivants sont les valeurs successives du poids du corps sur lequel on a opéré.
324. ExpérlcBces de Galilée. — Les lois de la chute des corps ont été établies par Galilée. Sa méthode consiste à observer les espaces parcourus par un corps qui descend un plan incliné dans une rainure parfaitement polie et placée suivant une ligne de plus grande
pente, ou par une petite poulie (fîg. 227) munie d'une chape, à laquelle on suspend un poids destiné à placer le centre de gravité au-dessous du poînt d'appui (314), et qui descend le long d'une corde tendue. Parallèlement à la rainure ou à la corde, on dispose un curseur mobile contre lequel le corps vient buter, et qui permet de mesurer les espaces parcourus; on apprécie le temps CS par la durée d'un même phénomène se K reproduisant dans des circonstances identiques, comme l'écoulement d'un liquide par un mince orifice. On comprend qu'avec une inclinaison suffisamment faible, le mouvement du corps qui tombe soit considérablement ralenti.
325. Loi du mouvement. — Galilée trouva que les espaces parcourus par le corps le long du plan incliné étaient proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir, de sorte qut si l'on désigne par a l'espace parcouru pendant l'unité de temps, et par e celui qui est parcouru pendant t unités de temps, on a la relation
En augmentant l'inclinaison du plan, on augmente la force motrice et la chute devient de plus en plus rapide jusqu'à ce qu'on atteigne la limite pour laquelle toute observation cesse d'être possible. La constante a va donc en augmentant, mais la loi observée est la même; on est donc porté à croire que la loi du mouvement uniformément varié, observée pour de faibles inclinaisons, se conserverait également pour des inclinaisons supérieures à la limite
TZ
observée, et comme, pour une inclinaison égale à ^j, on est dans le
mé
cas de la chute libre, on peut admettre par extension que le mouvement d'un corps qui tombe en chute libre est uniformément varié, sauf à rechercher plus tard si cette extension est bien légitime.
326. Théorie da plan incliné. — En réalité, on ne peut étudier la chute d'un corps sur un plan incliné qu'au moyen des principes de mécanique.
Soient donc a l'inclinaison du plan (fig. 227) et P le poids du corps. Ce poids se décompose en une force P cos a normale au plan, sans effet au point de vue du mouvement, et en une autre P sin a parallèle au plan et seule motrice ; a diminuant, cette force motrice appliquée à la même masse diminue également, et le mouvement est ralenti.
L'expression de la vitesse se déduit immédiatement de celle des espaces, car si Ton a (335)
on en conclut
V = 2at.
Le mouvement observé étant uniformément accéléré, la force Psina est constante et, par suite, la force P également.
Le corps, tombant en chute libre et sollicité à chaque instant par cette force P, prendrait une accélération g; le long du plan incliné, la force se réduit à Psina, et par conséquent l'accélération àj' sin a, de sorte que si l'on désigne par g' l'accélération le long du plan incUné, on aura entre ces deux quantités la relation
g' = g sin a.
327. Applications. — En conservant les notations précédentes, les relations
eu égard aux suivantes
2a = g', g' = g sin a,
deviennent
(1) 6 = ^5- sin a. i^y (2) o = <; sin a. t,
et ces dernières donnent lieu à des résultats intéressants.
328. En premier lieu, la vitesse (Tun corps qui aiTive au bas ctun plan incliné ne dépend que de la hauteur de ce plan.
En effet, si on élimine le temps entre les équations (1) et (2), on trouve
»a = e, 2g sin a.
En désignant par h la hauteur du plan, la figure 228 montre que
h = e sin a;
la formule précédente devient donc
et, comme elle est indépendante de a, il en résulte que la vitesse du corps en B est la même que s'il était tombé verticalement suivant AC.
