sin an

n sin a] Le développement connu

donne alors

\ sinaj/ ' n smaj '

On en tire, en négligeant les termes suivants,

/sinan\n * 2 sin an

\sina, / n ^ sinaj'

et, comme

sin^an — sin^ai = sin (an +ai) sin (an — aj),

il vient, en définitive,

2 = n sin(an + ai) sin (an — aQ

32 l ^i^" sin ai

Cette formule a été donnée par Borda sans démonstration.

MESURE DE l'iNTENSITÉ DE LA PESANTEUR 317

au mouvement. Mais on ignore à priori la loi qui lie la résistance à la vitesse.

Poisson * a fait sur cette loi deux hypothèses, admettant que la résistance était proportionnelle à la vitesse ou au carré de la vitesse, et il les a développées par le calcul. Voici à quelles conséquences il est arrivé :

Si la résistance est proportionnelle à la vitesse, les amplitudes décroissent en progression géométrique quand les temps croissent en progression arithmétique; ce qui est la loi de Borda. Si la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, l'amplitude décroît suivant une loi beaucoup plus compliquée. On en conclut avec une certaine probabilité que, dans le cas des mouvements lents, comme celui du pendule de Borda, la résistance de Tair est simplement proportionnelle à la vitesse.

387. Enfin il y a lieu d'examiner si la résistance de Tair ne modifie pas la formule qui donne la durée d'une oscillation, et qui n'a été établie que pour le vide. Poisson a trouvé que : si la résistance est proportionelle à la vitesse, comme dans les expériences de Borda, la durée d'une oscillation est plus grande que dans le vide, mais d'un quatre cent millionième de sa valeur seulement; si la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, la durée d'une oscillation est presque rigoureusement la même que dans le vide. On peut se rendre compte de ce dernier résultat de la manière suivante.

Quand le pendule descend, la résistance de l'air agissant en sens inverse de la force motrice, -l'effet produit est le même que si g diminuait, et la durée de la demi-oscillation descendante est augmentée; quand le pendule remonte, la résistance de l'air agit dans le même sens que la force retardatrice, l'effet produit est le même que si g augmentait, et la durée de la demi-oscillation ascendante est diminuée. Il peut donc se faire que la somme de ces durées soit égale à la durée d'une oscillation dans le vide.