Les temps employés pour descendre suivant AC et suivant

Fi g. W8.

Fi g. 2-29.

AB sont d'ailleurs fort différents, et Ton peut, à ce propos, se poser la question suivante :

Différents plans inclinés (fig. 229) partent d'un même point A; on abandonne simultanément en ce points le long de ces plans et sans vitesse initiale^ différents mobiles dont on demande le lieu géométrique au bout du temps t.

Cf. étant rinclinaison d'un des plans, le mobile qui tombe le long de ce plan aura parcouru, au bout du temps t, un espace AB = e donné par la formule

e =z ;r g sin a. t^,

d'où Ton déduit

sin a

= Cte.

Élevons au point B une perpendiculaire à AB jusqu'à sa rencontre (in C avec la verticale du point A, nous aurons

AC = -.^— = Gte.

sin a

Le lieu géométrique cherché est donc une sphère, 330. On peut encore présenter la question de la manière suivante :

Dans un cercle vertical (fig. 230), on mène une corde BA qui passe

par le point le plus bas A du cercle^ et on abandonne en B un mobile à lui-même^ quel temps mettra-t-il à parcourir BA ? De la formule

e = - ^ sin a. t^^

on déduit

mais on sait que

on a donc

g sin a

AG ou 2R =r

sin a

=vi-

Le temps de la chute est indépendant de l'angle a, de sorte que le diamètre vertical CA et une corde infiniment petite, issue du point A, sont parcourus dans le même temps,

331. Les propositions précédentes conduisent à la solution immédiate du problème suivant :

Un point A et une droite BC (fig. 231) sont dans un même plan vertical; un plan incliné part de A et aboutit à BC. On abandonne en Xun

Fig. 231,

mobile j et on demande quelle position le plan doit occuper pour que le 7nobile ai^ive à la droite BC dans un temps minimum?

Décrivons un cercle tangent à la droite BC passant par A et dont le centre 0 soit sur la verticale de ce point; M étant son point de contact avec BC, AM est le plan demandé. En effet AM et AM' étant parcourus dans le même temps, un mobile qui descendrait suivant AP aurait à parcourir encore M'P avant d'atteindre BC.

332. Machine d*Atwood. — La machine d'Atwood est destinée, comme le plan incliné, à ralentir la chute d'un corps de manière à en rendre Tobservation plus facile. Elle se compose essentiellement

d'une poulie P (fig. 232), sur laquelle passe un fii qui porte à ses extrémités deux cylindres A el B de même masse dont les poids se font équilibre. Si Ton vient à placer sur l'un d'eux une masse additionnelle, le poids p de cette masse met tout le système en mouvement, ei, si ce poids est assez petit, le mouvement est assez lent pour pouvoir être facilement étudié. Ce procédé présente un autre avantage : comme la vitesse du corps qui tombe est très faible, Teffet de la résistance de l'air l'est également, et l'on se rapproche davantage des résultats qu'on obtiendrait en opérant dans le vide.

Les espaces parcourus par le système dans sa chute se mesurent sur une règle divisée L, portée par un pied muni de vis calantes. On peut, à l'aide de ces vis, rendre la règle parallèle au ill, ce qui est indispensable, comme on le verra tout à l'heure, l^ long de cette règle glissent deux curseurs, l'un plein C, l'autre évidé C, qui permettent d'arrêter soit le cylindre A, soit la masse additionnelle. Enfin le temps est mesuré par les battements d'un pendule qui se succèdent à des intervalles égaux, une seconde par exemple.

333. Le départ du système est réglé j... jjj automatiquement de manière à coïn-

cider exactement avec un battement du pendule. La disposition généralement adoptée est la suivante : on place le cylindre A sur une plate-forme L (fig. 233) mobile autour d'un axe horizontal et dont l'autre extrémité est maintenue par un levier recourbé F. Contre la partie inférieure de ce levier, mobile également autour d'un axe horizontal, vient buter une dent I fixée sur le contour d'une roue que le pendule me t en mouvement. Il est clair qu'au momentoù, par suite de la rotation de la roue, la dent 1 appuiera sur F, la plate-forme deviendra verticale et laissera tomber le cylindre A. Le constructeur détermine les dimensions que doivent avoir les pièces de l'appareil pour que A tombe juste au moment où le pendule bat la seconde. Dans les appareils ainsi perfectionnés, le peu-

dule fait ordinairement mouvoir une aiguille, et c'est au moment où elle passe devant le zéro du cadran que la chute se produit.

