Théorème d'Hayg^liens. — ^^f

L'axe d'oscillation et l'axe de sus- jrl «"t .-.jf.

pension d'un pendule jouissent ^

d'une propriété remarquable, décou- ^

verte par Huyghens, et qu'on dé- jr; J 3t

signe sous le nom de réciprocité des 0

axes de suspension et d'oscillation : ^^'

Si Von suspend le pendule par son axe d* oscillation, sa longueur reste la même, et Vancien axe de suspension devient le nouvel axe d'oscillation.

Suspendons, en effet, le pendule par Taxe x^y" (fig. 256) et par G menons j?'î/' parallèle à cet axe. Le rayon de giratîon par rapport à ar'y' est encore égal à K; la longueur du nouveau pendule est donc égale à

c'est-à-dire à

370. Réciproque. — Si deux axes parallèles dont le plan contient le centre de gravité sont tels, qu'en suspendant successivement le pendule

par chacun d'eux, il oscille dans le

même temps, ces axes sont équidistanis du centre de gravité, ou leur distance est égale à la longueur du pendule

'- V^ -^ coniposé,

|rj Soient xy, xj/^ (fig. 257) les deux

^ C ^ axes, x^y' une parallèle menée par le

Fig. 257. centre de gravité G, K le rayon de

giration du corps par rapport à x\(, a et ttj les distances respectives du point G aux droites xy et xjn^ Les durées d'oscillation étant les mêmes, le pendule composé a même longueur dans les deux expériences, et l'on en conclut

ou

Cette égalité est donc satisfaite, soit par soit par

et l'on a, dans ce dernier cas, conformément à l'énoncé, pour la longueur du pendule.

371. Mouvement pendulaire. — Considérons un pendule simple à oscillation très petite ; la vitesse angulaire correspondant à un angle d'écart 6 est donnée par la formule (364)

En multipliant par /, nous aurons la vitesse, et si nous appelons b Tare AB ou a/, x Tare AM ou 6/, il vient

L'accélération tangentielle y est la dérivée de la vitesse par rapport au temps; on a donc

dv dvdr

'^ ~ dt —

dv

dxdt. dx^

OU, en effectuant le calcul.

On peut arriver plus simplement à ce résultat en remarquant que la force tangentielle se compose exclusivement de la projection du poids mg sur la tangente, projection égale à mg sinô; or, 6 étant

très petit, son sinus peut être remplacé par Tangle -j; la force est

donc mg'j et Taccélération ?a?, dirigée du côté de la position

d'équilibre A.

Le mouvement d'un pendule sur un arc infiniment petit est donc caractérisé par une accélération tangentielle proportionnelle à la distance qui le sépare de sa position d'équilibre. On appelle, par extension, mouvement pendulaire tout mouvement s'eflFectuant sur une ligne quelconque avec une accélération tangentielle proportionnelle à la longueur de l'arc compris entre une origine fixe et la position du mobile.

372. Projection d'un mouvement circulaire uniforme. — Un mouvement pendulaire peut être engendré très simplement de la manière suivante. Considérons un mobile M (fig. 258) qui se meut d'un mouvement uniforme sur une circonférence avec une vitesse u. Si on projette à chaque instant M sur un diamètre quelconque BB' du cercle, je dis que le mouvement de cette projection m est un mouvement pendulaire.

En effet, soit t le temps employé à parcourir l'arc BM, on a

BM = uL

Mais

Fig, 258.

ut

angle MAB = -r

b étant le rayon du cercle; si donc on désigne par x la dislance A m, on aura

. ut