PM' ,. PM
liin
^ = M lim -g57 = u lim tgM'MP.
Mais quand 6 tend vers zéro, la corde MM' tend vers la tangente MT à la courbe en M, on a donc
V = î/.lg TMP,
en désignant par v la vitesse cherchée. •
Si donc on porte, à partir de M (fig. 239), sur une horizontale, une longueur MU qui représente la vitesse u d'un point de la surface du cylindre, la vitesse cherchée est représentée par UT. Pour étudier la loi des vitesses, il suffît de répéter la construction au point M', de mener M'U' égale et parallèle à MU ; on constate alors par une mesure directe que UT est le double de UT.
346? Loi de Vindépendance des mouvements. — On a encore employé l'appareil de Morin pour vérifier quelques principes de
mécanique. On a démontré, par exemple, que le mouvemenl d" corps qui tombe n'est pas modifié par un mouvement commun de translation imprimé à tous les points du système. Il suffit, pour cela, de monter l'appareil sur un chariot et d'expérimenter pendant la marche du chariot; on trouve que la courbe décrite est la même que précédemment (344).
347. Proportionnalité des forces aux accélérations. — On peut également démontrer, à l'aide du môme appareil, le principe de la proportionnalité des forces aux accélérations. On dispose pour cela un petit chariot chargé de grenaille de plomb sur un plan horizontal. Une corde fixée d'un côté au chariot, de l'autre h la partie supérieure du cylindre P (fig. 238), et passant sur une poulie de renvoi 0 (fig. 241), le met en mouvement. Après avoir fait une première
expérience, on développe ta feuille et on mesure !rordonnée BM (Gg.
239) de la courbe eorrespondanl à une certaine [abscisse AB. Puis on fait passer une partie p de la grenaille du chariot dans le cylindre P qui, h cet effet, est éTÎdé.
et on expérimente une deuxième j, Fig. 9ii. fois; on développe la feuille et on
mesure la nouvelle ordonnée correspondant à la même abscisse AB. Ces ordonnées parcourues pendant des temps égaux sont entre elles comme les accélérations des deux mouvements; une mesure directe fournit leur rapport, et on constate qu'il est le même que celui de P à P + p, la masse mise en mouvement n'a pas changé d'ailleurs.
348. HouTeMcnt nnKonnéoienl relardô. — Nous allons étudier maintenant le mouvement d'un corps lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse v^,. Si ce corps n'était pas soumis h l'action de la pesanteur, il parcourrait pendant un temps l un espace égal â vj; soumis seulement à l'action de la pesanteur, il parcourrait ea
sens inverse un espace égalà^â'''- I^^ distance e du mobile à sa position initiale s'obtient en composant ces deux mouvements, c'est-à-dire en faisant leur somme algébrique ; on a donc
Si la pesanteur agissait sur le mobile partant du repos, elle lui communiquerait au bout du temps t une vitesse de haut OiO bas égale h gt. S'il n'était pas soumis & la pesanteur, il conserverait sa
vitesse initiale Vq, La vitesse v du mobile s'obtient en composant ces deux vitesses; on a donc
(2) V =Vo — gt.
Enfin, en remplaçant, dans Téquation (1), t par sa valeur tirée de Féquation (2), on a
(3) u2 = vo^ - 2ge.
Au moyen des formules (1), (2) et (3), on peut résoudre toutes les questions relatives au mouvement retardé.
349. Ainsi, on connaîtra à quelles époques le mobile passe par le même point en montant et en descendant, en résolvant Téquation (i) par rapport à ^, ce qui donne
' = i? * v^Kf -)•
On n'obtient une valeur réelle pour le temps que si
c'est-à-dire que la plus grande hauteur à laquelle s'élève le corps est
Hfi!
et l'on a, dans ce cas, pour ^, c'est-à-dire pour la durée de l'ascension,
A ce moment, d'après la formule (2), la vitesse du mobile est nulle.