334. On a introduit encore dans la construction de la machine d'Atwood un perfectionnement assez important. Au lieu de faire reposer Taxe de la poulie P sur deux coussinets, on le fait reposer par chacune de ses extrémités sur les jantes croisées de deux roues

ftb®:

Fi g. 233.

Fig. 234.

mobiles placées dans des plans parallèles voisins. La figure 234 représente l'appareil vu de face; Oet 0' sont les centres des roues mobiles ou galets, et A est celui de la poulie sur laquelle passe le fil. Grâce à cette disposition, /o?'5çwe Vappareil est convenablement construit, il devient beaucoup plus sensible; nous en verrons plus loin la raison.

335. Mesure des espaces. — Pour observer l'espace parcouru pendant la première seconde de chute, on amène le cylindre A vis-à-vis le zéro de l'échelle divisée, en 0. Il tombe au moment où le pendule bat une seconde. On cherche, par tâtonnements, la position que doit occuper le curseur plein G pour que A vienne le frapper au bout de la première seconde, ce qui a lieu lorsque le battement du pendule coïncide avec le bruit produit par le choc du poids sur le curseur. On place ensuite le curseur plein à une distance de 0 égale à quatre fois l'espace qu'on vient de mesurer, et on constate que le choc se produit à la fin de la deuxième seconde. En continuant de celte manière, on conclut généralement que :

Les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir.

Si, tout en conservant les masses A et B, on augmente la valeur de p, on reconnaît encore que la loi est la même, mais que la constante a de l'équation

e = at^ va en augmentant aussi. Puisqu'en continuant ainsi, jusqu'à ce que

le mouvement obtenu soit trop rapide pour pouvoir être observé, la loi se vérifie, on est porté à l'étendre à la chute libre et à considérer le mouvement de tout corps qui tombe comme uniformément varié.

336. Mesure des vitesses, — Pour mesurer les vitesses, on s'appuie sur le principe de Tinertie. La vitesse à un instant donné s'obtient en supprimant le poids additionnel à cet instant; la vitesse du mouvement uniforme qui prend alors naissance est la vitesse cherchée. Pour avoir la vitesse au bout de la première seconde, on place le curseur évidé C à la distance a — ^ du zéro de la graduation, h étant la hauteur du cylindre A; p étant arrêté, on laisse A continuer son mouvement pendant la seconde suivante, et on observe l'espace qu'il parcourt. On constate qu'il vient frapper le curseur plein à une distance 3a du zéro de l'échelle au bout de la deuxième seconde, c'est-à-dire que, pendant celle-ci, il a parcouru une distance 2a. Pour avoir la vitesse de chute au bout de 2 secondes, il faut placer le curseur évidé à une distance 4a — h du zéro; le cylindre A vient frapper le curseur plein au bout de trois secondes, s'il est à une distance 8a du zéro de l'échelle. La vitesse au bout de deux secondes est donc égale à 4a. Pour observer la vitesse au bout de n secondes, il faudrait placer le curseur évidé à une distance n^a — h du zéro, et le curseur plein à une distance n^a -+- ^na; ^na serait la vitesse cherchée. Ce résultat expérimental coïncidant avec celui qu'on déduit de la formule

conformément à la définition de la vitesse, l'expérience précédente peut passer pour une vérification de la loi de l'inertie.

