Théorie do pendule. — Considérons un pendule quelconque
(fîg. 252) mobile autour d'un axe perpendi- >^^
culaire en 0 au plan de la figure. Soit A le y^
centre de gravité dans la position d'équi- / ^^
libre et a la distance OA. Le pendule, écarté jL^/^
d'un angle a et amené en OB, retombe et '%^...../.....a
se trouve à l'époque t dans une position OM /\/.. Â.
faisant un angle ô avec OA. Le travail de la y " >C
pesanteur est égal au produit du poids M^ f /
du pendule par le déplacement vertical CD ( /
de son centre de gravité. D'autre part, si V /
on appelle I le moment d'inertie et w la
vitesse angulaire du corps, sa force vive '^'
est oj-L L'application du théorème de la force vive donne donc
M^a (cosô — cosa) = ^ w^L
Mais oi est égal à la dérivée de Tangle 6 par rapport au temps, ou à rinverse de la dérivée du temps par rapport à ô. On déduit de là, en remarquant que, dans le mouvement de B vers A, < et 6 varient en sens inverse,
db V M«<7 v/2(cos6 — cosa)
362. Cette expression montre que la loi qui lie 0 au temps est la même pour tous les pendules. Si, en particulier, le pendule est un
pendule simple de longueur /, l'expression vj- se réduit à /, et si
Ton pose
/ désigne la longueur d'un pendule simple qui oscillerait exactement comme le pendule composé : c'est ce qu'on appelle la longueur du pendule simple synchrone du pendule composé ou, plus simplement, la longueur du pendule composé.
Si on appelle K le rayon de giration du pendule pour un axe parallèle à Taxe de suspension et passant par le centre de gravité, on démontre en mécanique Tégalité
et, en remplaçant I par cette valeur dans l'expression de /, on a la formule de Borda :
Il résulte de cette formule que / est toujours plus grand. que« : ainsi, dans un pendule formé d'une petite boule suspendue à un fil, la distance du centre de la boule au point de suspension ne représente qu'approximativement la longueur du pendule. Il peut même se faire que / et a varient en sens inverse : par exemple, dans le métronome, en élevant le curseur, on élève le centre de gravité et, par conséquent, on diminue a; on sait qu'en même temps on ralentit les oscillations, et que, par suite, on augmente /.
363. En introduisant / dans la formule en ô, on la met sous la forme
^ ^ db ~ \ g v/2(cos6 — cosa)*
En intégrant * entre 6 = a et 6 = — a, on a la durée d'une oscillation simple : -
1. L'intégration de cette équation est en dehors du programme de la classe de Mathématiques spéciales.
Dans les expériences de physique, a ne dépassant jamais un petit nombre de degrés et les termes de cette série décroissant très rapidement, on peut négliger tous les termes à partir du second et écrire
364. En supposant Tamplitude infiniment petite, les difficultés d analyse sont bien moindres. Remplaçons, en effet, dans la formule (1), cos 6 et cos a par leu rs valeurs
qui donnent
ou
4 — 2sin"^|, 1 - 2sin^|,
cos 9 — cos a=2( sin | — sin sY
cos 6 — cos a = î5 — jT ;
nous aurons
et, en intégrant.
dt
dti
t 4- const. = — i/- arc sin
La constante se détermine par la condition que t = Opour 6 = 2, ce qui donne
' = \/ifi— '^-"s)-
On aura le temps employé par le pendule à exécuter une oscillation simple en faisant dans cette formule ô = — a, ce qui la réduit à
365. Il est facile de déduire de Téquation (3) du n^ 363 le principe de risochronisme, mais celte formule en fournit une interprétation bien supérieure à celle que donne l'expérience précédemment décrite.
Prenons par rapport à a les dérivées des deux membres, nous aurons
d'où Ton tire
di
Par conséquent, si Von donne aux divers angles d'écart a un menu
accroissement rfa, il en résulte pour la durée de V oscillation un accrohsèment dt d autant plus petit que a est lui-même plus petite et le mmmum a lieu pour a = 0. Tel est l'énoncé précis du principe de l'isochronisme.
Les deux autres lois de Galilée se retrouvent aussi dans la formule du pendule : ainsi, t est indépendant de la substance du pendule si g est le même pour tous les corps, et réciproquement; enfin la théorie, tout en précisant ce qu'on doit entendre par longueur du pendule, montre que t doit varier proportionnellement à la racine carrée de cette longueur.
La théorie indique en outre que t varie en raison inverse de la
racine carrée àeg. L'expérience seule n'aurait pu que difficilement conduire à cette loi, car le pendule seul nous fournit, comme iaous le verrons plus loin, le moyen de mesurer^ avec précision.
366. Remarque. — Il est très important de remarquer que, le temps employé par un mobile pour parcourir la corde infiniment petite AB (fîg. 253), sous l'action de la pesanteur, est très différent du temps employé pour parcourir l'arc AB. Le premier, en effet, a
Fig. 253.
pour valeur (330)
et le second
dont le rapport est
ff
Par conséquent, le mobile va plus vite sur l'arc infiniment petit que sur la corde.
Ce résultat n*est pas surprenant si l'on observe que les espaces à parcourir sont bien les mêmes, mais que les mouvements sont de natures différentes ; sur la corde, la force est constante, et, sur Tare elle est proportionnelle à la distance à parcourir (371).
367. Tension du fil d'un pendule. — Considérons un pendule simple
à un instant donné (fig. 254). Les forces directement appliquées au
point M sont le poids P = rw^ de ce point et la tension T du fil qui
le relie à Taxe 0, Le mouvement n'étant pas
uniforme, la résultante aura à la fois une ^0
composante tangentielle et une composante
centripète; celle-ci fournit Téquation
-V- = T — P cos6.
L'équation fournie par la composante tangentielle ne renfermant pas T, il est inutile de récrire. En remplaçant v par sa valeur, on trouve ^'^- ^'^•
T = P (3 cos e — 2 cos a).
On voit que la plus grande tension du fil a lieu lorsqu'il passe à la verticale. Si a est droit, elle est triple de ce qu'elle serait si le pendule était au repos; si a est très petit, elle est sensiblement constante et égale à P.
368. Centre et axe d'oselilation. — Soit xy (fig. 255) l'axe de suspension d'un pendule, G le centre de gravité situé à une distance a "T
i II nJK
de cet axe, K le rayon de giration ^d
par rapport à la droite x'y' menée ^
par G parallèlement à xy. Si l'on "~:^" ^T 'y^ "
prend, sur le prolongement de la .*li
perpendiculaire commune OG k xy /^ ^
et à x'y\ une longueur GC égale '^"
K* à —, on obtient un point C auquel on donne le nom de centime d'oscillation, et la parallèle x'^y'\ menée par ce point à l'axe de suspension, s'appelle Vaxe d'oscillation du pendule. Cette droite est le lieu géométrique des points du pendule qui oscillent dans le même temps que s'ils étaient libres. „ q