L'expression de t montre que, pour une même valeur de e, les deux valeurs de t correspondant à l'ascension et à la descente sont
équidistantes de —, c'est-à-dire que, à partir d'un point quelconque,
la durée de l'ascension est égale à celle de la descente.
Enfin, la formule (3) montre que, pour une même valeur de e, les deux valeurs de v, correspondant à l'ascension et à la descente, sont égales et de signes contraires.
350. Machine d'Atwood. — On peut vérifier par des expériences directes les remarquables conséquences auxquelles conduit l'étude du mouvement upifoi;mç^;nent retardé. Avec la machine d'Atwood, il suffît d'employer deux curseurs annulaires disposés chacun sur une règlei divisée (fig..242). Les cylindres A et B étant dans une position.. quelconque,. pn place, vis-à-vis de la partie supérieure de
chacun d'eux, les curseurs C et C. Cela fait, on relève le poids B, par exemple, jusqu'au haut de l'échelle, on le charge d'une masse additionnelle p, et on rabandonnea lui-même. Supposons qu'on ait disposé C de telle sorte qu'il le traverse au bout d'une seconde; à ce moment A traverse C et se charge d'une masse additionnelle égale i.
la première p, qu'on y a disposée.
Les masses en mouvement restant les mêmes, on peut regarder le système comme lancé de bas en haut avec une certaine vitesse, tandis qu'il est sollicité par une force ;i, qui tend à le faire descendre. Od Pii;. 'ui. réalise donc ainsi un mouvemenl
uniformément retardé.
Soit a l'espace parcouru dans la machine d'Atwood pendant la première seconde. Le cylindre A, au moment où il traverse le curseur C", est lancé de bas en haut avec la vitesse qu'il possède en tombant de la hauteur a. 11 remonte k cette hauteur au-dessus du curseur annulaire, et se trouve au bout de sa course h la fin de la deuxième seconde. Puis il redescend et le poids B traverse le curseur C à la fin de la troisième seconde eu se chargeant de nouveau du poids additionnel p, et ainsi de suite.
351. Appareil de Morin. — On peut également étudier le mouvement uniformément retardé à l'aide de l'appareil de Morin. Pour cela, on lance de bas en haut, t l'aide d'une arbalète qui lui imprime une vitesse asseï considérable, le poids P armé d'un crayon. On développe la feuille, on mène k la courbe tracée par le crayon une tangente horizontale (fig, 543), puis par le point de contact une verticale, et on voit qu'elle coupe en leurs milieux toutes les cordes menées PI 2i3 à travers la courbe parallèle-
ment & la tangente; elle est donc un axe de symétrie de la courbe.
Si l'on considère le mobile passant en M, le temps qu'il emploie pour arriver au haut de sa course correspond à la longueur Ml; le
temps qu'il emploie pour redescendre au même point, il passe alors en M', correspond à Ml; ces deux longueurs étant égales, les temps employés dans les deux phénomènes sont égaux. D'un autre côté, puisque la courbe est symétrique, les tangentes en. M et M' font des angles égaux avec l'horizon, le corps possède donc aux points M et M' des vitesses égales en valeur absolue.
352. Aioavemeiit des projectiles. — La portion AM' étant une parabole comme on Ta déjà vu, il résulte de la symétrie que AM est l'autre portion de cette parabole. On déduit de là cette conséquence importante qu'un corps lancé sous un angle quelconque décrit une parabole dans r espace.
Supposons, en eflfet, qu'on lance le corps dans la direction AB (fig. 244) avec une certaine vitesse Vq, et décomposons cette vitesse en deux autres : Tune horizontale Vq cos a, l'autre verticale v^sina. On pourra considérer le corps comme lancé verticalement du point A avec la vitesse Vq sina, tandis qu!il participe à un mouvement d'entraînement dont la vitesse est v^cos a. Imaginons qu'armé A d'un crayon il se meuve devant une feuille Fig. 244.
de papier et qu'il y trace une courbe; en
donnant à la fois à la feuille et au corps un mouvement de translation dont la vitesse soit égale à î^^cosa et dirigée en sens contraire, on ne modifiera pas la forme de la courbe; elle est donc celle que décrit dans l'appareil de Morin un poids P lancé verticalement de bas en haut avec la vitesse i?oSina, tandis qu'un point de la surface du cylindre est animé de la vitesse v^ cos ot, c'est-à-dire une parabole. On peut donc conclure de l'expérience qui nous occupe, qu'un projectile lancé sous un angle quelconque décrit une parabole et que l'appareil de Morin sert à l'étude expérimentale du mouvement des projectiles.