337. Théorie de la machine d'Atwood. — Appliquons à la machine d'Alwood le théorème de la force vive, à savoir que la somme des travaux des forces appliquées à un système durant un temps donné est égale à la demi-variation de la force vive de ce système. Le travail des poids des deux cylindres est nul, car ils se déplacent en sens contraires de quantités égales; le travail du poids de la poulie est nul, car son centre de gravité est fixe; nous négligeons le poids du fil, ainsi que la résistance de l'air et le frottement. La seule force à laquelle corresponde un travail est donc le poids p de la masse additionnelle, et, si le système se déplace d'une quantité infiniment petite dh^ ce travail est pdh. Si M désigne la masse d'un des cylindres, sa force vive est Mu*. Soient [a la masse de la poulie, Kson rayon de giration,w sa vitesse angulaire; sa force vive est fxK'w-;

mais on peut remplacer w par ^, R étant le rayon de la poulie. La

force vive du système tout entier est donc ( 2M -h m -|- ^u. ju^, et l'application du théorème de la force vive donne

Or rexpérience montre que le système prend une accélération constante y; donc

vi = 2yh ou dv^ = 2y dh.

En substituant, on a

Donc p est constant, et on peut le remplacer par mg, g désignant l'accélération constante de la chute libre. Il vient alors

Les valeurs relatives des. masses M, m et (x peuvent se déterminer exactement à Taide de la balance. Il est difficile de mesurer K, mais on peut l'éliminer en faisant une seconde expérience avec une masse additionnelle différente, m'; on trouve aisément

rO

Malheureusement, l'appareil ne permet pas de déterminer y avec une bien grande précision, et une pareille méthode ne conduirait qu'à une valeur de g extrêmement grossière.

338. Notions sur le frottement. — Nous avons à examiner maintenant dans quelles conditions il est permis de négliger le frottement comme nous venons de le faire.

Supposons qu'on ait disposé sur un plan horizontal un corps P tiré par un fil chargé d'un poids Q (fig. 235). Si Ton représente par M la masse du système mis en mouvement et qui, abstraction faite

du fil, est égale à 5-+-^ , on doit s'attendre à lui voir prendre un

mouvement uniformément varié, dont l'accélération y sera donnée

par la formule

Q = My.

Fig. 235.

On trouve bien en effet que le mouvement est uniformément varié, mais son accélération est inférieure à la valeur de y calculée par la formule précédente. Pour expliquer la diflFérence, on admet que, dans Pexpérience en question, il existe une force F appliquée au corps et dirigée en sens inverse du mouventient, et on lui donne le nom de force de frottement. On fait donc une simple hypothèse que l'étude du mouvement du système introduit d'une manière nécessaire.

Soit Y Taccélération effective du mouvement, nous aurons l'équation

Q - F = My',

qui nous permettra de calculer F. On trouve ainsi, dans une suite d'expériences, que cette force F est indépendante de l'étendue par laquelle P repose sur le plan, qu'elle dépend de la nature des surfaces en contact, qu'elle est proportionnelle au poids P du corps.

On est donc conduit à introduire dans les calculs le rapport -p- variable

uniquement avec les surfaces frottantes; on lui donne le nom de coefficient de frottement^ et on le désigne par f, La valeur de ce coefficient devient très faible lorsqu'on a soin d'enduire d'huile les surfaces frottantes.

339. Application. — Il est facile d'appliquer les données précédentes à la construction de la machine d'Atwood. Supposons une poulie P (fîg. 236) portée par un axe cylindrique terminé par deux

Fig..236. Fig. 237.

tourillons T; ce cylindre repose sur un coussinet C auquel il est tangent; /'étant le coefficient de frottement relatif aux surfaces en contact, la force de frottement sera fP dirigée tangentiellement à T, et le travail de cette force pour un tour complet de l'appareil sera

en désignant par r le rayon du tourillon. Le produit fP, â^rr représente donc la portion du travail moteur qui est employée à vaincre le frottement sans produire d'accroissement de vitesse dans l'appareil.

Considérons maintenant la machine d'Atwood perfectionnée (fig. 237). L'axe A de la poulie repose sur un galet G porté par un tourillon T ; soient :

P le poids de la poulie,

r le rayon de son axe,

p le poids du galet,

R son rayon,

p le rayon du tourillon.

