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MESURE DE l'iNTENSITÉ DE LA PESANTEUR 309
lations effectuées par les deux pendules dans Tintervalle des d«ux coïncidences sera égale à 2.
Soient A'^AA', BB'B''... (fig. 260) les arcs décrits par les deux pendules. Au moment où le pendule A passe à la verticale dans le sens de la flèche, le pendule B est en un certain point de sa trajec- ^
toire, en B par exemple, et il mar- Y
che dans un certain^ sens; pour fixer les idées, nous supposerons qu'il marche dans le sens de A, et qu'il va moins vite. Quand, au bout d'une oscillation, A repasse à la verticale, B, qui va un peu moins vite, n'a pas terminé la sienne et n'est encore qu'en B'. ^
Au bout d'une nouvelle oscilla- ^-^
tion de A, B, au lieu d'être en B', " " " - --o- ^ n'est qu'en B'^, et ainsi de suite. ^ ^
Si la différence de marche est assez faible, les arcs BB' , B'B'^ . . . ^^»- ^•
seront très petits, de telle sorte
qu'on powra admettre que l'un des points B', B'',.-- tombe sur OA; à ce moment il y aura une coïncidence. Au bout d'une oscillation de A, B, au lieu d'être en a, sera en ô, c'est-à-dire qu'il aura accomipli une oscillation diminuée de l'arc ab. Au bout de deux oscillations de A, B aura accompli deux oscillations diminuées de l'arc 7.b\ et ainsi de suite. Pour la même raison que précédemment, on peut admettre qu'au moment où B est à l'extrémité de sa course, en 6n, A passe à la verticale; B a alors accompli autant d'oscillations que A moins une demi-oscillation. A partir de ce moment, les deux pendules marchent en sens inverse l'un de l'autre, B retardant toujours sur A, de telle sorte qu'ils se croisent à la verticale; mais B a accompli une oscillation de moins que A. En continuant ainsi, on conclut qu'à la deuxième coïncidence B aura fait deux oscillations de moins que A.
Supposons maintenant que le pendule B soit le balancier d'une horloge astronomique. L'horloge enregistrant mécaniquement le nombre des oscillations de B, il suffît d'augmenter de deux ce nombre pour avoir celui des oscillations de A. En désignant par n la différence, exprimée en secondes, des époques de deux coïncidences consécutives, la durée t d'uno oscillation est donnée par la formule
3i0 PESANTEUR
Ces expériences présentent d'ailleurs une difficulté assez grande. La différence de marche des deux pendules étant supposée très faible, Tobservateur reçoit Timpression de plusieurs coïncidences successives, au lieu d'en observer une seule. On remédie à cet inconvénient de la manière suivante : t^ étant l'époque de la première coïncidence apparente, et t^ celle de la dernière, la moyenne de ces
deux époques, -^-^ — *, est prise pour l'époque de la première coïnci-
dence réelle ; en désignant par t^ et i^ des quantités analogues à
<j et à f„ on prend -^-^ — - pour l'époque de la deuxième coïncidence,
de telle sorte que l'on a
On peut d'ailleurs se rendre compte de l'erreur commise, en remarquant que n est compris entre t^ — t^ et t^ — t^. Si l'on désigne par n' et nf^ ces deux nombres, t est donc compris entre
dont la différence est sensiblement égale à
\rP n')'
quantité très faible quand n' et n'' sont très grands.
La méthode a d'ailleurs été perfectionnée, depuis les expériences de Borda, de manière à permettre une observation rigoureuse des coïncidences.
378. Mesore de la long^neur du pendule. — Pendule guasi-simple. '— Les premiers observateurs du pendule s'attachèrent à donner à leur appareil une forme aussi simple que possible, pour pouvoir déterminer avec précision la longueur indiquée par la formule (362)
* ~ Ma*
C'est ainsi que les célèbres expériences de Borda, exécutées en 1792 à l'observatoire de Paris, furent faites à l'aide d'un pendule composé essentiellement d'une boule métallique suspendue à un fil.
379. Description du pendule de Borda. — A sa partie supérieure, ce pendule est muni d'un couteau d'acier ab fixé à une pièce qui porte deux prolongements. Le prolongement supérieur est un filet de vis qui traverse un écrou m destiné à modifier la position du centre de gravité. Le prolongement inférieur porte un pas de vis
MESURE DE l'iNTENSITÉ DE LA PESANTEUR
v' dans lequel on fixe un fil de fer *. Ce couteau repose sur un plan
d'acier que traverse le prolongement inférieur. Le fil de fer est pris
à sa partie inférieure dans un deuxième pas
de vis V, qui fait partie d'une petite calotte
sphérique en cuivre c, La figure 261 donne
le détail de la disposition. A l'aide d'une
légère couche de suif, on fait adhérer à la
calotte de cuivre une sphère de platine de
même rayon. Par ce moyen, on a la facilité
de suspendre la boule successivement par
différents points de sa surface, ce qui sert à
corriger les erreurs provenant de l'inégale
densité des parties de la boule ou même de
sa non-sphéricité ; en effet, en la suspendant
d'abord par un point, ensuite par le point
diamétralement opposé, et prenant la
moyenne des deux observations, on a le
même résultat que si la boule avait été
uniforme et exactement sphérique. Cette
disposition permet en outre de remplacer
la sphère de platine par des sphères de
natures différentes, de manière à pouvoir
reconnaître, plus exactement qu'on ne l'a
fait (360), que la pesanteur agit de la
même manière sur tous les corps.
380. L'écrou m (fig. 261) est réglé de telle i façon que le couteau seul oscille dans le même temps que l'appareil tout entier. Dans ces conditions, il est facile de voir que le reste du pendule, abstraction faite du couteau, oscille aussi dans le même temps.
Soit :
m la masse du couteau,
i son moment d'inertie par rapport à l'arête de suspension,
a la distance de son centre de gravité à la même arête, la longueur du pendule composé formé par le couteau est égale à (362)
Fig. 261.
ma
1. Biot conseille de ne pas employer un fil de fer, à cause du magnétisme terrestre, et de tendre préalablement pendant quelques jours le fil dont on veut faire usage, par un poids un peu plus fort que celui de la boule qu'il doit supporter. Il conseille également le plan d'agate au lieu du plan d'acier.
Soit : M la masse du pendule total,
I son moment d'inertie par rapport à l'arête de suspension, A la distance de son centre de gravité à la même arête,
la longueur du pendule composé formé par le pendule total est
égale à
xMA*
Le couteau et le pendule tout entier oscillant dans le même temps, on a
MA ma MA — yna'
I — i est le moment d'inertie du pendule, abstraction faite du couteau, par rapport à l'arête de suspension; représentons-le par I'. M' étant la masse correspondante, on a, d'après un théorème connu,
MA = ma+ M'A',
d'où
MA — ma — M'A'.
On peut donc écrire