333. La question peut d'ailleurs se résoudre d'une manière directe; il suffît pour cela de composer deux mouvements. Le corps
lancé de bas en haut avec la vitesse Vn sin a parcourrait verticale-
ment pendant le temps t un espace
(1) y =Vq sin <xJ — 2 ,9^^;
lancé horizontalement avec la vitesse Ug cos a, il parcourrait pendant le même temps un espace
(2) X = Vq cos Oi.t.
Si donc on construit sur ces deux longueurs le parallélogramme des mouvements (fig. 245), on aura la position M du mobile au bout
du temps t. L'élimination du temps entre les équations (1) et (2) fournira entre x et y une relation
y = xlga-,,o-^^
i,2cos-a'
qui sera Téquation de la trajectoire, et qui permettra, pour chaque valeur donnée de x, de trouver la valeur correspondante de y. On reconnaît, à Finspection de cette équation, que la courbe est une parabole dont Taxe est vertical, et qui est tangente à Torigine à la
direction OA de la vitesse initiale; ce dont on peut d'ailleurs se rendre compte immédiatement, si Ton se reporte à la règle du parallélogramme des vitesses. En effet, si le mobile n'était pas soumis à l'action de la pesanteur, il aurait pour vitesse v^] s'il était uniquement soumis à l'action de la pesanteur, il aurait une vitesse v=z — gt dirigée verticalement. Sa vitesse réelle est la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux-là; si donc on suppose que t tende vers zéro, le côté vertical du parallélogramme tendra aussi vers zéro, et la diagonale se confondra finalement avec v^. La trajectoire est donc tangente à la direction de la vitesse initiale.
354. On peut trouver très facilement le point où la trajectoire rencontre l'horizontale du point 0; il suffit pour cela de faire y =0 dans l'équation (3). L'une des racines est évidemment nulle, et l'autre donne la distance
OB = ^ sin2a,
qu'on appelle V amplitude du jet. Si l'on prend le milieu I de OB, et qu'on élève une verticale en ce point, on aura Taxe de la parabole qui la coupe en son sommet S; SI est la hauteur du jet. Il suffirait, pour la calculer, de remplacer, dans l'équation (3), x par la moitié deOB.
355. Au lieu de suivre cette marche, on peut résoudre les questions relatives à la hauteur et à l'amplitude du jet d'une manière immédiate.
La hauteur du jet H est la hauteur à laquelle s'élève un mobile lancé verticalement de bas en haut avec la vitesse v^ sin a ; c'est, d'après ce qui a été vu (349),
„ Vq^ sin^a
Le temps employé par le mobile pour atteindre cette hauteur est
donc égal à -^ -, et — 5 ^ est celui qu'il met à décrire la
if %/
courbe OSB.
L'amplitude du jet A est la longueur parcourue par le mobile
avec la vitesse VqCosx pendant le temps — ^ , c'est-à-dire que
if
Ton a
. __ Vq cos g. 2t?o sin g Vq^ sin 2g
On voit d'après cela que, pour une valeur donnée de t?o, l'amplitude du jet est maximum pour a = 45°.
356. On peut, au moyen de l'équation (3), résoudre très facilement la question suivante : Sous q.uel angle faut-il lancer un mobile doué d'une vitesse initiale connue pour aller frapper un point donné M?