Le poids total de l'appareil est P -f- 4p, et par conséquent la force de frottement a pour valeur

Quant au déplacement du point de contact du tourillon avec le coussinet, il est facile de l'évaluer. En eflFet, quand la poulie P tourne d'un tour entier, un point de son axe A parcourt un chemin égal à 27rr, ce qui est également le chemin parcouru par un point de la circonférence du galet G; l'angle au centre correspondant est égal

à -5- , et c'est celui dont tourne le tourillon T; son point de contact

décrit donc un chemin égal à -g-p, et le travail absorbé par le frottement est

Pour que cette disposition soit avantageuse, il faut que le travail que nous venons de calculer soit inférieur au travail obtenu précédemment, c'est-à-dire que l'on ait

Cette inégalité simplifiée se réduit à

Le premier facteur est supérieur à Tunité, mais comme  lui est notablement inférieur, l'inégalité est généralement satisfaite. On conçoit donc que si le rapport â n'était pas suffisamment petit, l'appareil perfectionné pourrait être inférieur à l'appareil primitif.

340. ProportioniiaUté des forces aux accélérations. — Pour vérifier

à l'aide de la machine d'Àtwood la proportionnalité des forces aux accélérations, on dispose sur chacun des cylindres A et B un certain nombre de rondelles métalliques de même poids/?, deux par exemple

sur chacun. Dans ce cas, la différence de poids entre A et B étant nulle, ils se font mutuellement équilibre. Si l'on fait passer une rondelle de B sur A, on a alors d'un côté P H- 3/?, de l'autre P + p, et la différence, ou le poids moteur, est 2/); soit a l'espace parcouru pendant la première seconde de chute, l'accélération est 2a. Si l'on fait passer aussi la seconde roadelle de B sur A, on a d'un côté le poids P -4- 4p, de l'autre poids P; leur différence est 4p, c'est-à-dire que la même masse est soumise à l'action d'une force double; soit a' l'espace parcouru pendant la première seconde de chute, l'accélération est 2a', et l'expérience prouve que

ce qui justifie le principe.

341. Appareil enregistreur de Horin. — L'appareil de Morin offre sur la machine d'Atwood l'avantage de permettre l'observation du mouvement des corps en chute libre. Il est fondé sur le principe général des appareils enregistreurs, que l'on doit à Poncelet : en regard du corps qui tombe et qui est armé d'un crayon, se meut d'un mouvement de translation uniforme une feuille de papier sur laquelle le crayon trace une courbe. De l'étude de cette courbe, on va déduire toutes les circonstances de la chute.

342. Dans l'appareil de Morin (fig. 238), on remplace avec avantage la feuille mobile par la surface d'un cylindre de révolution vertical M animé d'un mouvement de rotation uniforme : le résultat final est évidemment le même. On emploie, pour produire le mouvement, le même mécanisme que dans les horloges. Le cylindre porte à sa partie supérieure une vis sans fin qui engrène avec une roue dentée R fixée à l'extrémité d'un deuxième cylindre horizontal. Sur ce cylindre est enroulée une corde portant un poids P' à l'une de ses extrémités; c'est la chute de ce poids, produite au moyen du cordon X', qui détermine le mouvement, et il est accéléré. Comme les chemins parcourus par un point de la surface du cylindre et par le poids P' sont entre eux dans un rapport constant qui dépend uniquement des conditions géométriques de l'appareil, le mouvement de rotation du cylindre est également accéléré; il s'agit de le rendre uniforme.

On introduit à cet effet dans la machine une résistance qui croisse avec la vitesse. A cet effet, la roue R engrène avec une deuxième vis sans fin fixée à un axe A muni de quatre ailettes. Ces ailettes viennent frapper l'air avec une vitesse croissante; la résistance qu'elles éprouvent croit également, tandis que la force P' qui met l'appareil en mouvement conserve une valeur constante. Il arrive donc un moment où la résistance opposée par l'air au mouvement du cylindre

devient uniforme. En traitant la question par le calcul, et en supposant la résistance de l'air proportionnelle soit à la première puissance, soit au carré de ta vitesse, plul6t au carré dans te cas des mouvements rapides comme celui qui nous occupe, on trouve que

!e mouvement ne devient rigoureusement uniforme qu'au bout d'un temps infini, mais qu'au bout d'un temps assez court, la différence est négligeable'.

