MESURE DE L INTENSITE DE LA PESANTEUR

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mobile p porté par une vis V qui passe dans un écrou fixe. En faisant mouvoir lentement la vis, on amène le plan à toucher la sphère sans la soulever; résultat auquel on parvient facilement en plaçant derrière la sphère une bougie dont une partie des rayons est interceptée au moment du contact. On enlève le pendule et on le remplace par une règle suspendue de la même manière, dont l'extrémité inférieure porte une languette mobile formant vernier; cette languette, étant amenée au contact du plan, donne la longueur du fil augmentée du rayon de la sphère. On pose alors la sphère sur le plan et, en la déplaçant légèrement, on amène la languette en contact avec l'extrémité supérieure du diamètre vertical. La différence des deux lectures donne le diamètre de la sphère et par suite la longueur du fil.

383. Pendule réversible. — La multiplicité des mesures que suppose la méthode précédente a faftt abandonner l'emploi du pendule quasi- simple.

D'après la réciproque du théorème d'Huyghens (370), si l'on peut déterminer, dans un pendule de forme quelconque, deux axes autour desquels la durée d'oscillation soit la même, il suffit, pour avoir la longueur du pendule, de mesurer la distance de ces deux axes, à la condition que le centre de gravité ne se trouve pas juste au milieu de leur intervalle. Tel est le principe du pendule réversible, dont la première idée est due au chevalier de Prony, et dont le major Kater a, le premier, fait usage dans ses opérations géodésiques.

Le pendule de Kater est une règle en laiton (fig. 262), terminée à chaque extrémité par une aiguille effilée qui permet d'employer la méthode des coïncidences (377) ; C et €' sont deux couteaux en acier maintenus par de fortes équerres; / est une lentille métallique fixe, dont le poids ^st considérable par rapport à celui de la règle et elle est placée de telle manière que le centre' de gravité du pendule ne coïncide certainement pas avec le milieu de CC; m est une petite masse glissant à frottement sur la règle, qu'on déplace avec la main, et qui permet de modifier assez sensiblement la position du centre de gravité; m' est une autre masse qu'on déplace au moyen d'une vis de rappel v sur une échelle divisée qui mesure ses déplacements, et qui permet de faire varier entre des limites très rapprochées la position du centre de gravité.

Fig. 262.

Pour se servir de l'appareil, on le suspend par Tun des couteaux G et on le fait osciller; on mesure le temps employé à effectuer un nombre d'oscillations donné ; on le suspend par l'autre couteau C, et on mesure le temps employé à effectuer le même nombre d'oscillations. Si ces deux temps sont égaux, la distance GC est la longueur du pendule composé; s'ils sont différents, on agit d'abord sur la masse m et ensuite sur la masse m jusqu'à ce qu'ils soient égaux.

Actuellement, et conformément aux indications de Bessel (389; , on donne au pendule une forme extérieure symétrique, sauf à placer à l'intérieur des masses qui donnent au centre de gravité la position voulue. G'est ainsi que le pendule construit sur les indications du commandant Defforges, et adopté par le service géographique de France, se compose (fig. 263) d'un tube creux en laiton de 3 centimètres de diamètre, de 3 millimètres d'épaisseur, long de 142 centimètres et terminé par des demisphères munies de pointes cylindro-coniques qui permettent l'application de la méthode des coïncidences. Des masses de plomb, fixées à l'intérieur, assurent la réversibilité. Les couteaux sont fixés à des oreilles en saillie au moyen de brides de pression à vis. Ils sont en agate et terminés par des biseaux microscopiques qui se coupent sous l'angle de 120°. Ges couteaux peuvent reposer sur des plans également en agate portés par un support aussi inébranlable que possible.

On conçoit que, s'il fallait rendre les deux axes rigoureusement réciproques, Tapplication de la méthode donnerait lieu à des tâtonnements interminables. Il n'est pas nécessaire, heureusement, de réaliser cette condition. Supposons seulement les deux axes presque réciproques; appelons X leur distance mutuelle, a et a' leurs distances respectives au centre de gravité. Les durées / et /' d'oscillations infiniment petites autour de ces deux axes sont données par les formules (362)

'-!(« + ?). ''-fC'^'+D-

Éliminons K entre ces deux équations :

ce qu'on peut écrire :

Fig. 263.

MESURE DE l'iNTENSITÉ DE LA PESANTEUR 315

Divisons les deux membres par a — a', et remarquons que a-ha' = X; il vient

Par hypothèse, V diffère très peu de t et le second terme est très petit; on peut toujours, dans ces conditions, mesurer a et a' avec une approximation suffisante pour calculer ce second terme avec toute la précision désirable ; X est mesuré directement à l'aide d'un comparateur; on peut donc calculer g.

384. Réduetion de Tamplitade. — Si Tamplitude a restait constante, il serait très facile de la lire sur un cadran divisé et on eo déduirait^ sans difficulté; mais a diminue à mesure que le nombre des oscillations augmente, et, comme ce nombre est considérable, on n'est pas autorisé à prendre pour a la moyenne des amplitudes initiale et finale. Soient aj,a2,...,an les amplitudes successives et ^, ^21 •••1 ^n les durées des oscillations correspondantes, nous aurons la série d'égalités :

Ajoutons toutes ces égalités membre à membre, et désignons par T la durée de l'expérience, nous aurons

La valeur de n étant connue par la méthode des coïncidences, il y aurait lieu de mesurer les amplitudes successives a^ a,,..., an, ce qui est impossible. Borda en particulier s'est contenté de mesurer les amplitudes qui correspondaient aux coïncidences, et il a trouvé que, le nombre des oscillations croissant en progression arithmétique^ les amplitudes décroissent en progression géométrique. Si l'on observe que les oscillations sont sensiblement isochrones, on peut remplacer cet énoncé par le suivant : Les temps croissant en progression arithmétique, les amplitudes décroissent en progression géométrique. En définitive, la question est ramenée à la mesure expérimentale de a^et de an et à un problème d'analyse *.

1. Les angles étant toujours très petits, les expériences de Borda prouvent aussi bien que le nombre des oscillations croissant en progression arithmétique^ les sinus des amplitudes décroissent en progression géométrique. Tout revient donc à faire la somme

S=^^sin2ai-f A2sin2ai + ... + A2n-2sin2ai\ = !1^/ 1 f- A:2 + ... + A-2"-2 j,

385. Influence de l'air. — L'air agit sur le pendule de trois façons: i^ par la résistance qu'il oppose au mouvement; 2° par la poussée

qu'il exerce; 3° par ce fait qu'une certaine masse d'air accompagne le pendule dans ses oscillations.

386. Résistance de Vair, — Les expériences de Borda sur la décroissance de l'amplitude des oscillations ont fait attribuer cette décroissance, au moins en grande partie, à la résistance opposée par l'air

ce qui donne

„ sinfai k^ — 1 ^ — 16 k-i — 1 • De l'égalité

sin an = A»»-* sin aj, on déduit

, __ /sin an \ n— 1

ou, puisque n est considérable,

^^/sjnonX Ji Vsmai /

Remplaçons k par sa valeur, nous aurons

y, 1 sin^an — sin^ai

\ sin ai /

Posons

/ sin «n \ n

\ smai /

d'où

/s^nonW^^ar \ sinaj/