11 est clair que, dans cette équation, qui peut s'écrire
X et y sont connus, et qu'il n'y a plus qu'à résoudre par rapport à tg X. On trouve donc généralement pour a deux valeurs qui correspondent à deux paraboles; celle qui coupe OL (fig. 246) sous le plus
Fig. 246.
petit angle sert à renverser l'obstacle M que l'on veut atteindre, celle qui coupe sous le plus grand sert à l'écraser. La condition de réalité des racines,
s'interprète facilement. Elle exprime en effet que, pour la possibilité du problème, le point M doit être à l'intérieur d'une parabole dont l'axe vertical passe par 0, dont le sommet est à une distance OK
de ce point égale à ^, hauteur à laquelle s'élèverait le mobile lancé
verticalement. Cette parabole coupe l'horizontale du point 0 à une
distance OL égale à -^, qui est l'amplitude maximum (354) pour
une vitesse donnée Vq. Tous les points qui sont en dehors de cette parabole ne peuvent être atteints, aussi l'appelle-t-on courbe de sûreté. On reconnaît aisément que les différentes paraboles renfermées dans Téquation (4) sont tangentes à la courbe de sûreté, de sorte que cette courbe est V enveloppe des paraboles en question.
357. Moavemeot d*an corps pesaot sur une courbe quelconque. -
Supposons un corps pesant assez petit pour qu'on puisse le représenter par un point M (fig. 247), assujetti à rester sur une courbe donnée MqM, mais parfaitement mobile sur cette courbe. Déterminons sa position sur la courbe par sa distance z à un plan hori-
zontal xy, et appliquons le théorème de
la force vive. L'action de la courbe sur le corps est, par hypothèse, normale à la courbe et ne donne pas de travail. Le *^' * ■ travail de la pesanteur, compté à partir
d'une position initiale M^, est p (z^ — z). D'autre part, la variation de
force vive est m (v* — v^^) ; donc
Mais on peut remplacer p par mg, ce qui permet de mettre Téquation précédente sous la forme
r2 = Vq^ + 2g (zq — z].
Cette égalité montre immédiatement que, toutes les fois que le mobile traverse un même plan horizontal HH', sa vitesse est la même. Il en résulte que, si on l'abandonne en M le long d'une courbe
Fig. 248.
quelconque (fig. 248), il arrivera en M', puis redescendra, reviendra en M, et ainsi de suite indéfiniment.
Le résultat obtenu pour le plan incliné, à savoir que la vitesse du corps ne dépend pas du chemin parcouru, mais uniquement de la hauteur de chute, est donc général. On le vérifie à l'aide de l'expérience suivante, due à Galilée.
On suspend en 0 (fig. 249) un pendule, et, à Taide d'un clou placé en 0', on écarte ce pendule de la verticale suivant la ligne 00'A'> puis on Tabandonne à lui-même. Il décrit d'abord Tare de cercle A'T, dont le centre est en 0', et ensuite l'arc TA, dont le centre est en 0, pour arriver en un point B très voisin du point A qui serait exactement à la même hauteur que A'. On recommence l'expérience en plaçant successivement le clou en 0'', 0'^ etc., le pendule prenant successivement les positions 00'X^ 00'"A"', etc., qui aboutissent au même plan horizontal, et on constate que le point d'arrivée B est toi\jours le même. On en conclut que la vitesse Fig. 249.
acquise au point T, dans ces divers
mouvements circulaires, est la même; Galilée alla plus loin et admit qu'elle était indépendante de la trajectoire et égale à la vitesse acquise en chute libre CT ^
Galilée a constaté aussi qu'un mobile abandonné à lui-même sur un arc de cercle vertical remontait à la hauteur de son point de départ. Il a même généralisé ce principe à l'aide du même appareil : si l'on écarte le pendule suivant OA et qu'on l'arrête par un clou placé successivement en 0', 0", 0''^ il décrit les arcs TA', TA'', TA''' au lieu du prolongement de l'arc AT, mais atteint toujours le même plan horizontal.