1. pour reconnaitre à quel momenl il en esl ainsi, on peut enduire de noir (le fumée une portion de la surFace du cylindre, el Taire vibrer devant lui dan»

343. Le corps (fig. 238) dont on étudie le mouvement se compose d'une masse cylindro-conique , munie de deux oreilles traversées par des fils de fer verticaux qui la guident dans sa course. Le cylindre porte à sa partie supérieure une saillie qui s'appuie sur une saillie semblable d'un levier coudé L, et un crayon C, qui le traverse de part en part, est pressé par un ressort sur la partie inférieure du même levier. Il suffit d'appuyer sur la poignée X pour que le poids P tombe et que le crayon C appuie sur la surface du cylindre.

344. Mesure des espaces, — L'expérience terminée, on détache du cylindre la feuille qui le recouvre et on l'étend sur un plan. Soit A (fig. 239) l'origine de la courbe tracée par le crayon, AY la verticale

et AX l'horizontale de ce point. D'un point quelconque M de la courbe abaissons sur ces droites les perpendiculaires MP, MB; il est évident que BM est l'espace parcouru par le corps qui tombe pendant qu'un point de la surface du cylindre tourne d'un arc égal à AB. Si l'on prend une seconde longueur BB'=AB et qu'on mène par B' une verticale B'M', B'M' sera l'espace parcouru par le corps qui tombe pendant qu'un point de la surface du cylindre tourne d'un arc égal à AB', et ainsi de suite. Le mouvement de rotation du cylindre étant uniforme, AB et AB' correspondent à des temps qui sont entre eux comme 1 et 2; si donc le mouvement est uniformément accéléré, les espaces parcourus BM et B'M'ou AP et AP' seront entre eux comme 1 et 4, ce que l'on constate directement en les mesurant. De là résulte cette conséquence, que la courbe AMM' est une parabole, puisque les carrés des ordonnées AB, AB' ou FM, P'M' sont proportionnels aux abscisses AP, AP'. A est le sommet et AY est l'axe de cette parabole.

Le crayon n'appuyant pas au départ sur la surface du cylindre, Torigine de la courbe peut n'être pas suffisamment indiquée. Dans tous les cas on peut déterminer facilement la tangente AX à cette

un plan vertical un diapason dont l'une des branches disposées horizontalement est munie d'un style. Les oscillations du style sont rigoureusement isochrones et, lorsque le cylindre tourne, il décrit sur sa surface une courbe sinueuse. Si. au moment où toutes les sinuosités deviennent égales, on note la position du poids P', on saura dans les expériences suivantes à partir de quel instant on peut compter sur l'uniformité du mouvement; c'est ce qui a lieu généralement aux deux tiers de la chute du poids P'.

Fig. 239.

origine, et il ne reste plus alors qu'à chercher sui'elle la position du sommet.

345. Mesure des vitesses. — La loi des vitesses se déduit immédiatement de la loi des espaces dont elle est la conséquence; mais l'appareil se prête également bien à l'étude de cette loi.

Nous allons d'abord résoudre la question suivante : Connaissant la courbe tracée par le crayon sur le papier^ déterminer la vitesse du mobile lorsquil a passé au point M.

Soit M (fig. 240) la position du mobile lorsque le cylindre a tourné de l'arc AB pendant le temps t, W Fig. 240.

une nouvelle position correspondant au temps f -h 6; alors BB' est l'arc parcouru par un point du cylindre pendant le temps 6, et l'on a, en désignant par u sa

vitesse,

BB' = we.

Si l'on mène par M une horizontale MP, PM' est la hauteur dont le