Il est très important de remarquer que, si la vitesse acquise dépend uniquement de la, hauteur de chute, il n'en est pas de même du temps employé à parcourir la courbe. Celui-ci dépend essentiellement de la forme qu'elle affecte.
358. Travail de la pesanteur sur un corps quelconque. — Supposons un corps quelconque se déplaçant d'une façon quelconque. Le travail de la pesanteur sur une de ses particules est donné par l'expression
P (-0 — *)• Le travail correspondant au corps tout entier sera
S /îZq — s 'pz.
1. Impetus mobilium œqualiter a centro terrae distantium sunt œquales. Velocitas per planum inclinatum sequalis esl velocitati per lineam perpendicularem. Galilée, Dialogue I.
PESAxNTEUR
Or, si P désigne le poids total du corps, Zq et Z les ordonnées successives du centre de gravité, il résulte des propriétés du centre de gravité que les deux termes de Texpression précédente sont respectivement égaux à PZq et PZ. Le travail cherché est donc
P (Zo - Z),
et ne dépend que du déplacement vertical du centre de gravité.
359. Définitions. — Un pendule est un corps pesant mobile autour d'un axe horizontal qui ne passe pas par son centre de gravité.
Le pendule simple est un pendule idéal supposé réduit à un point qu'on imagine relié à Taxe par un fil sans pesanteur et inextensible. Une petite boule métallique, suspendue à un fil fin, nous offre l'image de ce pendule idéal, mais, en réalité, tous les pendules sont composés.
Considérons un pendule OA (fig. 250); si on Técarte de sa position d'équilibre pour l'amener en OB, il retombe et doit remonter au point symétrique B', si on néglige toute résistance (357). Le
Fig. 250.
mouvement de B en B' s'appelle oscillation simple^ et l'angle BOB' amplitude de ^oscillation. En réalité, l'amplitude des oscillations successives diminue lentement à cause de la résistance de l'air et du frottement sur l'axe de suspension.
360. Lois expérimentales du pendule. — Les premières observations sur le pendule sont dues à Galilée qui établit les lois suivantes :
1° La durée des oscillations d'un pendule est indépendante de leur amplitude quand cette amplitude est très petite. En d'autres termes, les petites oscillations sont isochrones,
Galilée a démontré d'une façon très ingénieuse ce principe en suspendant deux pendules identiques, AB, A'B' (fig. 251), à une même tige horizontale AA'. On écarte les pendules, dans des plans
perpendiculaires à celte lige, d'angles ne dépassant pas un petit nombre de degrés, 5 ou 6 par exemple ; on les abandonne en même temps et, en plaçant Toeil dans le plan de leurs positions primitives, on les voit passer simultanément à la verticale. Si, au contraire. Tune des amplitudes est très grande, on constate que Toscillation correspondante est notablement plus longue.
2^ Si, dans Texpérience précédente, les deux pendules, tout en ayant la même longueur, sont faits de substances différentes^ les durées de leurs oscillations sont les mêmes] si les amplitudes sont petites, elles peuvent être inégales, d'après la première loi; si elles sont grandes, elles doivent être égales.
Cette loi a été vérifiée depuis avec plus de rigueur par Newton, et surtout par Bessel ; il en résulte que tous les corps prennent, dans les mêmes conditions, le même mouvement sous l'action de la pesanteur et que, par suite, leurs poids sont proportionnels à leurs masses. Cette proposition fondamentale, déjà établie grossièrement par les expériences de Galilée sur la chute des corps (912), puis par l'expérience du tube de Newton, se trouve démontrée avec beaucoup plus de rigueur par l'observation du pendule.
3^ Galilée a reconnu enfin que les durées des oscillations de deux pendules sont entre elles comme les racines carrées de leurs longueurs. C'est ce qu'il est facile de vérifier en prenant deux pendules dont les longueurs soient entre elles comme les nombres i et 4. On reconnaît que le premier fait, dans le même temps, deux fois plus d'oscillations que le second : celui-ci revenant, par exemple, à son point de départ après deux oscillations, le premier y revient en même temps après en avoir fait quatre.
